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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Groupement E}}
\rfoot{\small{juin 2003}}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\ session 2003 - Groupement E}}
  
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 13 points}
 
\medskip
 
Soit la fonction $g$ définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par 

\[g(x) = ax^3 + bx + c~ \text{où}~a,~ b~\text{et}~ c~ \text{désignent trois nombres réels}.\]

\begin{enumerate}
\item  Déterminer les réels $a,~ b$ et $c$ sachant que la courbe représentative de $g$ passe par les points A(0~;~2) et B(2~;~14) et que $g'(1) = 5$, où $g'$ désigne la fonction dérivée de $g$.
\item  Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par :

\[ f(x)  = x^3 + 2x + 2.\]

On note $\mathcal{C}$ la représentation graphique de la fonction $f$ dans un repère orthogonal d'unité 1~cm pour l'axe des abscisses et 0,5~cm pour l'axe des ordonnées.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $f'(x)$ où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$.
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $[- 2~;~2]$.
		\item Dresser le tableau des variations de $f$ sur cet intervalle.
		\item Tracer la partie $\Omega$ de la courbe $\mathcal{C}$, correspondant à l'intervalle $[-2~;~ 2]$, après avoir recopié et rempli le tableau suivant :
		
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&$-2$	&$-1,5$	&$-1$	&$-0,5$	&0	&0,5	&1	&1,5 	&2\\ \hline
$f(x)$	&		&		&		&		&	&		&	&		& \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

	\end{enumerate}

\item
	\begin{enumerate}
		\item Placer sur la courbe $\Omega$ les points A(0~;~2), B(2~;~14) et le point C d'abscisse $-2$. 
		\item Déterminer une équation de la droite (AB). 
		\item Montrer que le point C appartient à la droite (AB).
	\end{enumerate}
\item Calculer l'aire, exprimée en cm$^2$, de la partie du plan délimitée par la courbe $\Omega$, la droite (AB) et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 2$. 

\item Construire l'image $\Omega_{1}$ de $\Omega$ par la symétrie orthogonale d'axe la droite (AB). 
\item Soit $\Omega_{2}$ la réunion des courbes $\Omega$ et $\Omega_{1}$. Construire l'image $\Omega_{3}$ de $\Omega_{2}$ par la rotation de centre A et d'angle 90\degres{} dans le sens direct (c'est à dire celui inverse des aiguilles d'une montre). 
\item Calculer l'aire du motif obtenu après ces transformations.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 7 points}

\medskip

La figure est à faire à l'échelle $\dfrac{1}{10}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Construire un triangle ABC tel que: AC = 1~mètre, $\widehat{\text{BAC}} = 40$\degres{} et $\widehat{\text{ACB}} =  25$\degres.
\item  Soit D le milieu du segment [AC]. Construire le triangle ADE tel que \\$\widehat{\text{DAE}} =  85$\degres,~ $\widehat{\text{ADE}} = 50$\degres{} et tel que E et B soient de part et d'autre du segment [AC].
\item  Calculer les valeurs arrondies au mm des longueurs AE et AB.
\item  Calculer les valeurs arrondies au cm$^2$ des aires des triangles ABC et ADE.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Construire l'image de la figure ABCDE par la symétrie orthogonale d'axe (AE). On obtient alors le contour d'un cerf-volant à recouvrir de tissu.
		\item  Calculer la valeur arrondie au \textbf{dm}\boldmath$^2$\unboldmath, de la surface de tissu nécessaire au recouvrement de la structure de ce cerf-volant.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}