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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\rhead{A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Groupe A}}
\rfoot{\small{juin 2008}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\session 2008 - groupement A (électrotechnique)}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 11 points}

\medskip

On rappelle que la fonction échelon unité $U$ est définie sur $\R$ par
: 
\[\left\{
 \begin{aligned}
U(t)&=0\quad\text{si } t < 0\\
U(t)&=1\quad\text{si } t \geqslant 0
 \end{aligned}
\right.
\]

Une fonction définie sur $\R$ est dite causale si elle est nulle sur
l'intervalle $]-\infty\,;\,0[$.

\begin{enumerate}
\item On considère la fonction causale $e$ définie sur l'ensemble des nombres
réels par :

\[e(t)=4\left[U(t)-U(t-2)\right]\]

	\begin{enumerate}
		\item Tracer la représentation graphique de la fonction $e$ dans un repère orthonormal.
		\item On note $E$ la transformée de Laplace de la fonction $e$.\\
Déterminer $E(p)$.
	\end{enumerate}
\item On considère la fonction $s$ telle que

\[4s'(t)+s(t)=e(t)\quad\text{et}\quad s(0)=0\]

On admet que la fonction $s$ admet une transformée de Laplace, notée $S$.\\
Démontrer que :

\[S(p)=\dfrac{1}{p\left(p +\dfrac{1}{4}\right)}\left(1-\text{e}^{-2p}\right)\]

\item Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que :

\[\dfrac{1}{p\left(p+\dfrac{1}{4}\right)}=\dfrac{a}{p}+\dfrac{b}{p+\dfrac{1}{
4}}\]

\item Compléter le tableau ci-dessous dans lequel $f$ représente la fonction causale associée à $F$ :

\begin{center}

\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&&&&\\
$F(p)$&$\dfrac{1}{p}$&$\dfrac{1}{p}\text{e}^{-2p}$&$\dfrac{1}{p+\dfrac{1}{4}}$&$\dfrac{1}{
p+\dfrac{1}{4}}\text{e}^{-2p}$\\
&&&&\\\hline
$f(t)$&$U(t)$&&&\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $s(t)$, $t$ désignant un nombre réel quelconque.
		\item Vérifier que :

\[\left\{\begin{aligned}
s(t)&=0 & \text{si }&t < 0\\
s(t)&=4-4\text{e}^{-\frac{t}{4}} & \text{si }&0\leqslant t < 2\\
s(t)&=4\text{e}^{-\frac{t}{4}}\left(\text{e}^{\frac{1}{2}}-1\right) & \text{si }&t\geqslant 2
\end{aligned}
\right.\]
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que la fonction $s$ est croissante sur l'intervalle
$[0\,;\,2[$.
		\item Déterminer $\displaystyle\lim_{\substack{t \to 2 \\ t< 2}}s(t)$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le sens de variation de la fonction $s$ sur l'intervalle $[2\,;\,+\infty[$.
		\item Déterminer $\displaystyle\lim_{t\to +\infty} s(t)$.
	\end{enumerate}
\item Tracer la courbe représentative de la fonction $s$ dans un repère
orthonormal.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 9 points}

\medskip

Dans ce problème, on approche un signal à l'aide d'une fonction affine
par morceaux.

\medskip

On désigne par $E$ un nombre réel de l'intervalle $]0\,;\,3[$.\\
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$, \textbf{paire}, périodique de
\textbf{période 5}, telle que :
\[f(t)=\left\{
\begin{aligned}
&E\times t &\text{si } &0\leqslant t<1\\
&(3-E)t+2E-3 &\text{si } &1\leqslant t<2\\
&3 & \text{si } &2\leqslant t\leqslant\dfrac{5}{2}
\end{aligned}
\right.
\]

\textbf{Partie A : }

\medskip

Dans cette \textbf{partie, et uniquement dans cette partie,} on se place dans
le cas où $E=2$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Préciser l'écriture de $f(t)$ sur chacun des intervalles
$[0\,;\,1[,\,[1\,;\,2[$ et $\left[2\,;\,\dfrac{5}{2}\right]$.
\item Représenter graphiquement la fonction $f$ sur l'intervalle $[-5\,;\,10]$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B :}
 
\medskip

Dans cette \textbf{partie,} on se place dans le \textbf{cas général},
c'est-à-dire dans le cas où la valeur de $E$ n'est pas spécifiée.

On appelle $S$ la série de Fourier associée à la fonction $f$.

On note
$S(t) = a_0+\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \left(a_n\cos\left(\dfrac{2n\pi}{5}t\right) + b_n\sin\left(\dfrac{2n\pi}{5}t\right)\right)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que la valeur moyenne de la fonction $f$ sur une période est $a_0 = 2\dfrac{E+3}{5}$.
\item Déterminer $b_n$ pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que pour tout nombre entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1 :
\[\int_0^1 t\cos\left(\dfrac{2n\pi}{5}t \right)\text{d}t=\dfrac{5}{2n\pi}\sin
\left(\dfrac{2n\pi}{5}\right)+\dfrac{25}{4n^2\pi^2}\left(\cos
\left(\dfrac{2n\pi}{5}\right)-1\right).\]
		\item On a calculé les intégrales $\int_1^2 f(t)
\cos\left(\dfrac{2n\pi}{5}t\right)\:\text{d}t$ et
$\int_2^{\frac{5}{2}}f(t) \cos\left(\dfrac{2n\pi}{5}t\right)\:\text{d}t$.

On a ainsi obtenu pour tout nombre entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1 :
\[\int_0^{\dfrac{5}{2}}f(t)\cos\left(\dfrac{2n\pi}{5}t\right)\:\text{d}
t=\dfrac{25}{4n^2\pi^2}\left((2E-3)\cos\left(\dfrac{2n\pi}{5}
\right)+(3-E)\cos\left(\dfrac{4n\pi}{5}\right)-E\right).\]
En déduire que pour tout nombre entier naturel supérieur ou égal à 1 :
\[a_n=\dfrac{5}{n^2\pi^2}\left((2E-3)\cos\left(\dfrac{2n\pi}{5}
\right)+(3-E)\cos\left(\dfrac{4n\pi}{5}\right)-E\right).\]
	\end{enumerate}
\item Pour tout nombre entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, on appelle$u_n$ l'harmonique de rang $n$.

On a alors

$u_n(t) = a_n\cos\left(\dfrac{2n\pi}{5}t\right)+b_n\sin\left(\dfrac{2n\pi}{5}t\right)$ pour tout nombre réel $t$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer qu'au rang 5, $u_5(t)$ est nul pour tout nombre réel $t$.
		\item On appelle $E_0$ la valeur de $E$ pour laquelle l'harmonique de rang 3 est nulle, c'est-à-dire la valeur de $E$ telle que $u_3(t)$ est nul pour tout nombre réel $t$.

Déterminer la valeur exacte, puis une valeur approchée à $10^{-2}$ près, de $E_0$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\bigskip

\emph{Dans ce problème, à l'aide d'un transformateur à diode, on approche un signal sinusoïdal redressé par une fonction affine par morceaux.}

\emph{Un tel signal avec $u_3(t) = u_5(t) = 0$ permettra :}

\setlength\parindent{5mm}
\emph{\begin{itemize}
\item[\ding{51}]  s'il est associé à un moteur, de réduire les à-coups du couple
\item[\ding{51}] s'il est associé à un transformateur, d'éviter les pertes
\item[\ding{51}] s'il est associé à un filtre, d'éliminer plus facilement les harmoniques de rang impair d'ordre supérieur.
\end{itemize}}
\setlength\parindent{0mm}
\end{document}