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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur }
\lfoot{\small{Design d'espace, de produits}}
\rfoot{\small{juin 2008}}
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\pagestyle{fancy}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\ Design d'espace  Design de produits session 2008}  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 8 points}

On considère le triangle ABC tel que AC = 24~cm, BC = 28~cm et AB = 40~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Faire un dessin à l'échelle $\dfrac{1}{4}.$
\item  Calculer la mesure en degrés de l'angle $\widehat{\text{ACB }}$ du triangle ABC.

Arrondir à $10 ^{-1}$.
\item  On admet pour la suite que l'angle $\widehat{\text{ACB }}$ a une mesure de 100,3~\degres.

Calculer l'aire $S$ du triangle ABC. Arrondir à $10 ^{-1}$.

\item  Pour la suite, on admet que $S  = 330,6$~cm$^2$.

Calculer l'aire $S'$ du triangle dessiné à la première question.

\item  On appelle H le pied de la hauteur issue du point C. Placer H sur le dessin.

Donner l'expression de l'aire du triangle ABC en fonction de CH. En déduire CH.

\item  Calculer la mesure en degrés de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$. Arrondir à $10 ^{-1}$.

\item  En utilisant un résultat admis au \textbf{3.} et le résultat obtenu au \textbf{6.}, calculer une valeur approchée de la mesure de l'angle $\widehat{\text{CBA}}$.

\item  On appelle J le point situé sur la droite (CH) à l'extérieur du triangle ABC et tel que IH = 8~cm (sur le dessin, compte tenu de l'échelle, IH = 2~cm).

Placer le point J et dessiner le triangle A$'$B$'$C$'$, image du triangle ABC par la rotation de centre J et d'angle $- 90$~\degres.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 12 points}

\medskip

\emph{L'objectif de cet exercice est de tracer deux courbes de Bézier qui permettent de définir, avec l'axe des abscisses, une forme utilisée pour un logo.}

\medskip

Dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 2~cm, on considère les points :

\[\text{P}_{0}(2~;~0)~~;~~\text{P}_{1}(1~;~3)~~;~~ \text{P}_{2}(-2~;~0).\]

 La courbe de Bézier $\mathcal{C}_{1}$ définie par ces points de contrôle est l'ensemble des points $M_{1}(t)$ tels que pour tout $t$ de l'intervalle [0~;~  1] :
 
\[\vect{\text{O}M_{1}(t)} = (1 - t)^2\vect{\text{OP}_{0}}+ 2t(1 - t) \vect{\text{OP}_{1}} + t^2 \vect{\text{OP}_{2}}.\]

\begin{enumerate}
\item  Démontrer que les coordonnées $x_{1}$ et $y_{1}$ des points $M_{1}$ de cette courbe ont pour expression :

\[x_{1} = f_{1}(t) = -2t^2 - 2t + 2\quad  \text{et} \quad  y_{1} = g_{1}(t) = -6t^2 + 6t.\]

\item  Étudier les variations de $f_{1}$ et $g_{1}$, sur [0 ;  1] et rassembler les résultats dans un tableau unique.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Donner un vecteur directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_{1}$ en chacun des points P$_{0}$ et P$_{2}$ et tracer ces tangentes. Placer le point P$_{1}$. 
		\item  Tracer la courbe $\mathcal{C}_{1}$.
	\end{enumerate}
\item On considère maintenant les points de contrôle :

\[\text{P}_{2}(-2~;~0)~~ ;~~ \text{P}_3(0 ~;~2)\quad  \text{et}~ \text{P}_{4}(l~;~0). \]

On admet que la courbe $\mathcal{C}_{2}$ définie par ces trois points est l'ensemble des points $M_{2}$ de coordonnées :

\[x_{2} = f_{2}(t) = -t^2 + 4t - 2~~ \text{et}~~ y_{2} = g_{2}(t)= -4t^2+4t\]

où $t$ appartient à l'intervalle [0~;~1].

Le tableau des variations conjointes de $f_{2}$ et $g_{2}$ est le suivant :\\

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(8,7)
\psframe(8,7) \psline(0,2)(8,2)  \psline(0,3)(8,3) \psline(0,5)(8,5)
\psline(0,6)(8,6) \psline(2,0)(2,7)
\uput[u](1,6){$t$} \uput[u](2.1,6){$0$} \uput[u](5,6){$0,5$} \uput[u](7.85,6){1}
\rput(1,5.5){$f'_{2}(t)$} \rput(5,5.5){+}
\rput(1,4){$f_{2}(t)$} \rput(2.3,3.2){$-2$}
\rput(7.9,4.8){1}
\rput(1,2.5){$g'_{2}(t)$} \rput(3.5,2.5){$+$}
\rput(5,2.5){$0$} \rput(6.5,2.5){$-$}
\rput(1,1){$g_{2}(t)$} \rput(2.1,0.2){$0$}\rput(5,1.8){1} \rput(7.8,0.2){0}
\psline{->}(2.7,3.2)(7.5,4.8) 
\psline{->}(2.4,0.1)(4.6,1.7) \psline{->}(5.4,1.7)(7.5,0.2)
\end{pspicture}
\end{center}

Montrer que les courbes $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$ ont la même tangente au point P$_{2}$.

\item Dans cette question, tous les tracés sont à effectuer sur la figure du \textbf{3. b.}.
	\begin{enumerate}
		\item  Placer les points P$_{3}$ et P$_{4}$ puis tracer la tangente a la courbe $\mathcal{C}_{2}$ au point P$_{4}$.
		\item  Tracer la courbe $\mathcal{C}_{2}$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}