%!TEX encoding = UTF-8 Unicode
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pst-plot,pst-text,pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Groupement E}}
\rfoot{\small{juin 2006}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\ Groupement E session 2006}  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 12 points}

\medskip

Dans un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 5~cm, on considère la courbe $\mathcal{C}$ dont un système d'équations paramétriques est :

\[\left\{\renewcommand{\arraystretch}{2.5}\begin{array}{l c l c l}
x &=&f(t)& =& - t^3 + 3t\\
y&=&g(t) &=& - 2t^3 -  \dfrac{3}{2}t^2 + 3t\\
\end{array}\right. ~ \text{où}~ t~ \text{appartient à l'intervalle [0~;~1]}.\]

\begin{enumerate}
\item  Calculer $f'(t)$ et $g'(t)$ ou $f'$ et $g'$ sont les fonctions dérivées respectives des fonctions $f$ et $g$.
\item  Étudier les signes respectifs de $f'(t)$ et $g'(t)$ lorsque $t$ varie dans l'intervalle [0~;~1].
\item  Rassembler les résultats dans un tableau de variations unique.
\item  Déterminer un vecteur directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ en chacun des trois points O, A, B obtenus respectivement pour $t = 0,~ t = 0,5$ et $t =  1$.
\item  Placer les points O, A, B, tracer avec précision, sur une feuille de papier millimétré, la tangente en chacun des points, puis la courbe $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 8 points}

\medskip

On considère le quadrilatère ABCD où :

AB $= 10$~cm, $\widehat{\text{BAD}} = 90$\degres,~ $\widehat{\text{CAB}} = 30$\degres,~ $\widehat{\text{ABD}}= 30$\degres  et $\widehat{\text{DBC}} = 40$\degres (voir la figure).

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(11,6)
%\psgrid
\pspolygon(1,0)(10.3,0)(7.7,4.4)(1,5.3)%ABCD
\psline(1,0)(7.7,4.4) \psline(10.3,0)(1,5.3)
\psframe(1,0)(1.4,0.4)
\psarc(1,0){1.6}{0}{33}
\psarc(10.3,0){1.4}{150}{180}
\psarc(10.3,0){1.6}{120}{150}
\psarc(10.3,0){1.7}{120}{150}
\uput[dl](1,0){A} \uput[dr](10.3,0){B} 
\uput[r](7.7,4.4){C} \uput[dl](1,5.3){D} 
\rput(3,0.6){$30$\degre} \rput(8.6,0.5){$30$\degre}
\rput(8.7,1.6){$40$\degre}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Calculer AB et BD : donner tes valeurs exactes, puis les valeurs approchées arrondies au millimètre.
\item Calculer AC et BC : donner les valeurs exactes, puis les valeurs approchées arrondies au millimètre.
\item En déduire DC : préciser la formule utilisée et donner la valeur approchée arrondie au millimètre.
\item Calculer l'aire $\mathcal{A}$ du quadrilatère ABCD : préciser la méthode utilisée et donner la valeur approchée arrondie au millimètre cané.
\end{enumerate}

\bigskip

\emph{La méthode utilisée dans cet exercice pour le calcul de \textup{DC} peut être utilisée pour calculer, à partir de deux points \textup{A }et \textup{B} situés sur une côte, la distance séparant deux points \textup{D} et \textup{C} situés en mer.}
\end{document}