%!TEX encoding = UTF-8 Unicode
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{graphicx} 
\newcommand{\euro}{\texteuro{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pst-plot,pst-text}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\setlength\parindent{0mm}
\begin{document}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Groupement E}}
\rfoot{\small{juin 2004}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\session 2004 - Groupement E}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle [0~;~2] par :

\[f(x) = \text{e}^x.\]

Recopier et compléter le tableau suivant en donnant des valeurs approchées à $10^{-2}$ près :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$&	0&0,5&1&1,5&2\\ \hline
$f(x)$&&&&&  \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item  Soit la fonction $h$ définie sur l'intervalle [0 ; 2] par : $h(x) = ax^2  + bx$ où $a$ et $b$ sont deux nombres réels donnés.

Déterminer les réels $a$ et $b$ pour que la représentation graphique de la fonction $h$ passe par le point A de coordonnées (1 ; 1) et admette en ce point une tangente horizontale, c'est à dire parallèle à l'axe des abscisses. 
\item  Soit la fonction $g$ définie sur l'intervalle [0 ; 2] par : $g(x) = - x^2 + 2x$.

Déterminer $g'$, fonction dérivée de $g$. Étudier son signe et donner le tableau des variations de la fonction $g$ sur l'intervalle [0~;~2]. 
\item  Soit un repère orthonormé \Oij{} d'unité graphique  : 1~cm et dont on placera l'origine au centre de la feuille. Construire dans ce repère la courbe $\mathcal{C}_{1}$ représentative de la fonction $f$ et la courbe $\mathcal{C}_{2}$ représentative de la fonction $g$. 
\item  On appelle $\mathcal{D}$ le domaine limité par les courbes $\mathcal{C}_{1},~\mathcal{C}_{2}$ et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 2$.

Calculer l'aire de ce domaine  $\mathcal{D}$ en cm$^2$ en valeur exacte, puis en valeur approchée à $10^{-2}$, près. 
\item  Construire le domaine $\mathcal{D}_{1}$, symétrique du domaine $\mathcal{D}$ par rapport à l'origine O du repère.

Construire le domaine $\mathcal{D}_{1}$, image, par la rotation de centre O et d'angle 90~\degres, de la réunion des deux domaines $\mathcal{D}$ et  $\mathcal{D}_{1}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

On dispose d'un cube ABCDEFGH, dessiné ci-dessous, dont l'arête mesure 6~cm.

Soit I le milieu du segment [FF] et J le point du segment [EH] tel que EJ = 2~cm.
 
\medskip

On considère la pyramide CIJHG.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer le volume $V$ de la pyramide CIJHG.

On rappelle que le volume d'une pyramide est $\dfrac{1}{3}b \times h$ où $b$ désigne l'aire de la base et $h$ la hauteur de la pyramide.
\item  Calculer la longueur de toutes les arêtes de cette pyramide CIJHG.
\item  Calculer la valeur arrondie au degré près de l'angle $\widehat{\text{JIC}}$.
\item  Calculer l'aire latérale (c'est à dire la somme des aires des cinq faces) de cette pyramide CIJHG.
\end{enumerate}
 
\medskip
 
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(12,12.5)
\uput[ul](4.1,9.3){A}  \uput[ul](3.5,12.2){B}  \uput[ur](11.05,9.4){C} 
\uput[ur](11.7,6.6){D}  \uput[dl](0.6,2.88){E}  \uput[ul](0,5.7){F}
\uput[r](7.5,3){G}  \uput[dr](8.05,0){H}  \uput[l](0.3,4.2){I}
\uput[d](3,2){J}
\pspolygon(4.1,9.3)(3.5,12.2)(11.05,9.4)(11.7,6.6)(8.05,0)(0.6,2.88)%ABCDHE
\psline(3.5,12.2)(0,5.7)(0.6,2.88)%BFE
\psline(4.1,9.3)(11.7,6.6)%AD 
\pspolygon[linestyle=dotted](11.05,9.4)(7.5,3)(8.05,0)%CGH
\pspolygon[linestyle=dotted](11.05,9.4)(3,2)(0.3,4.2)%CJI
\psline[linestyle=dotted](0.3,4.2)(7.5,3)(0,5.7)%IGF    
\end{pspicture}
\end{document}