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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Groupement E}}
\rfoot{\small{juin 2005}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\ session 2005 - Groupement E}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

Dans un repère orthonormal \Oij{} d'unité graphique 1~cm, on considère la courbe ($\Omega$) définie par le système d'équations paramétriques suivant :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x(t) &=& 5t^2\\
 y(t)&=&- 10t^2 + 10t + 1\\
 \end{array}\right.~ \text{où}~ t~ \text{est un paramètre réel appartenant à l'intervalle [0~;~1]}.\]

\begin{enumerate}
\item  Quelles sont les coordonnées du point A de la courbe ($\Omega$) correspondant à $t = 0$ ? Même question pour
le point S de ($\Omega$) obtenu pour $t = \dfrac{1}{2}$.
\item  Montrer que le point B de coordonnées (5~;~1) est un point de la courbe ($\Omega$).
\item  Dresser le tableau de variations de la fonction $x$ sur l'intervalle [0~;~1]. 
\item On se propose d'étudier les variations de la fonction $y$ sur l'intervalle [0~;~1]. 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $y'$ où $y'$ désigne la fonction dérivée de $y$. 
		\item  Étudier le signe de $y'(t)$. 
		\item  Dresser le tableau des variations de $y$. 
	\end{enumerate}
\item Regrouper tous les résultats obtenus en un seul tableau donnant, en fonction de $t$, les signes de $x'(t)$ et de $y'(t)$ et les variations de $x$ et de $y$. 
\item Montrer que la tangente en A à la courbe ($\Omega$) est parallèle à l'axe des ordonnées. 
\item Montrer que la tangente en S à la courbe ($\Omega$) est parallèle à l'axe des abscisses. 
\item Soit le point C( 0 ; 6) Montrer que la tangente en B à la courbe ($\Omega$) est la droite (BC). 
\item Dans le repère \Oij{} placer les points A, B et S, tracer les tangentes à ($\Omega$) en ces points puis tracer la courbe ($\Omega$). 
\item Tracer l'image ($\Omega '$)de la courbe ($\Omega$) par la symétrie orthogonale par rapport à la droite (BC).
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

Le plan ($\mathcal{P}$) est rapporté au repère orthonormé \Oij. L'unité est le centimètre. La figure de l'annexe 1 (qui n'est pas dessinée à l'échelle) a été réalisée de la manière suivante :

On a tracé le cercle ($\Gamma$) de centre O de rayon 6 et les points A(0 ; 6) et B(3 ; 0) et on a complété avec les points :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] C qui est l'un des points d'intersection du cercle de centre B et de rayon BA avec l'axe des abscisses
\item[$\bullet~$] et E qui est l'un des points d'intersection du cercle ($\Gamma$) et du cercle de centre A et de rayon AC.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer les longueurs AB, OC et AC. On donnera les valeurs exactes puis arrondies au mm.
\item  On utilisera les valeurs exactes trouvées au \textbf{1.}. 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que $\cos \left(\widehat{\text{AOE}}\right) = \dfrac{\sqrt{5} - 1}{4}$.
		\item  Calculer l'aire du triangle AIDE, on donnera la valeur exacte puis arrondie au mm$^2$. 
	\end{enumerate}
\item On admettra que l'angle $\widehat{\text{AOE}}$ mesure exactement 72 \degres.

Soit $r$ la rotation de centre O et d'angle 72 \degres dans le sens trigonométrique c'est à dire inverse de celui des aiguilles d'une montre. 
	\begin{enumerate}
		\item  Quelle est l'image de A par $r$ ? Justifier. 
		\item  Placer sur l'annexe 1, \textbf{que vous remettrez avec votre copie}, l'image F de E par $r$, puis l'image G de F par $r$ et enfin l'image H de G par $r$. 
		\item  Quelle est l'image de H par $r$ ? Justifier. Quelle est la nature du polygone AEFGH ? Justifier. 
	\end{enumerate}
\item Calculer l'aire du polygone AEFGH ; on donnera la valeur exacte puis arrondie au mm$^2$. 
\item Calculer le périmètre du polygone AEFOH ; on donnera la valeur exacte puis arrondie au mm.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\psset{unit=0.461cm}
\begin{pspicture}(-13,-9)(13,9)
\psaxes[linewidth=0.5pt,Dx=1,Dy=1,labels=none]{->}(0,0)(-13,-9)(13,9)
\uput[ul](0,6){A} \uput[d](3,0){B} \uput[d](-3.708,0){C} \uput[ul](-5.7,1.8){E}\uput[dr](0,0){O}
\pscircle(0,0){6} \psarc(3,0){6.7082}{116}{180}
\psarc(0,6){7.05342}{216}{238}
\psline(0,6)(-5.7,1.8)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}