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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur }
\lfoot{\small{Groupement E\\Art céramique\\Expression visuelle}}
\rfoot{\small{juin 2007}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\Groupement E session 2007}  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 7 points}

\medskip

L'objectif de cet exercice est de déterminer le volume du pied d'une table de salon composée d'un plateau carré et d'un pied en forme de tétraèdre tronqué. Le pied de cette table est donc un tétraèdre auquel on a enlevé la partie supérieure (voir figure).

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(10,10)
\psline(0,1.6)(5.3,0)(9.3,1.8)(5.6,6.3)(2.15,6.2)(4.1,5.8)(5.6,6.3)%BCAA'B'C'A'
\psline(0,1.6)(2.15,6.2)%BB'
\psline(5.3,0)(4.1,5.8)%CC'
\psline[linestyle=dashed](5.6,6.3)(3.4,9.1)(4.1,5.8)%%A'SC'
\psline[linestyle=dashed](2.15,6.2)(3.4,9.1)(3.6,1)%B'SH
\psline[linestyle=dashed](0,1.6)(9.3,1.8)%BA
\uput[r](9.3,1.8){A}  \uput[l](0,1.6){B}  \uput[d](5.3,0){C}  
\uput[ur](5.6,6.3){A$'$}  \uput[ul](2.15,6.2){B$'$}  \uput[dr](4.1,5.8){C$'$} 
\uput[u](3.4,9.1){S}  \uput[r](3.6,1){H}  \uput[r](3.4,6.2){H$'$} 
\end{pspicture}
\end{center}

On donne BC =  30~cm, AC  = 45~cm, AB =60~cm et la hauteur SH = 81~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer l'angle $\widehat{\text{C}}$ du triangle ABC. Arrondir au degré.
		\item  Calculer l'aire du triangle ABC. Arrondir au cm$^2$.
		\item  Calculer le volume du tétraèdre SABC. Arrondir au cm$^3$.
		
\emph{On rappelle que le volume d'un tétraèdre est donné par :}

\[V = \dfrac{1}{3}B \times h.\]

\emph{où $B$ est l'aire de la base et $h$ la hauteur du tétraèdre.}
	\end{enumerate}
\item Les plans (ABC) et (A$'$B$'$C$'$) sont parallèles et la hauteur du tétraèdre SA$'$B$'$C$'$ est SH$'= 27$~cm. On donne B$'$C$' = 10$~cm, A$'$C$'$ = 15~cm et A$'$B$' = 20$~cm.

Calculer le volume $V'$ du tétraèdre SA$'$B$'$C$'$. Arrondir au cm$^3$.
\item Déduire des questions précédentes le volume du pied de cette table.
\end{enumerate}
 
\newpage

\textbf{Exercice 2 \hfill 13 points}

\medskip

Dans un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 2~cm, on considère la courbe $\mathcal{C}$ dont un système d'équations paramétriques est :

\[\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\left\{\begin{array}{l c l c l}
x&=&f(t)&=& \dfrac{5}{1+t^2}\\
y&=&g(t)&=&t^2  - 3t\\
\end{array}\right.~
\text{où}~t~\text{appartient à l'intervalle}~ [-2~;~3].\] 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(t)$ et $g'(t)$ ou $f'$ et $g'$ sont les fonctions dérivées respectives des fonctions $f$ et $g$.
\item Étudier les signes respectifs de $f'(t)$ et $g'(t)$ lorsque $t$ varie dans l'intervalle $[-2~;~3]$.
\item Rassembler les résultats dans un tableau de variations unique.
\item Déterminer un vecteur directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ en chacun des quatre points E, F, G et H obtenus respectivement pour $t = -2$, pour $t  = 0$, pour $t =  1,5$ et pour $t = 3$.
\item Placer les points E, F, G et H et tracer avec précision sur une feuille de papier millimétré la tangente en chacun de ces points, puis la courbe $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}
\end{document}