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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Groupement E}}
\rfoot{\small{juin 2002}}
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\thispagestyle{empty}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\session 2002 - Groupement E}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 12 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie sur [0~;~5] par

\[f(x) = \dfrac{1}{4}\left(x^3 - 9x^2 + 24x\right)\]

On note $\mathcal{C}_{f}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé d'unité 1~cm.

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $f'(x)$ où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$.
		\item  Résoudre l'équation $f'(x) = 0$. Étudier le signe de $f'(x)$ lorsque $x$ varie dans [0~;~5].
		\item  Dresser le tableau des variations de $f$.
		\item  Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ à l'origine O du repère.
		\item  Tracer la courbe $\mathcal{C}_{f}$ et sa tangente $T$.
 	\end{enumerate}
\item Soit $g$ la fonction définie sur [0~;~5] par $g(x) = - x^2
+ ax + b$.

Déterminer les réels $a$ et $b$ sachant que la courbe représentative de $g$ passe par l'origine O du repère et par le point A de coordonnées (5~;~5).

\item	Soit $h$ la fonction définie sur [0~;~ 5] par $h(x)= - x^2  + 6x$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $h'(x)$ où $h'$ désigne la fonction dérivée de $h$.
		
Étudier le signe de $h'(x)$ lorsque $x$ varie dans [0~;~5]. 
		\item Dresser le tableau des variations de $h$. 
		\item Montrer que les courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{h}$ ont, en O, la même tangente $T$. 
		\item Construire la courbe $\mathcal{C}_{h}$ dans le même repère que précédemment.
	\end{enumerate}
\item	Soit $\mathcal{S}$ la partie du plan comprise entre les courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{h}$. Calculer l'aire de $\mathcal{S}$en cm$^2$ ;  on en donnera la valeur exacte et une valeur arrondie au centième.
\item	Construire les images $\mathcal{C}'_{f}$ et $\mathcal{C}'_{h}$, de $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{h}$, par la rotation de centre O et d'angle 90 \degres dans le sens direct (c'est à dire inverse des aiguilles d'une montre). 

Construire ensuite les images des quatre courbes $\mathcal{C}_{f},~\mathcal{C}_{h},~\mathcal{C}'_{f}$ et $\mathcal{C}'_{h}$ par la symétrie de centre O.
\end{enumerate}
	
\newpage

\textbf{Exercice 2 \hfill 8 points}

\medskip

\parbox{0.4\linewidth}{Toutes les mesures de longueur sont en cm et celles de volume en cm$^3$.

On considère la figure ci-contre, dans laquelle :
\begin{itemize}
\item ABCDEFGH est un cube d'arête 6.	
\item  On a placé :
	\begin{itemize}
		\item A$'$ sur [AB] tel que AA$' = x$ ;	
		\item B$'$ sur [BC]tel que  BB$' = x$ ;
		\item C$'$ sur [CD] tel que CC$' = x$ ;
		\item D$'$ sur[DA] tel que DD$' = x$,
	\end{itemize}
	où $x$ est un nombre réel de l'intervalle [0~;~6]
	
(On sait alors que A$'$B$'$C$'$D$'$ est un carré)
\item On note S le centre du carré EFGH
\end{itemize}} \hfill
\parbox{0.55\linewidth}{\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(7,8)
\pspolygon(0,0.8)(4.9,0)(6.8,2.1)(6.8,6.9)(1.8,7.7)(0,5.6)%EHGCBA
\psline(4.9,0)(4.9,4.8)(6.8,6.9)%HDC
\psline(0,5.6)(4.9,4.8)%AD
\pspolygon(3.35,1.4)(4,4.95)(6.3,6.35)(2.85,7.5)(0.55,6.2)%SD'C'B'A'S
\psline(3.35,1.4)(2.85,7.5)%SB'
\psline(3.35,1.4)(6.3,6.35)%SC'
\psline(0.55,6.2)(4,4.95)%A'D'
\psline[linestyle=dashed](0,0.8)(1.8,2.9)(1.8,7.7)%EFB
\psline[linestyle=dashed](1.8,2.9)(6.8,2.1)%FG
\uput[ul](0,5.6){A}  \uput[u](1.8,7.7){B}  \uput[ur](6.8,6.9){C}  \uput[ul](4.9,4.8){D}  
\uput[dl](0,0.8){E}  \uput[ur](1.8,2.9){F}  \uput[r](6.8,2.1){G}  \uput[d](4.9,0){H}  
\uput[ul](0.55,6.2){A$'$}  \uput[u](2.85,7.5){B$'$}  \uput[dr](6.3,6.35){C$'$}  \uput[u](4,4.95){D$'$}  
\uput[d](3.35,1.4){S}  
\end{pspicture}}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que le volume noté $V(x)$ de la pyramide SA$'$B$'$C$'$D$'$ est $V(x) =  4\left(x^2 - 6x + 18\right)$.

 On rappelle que le volume d'une pyramide est égal à $\dfrac{1}{3}b  \times h$ où $b$ désigne l'aire de sa base et $h$ la mesure de sa
hauteur.

\item On prend maintenant $x = 2$.
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer alors les mesures, arrondies au centième, des arêtes de la pyramide.
		\item  Calculer ensuite la mesure en degré, arrondie au centième, de l'angle $\widehat{\text{A}'\text{SC}'}$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}