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\begin{document}
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\lhead{\small Brevet de technicien supérieur }
\lfoot{\small{Groupement E\\Art céramique\\Expression visuelle}}
\rfoot{\small{juin 2008}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\Groupement E session 2008}  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 8 points}

\medskip

On considère le triangle ABC tel que AC = 24~cm, BC = 28~cm et AB = 40~cm.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Faire un dessin à l'échelle $\dfrac{1}{4}$. 
 \item Calculer la mesure en degrés de l'angle $\widehat{\text{ACB}}$ du triangle ABC.
 
Arrondir à $10^{- 1}$. 
 \item On admet pour la suite que l'angle $\widehat{\text{ACB}}$ a une mesure de 100,3~\degres.
 
Calculer l'aire $S$ du triangle ABC. Arrondir à $10^{- 1}$. 
\item Pour la suite, on admet que $S = 330,6$~cm$^2$.
 
Calculer l'aire $S'$ du triangle dessiné à la première question. 
\item On appelle H le pied de la hauteur issue du point C. Placer H sur le dessin.

Donner l'expression de l'aire du triangle ABC en fonction de CH.
  
En déduire CH. 
\item Calculer la mesure en degrés de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$.

Arrondir à $10^{- 1}$. 
\item En utilisant un résultat admis au 3. et le résultat obtenu au 6., calculer une valeur approchée de la mesure de l'angle $\widehat{\text{CBA}}$. 
\item On appelle I le point situé sur la droite (CH) à l'extérieur du triangle ABC et tel que IH = 8~cm (sur le dessin, compte tenu de l'échelle, IH = 2~cm).
 
Placer le point I et dessiner le triangle A$'$B$'$C$'$, image du triangle ABC par la rotation de centre I et d'angle $- 90$\degres.  
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 12 points}

\medskip
 
Le plan est muni d'un repère orthogonal \Oij{} où l'unité graphique sur l'axe des abscisses est 1~cm et l'unité graphique sur l'axe des ordonnées est 2~cm. 
On considère la courbe $\mathcal{C}$ dont un système d'équations paramétriques est : 

\[\left\{\begin{array}{l c l c l}
x&=&f(t)&=& t^3 + t^2 - 6t + 2\\ 
y& =& g(t)&=& t^2 + t - 4
\end{array}\right.\] 

où $t$ appartient à l'intervalle $[-3~;~2]$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Calculer $f'(t)$ et $g'(t)$ où $f'$ et $g'$ sont les fonctions dérivées respectives des fonctions $f$ et $g$. 
\item Résoudre dans $[-3~;~2]$ l'équation $g'(t) = 0$. 
\item On admet que l'équation $f'(t) = 0$ a deux solutions : $t_{1}$ et $t_{2}$,où $t_{1} \approx 1,1$ et $t_{2} \approx - 1,8$. Pour quelles valeurs de $t$ la courbe $\mathcal{C}$ admet-elle une tangente horizontale  ?
 
Pour quelles valeurs de $t$ la courbe $\mathcal{C}$ admet-elle des tangentes verticales ? 
\item On donne le tableau de valeurs suivant dans lequel les valeurs approchées sont arrondies à $10^{-1}$.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$t$&$-3$& $-2,6$& $t_{2} \approx  -1,8$&$-1$&$-0,5$\\ \hline 
$f(t)$&2&6,8&10,2&8&5,1\\ \hline 
$g(t)$&2&0,2&$-2,6$&$-4$&$-4,3$\\ \hline
\multicolumn{5}{c}{}\\ \cline{1-5}
$t$&1&$t_{1}\approx 1,1$&1,6&2&\multicolumn{1}{|l}{}\\ \cline{1-5}
$f(t)$&$-2$&$-2,1$&$-0,9$&2&\multicolumn{1}{|l}{}\\ \cline{1-5} 
$g(t)$&$-2$&$-1,7$&0,2&2&\multicolumn{1}{|l}{}\\ \cline{1-5}
\end{tabularx}

\medskip
 
Calculer $f(0),~ g(0),~f(- 2)$ et $g(- 2)$. 
\item Établir, sans explication, le tableau des variations conjointes de $f$ et $g$. 
\item On observe que les deux valeurs $- 3$ et 2 du paramètre $t$ correspondent à un même point E de la courbe $\mathcal{C}$.  
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer un vecteur directeur $\vect{V}$ de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point E obtenu pour $t = -3$. 
		\item Déterminer un vecteur directeur $\vect{V}'$ de la tangente $T'$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point E obtenu pour $t = 2$. 
	\end{enumerate} 
\item En respectant l'unité graphique imposée, tracer dans le repère \Oij{} la courbe $\mathcal{C}$,  ses tangentes verticales, sa tangente horizontale et les deux tangentes $T$ et $T'$. 
\end{enumerate}
\end{document}