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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
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\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Groupement E}}
\rfoot{\small{mai 2001}}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur session 2001~\decofourright\\ Groupement E}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 12 points}

\medskip

Soit $f$ la fonction numérique de la variable $x$ définie, pour tout $x$ élément de $[- 1~;~3]$ par

\[f(x) = - \dfrac{1}{2} x^2 + x + \dfrac{1}{2}\]

Soit $(\mathcal{P})$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal \Oij. L'unité graphique est 1~cm.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la dérivée de $f$
		\item  Étudier le signe de cette dérivée.
		\item  Dresser le tableau de variations de $f$ sur $[- 1~;~3]$.
		\item  Compléter le tableau de valeurs ci-dessous :\\
		
		\medskip
		
		 \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&$-1$	&$-0,5$	&0	&0,5&1	&1,5&2	&2,5&3\\ \hline
$f(x)$	&		&		&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

		\item   Construire la courbe $(\mathcal{P})$ et placer les points A$(-1~;~-1)$, B$(3~;~-1)$ et C$(7~;~-1)$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que l'aire en cm$^2$ du domaine (M) limité par $(\mathcal{P})$ et le segment [AB] est égale à

\[I = \int_{-1}^3 [f(x) + 1]\:\text{d}x.\]

		\item  Calculer l'aire du domaine (M) au mm$^2$ près.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Construire l'image (M$_{1}$) de (M) par la symétrie de centre B.
		\item  Construire l'image (M$_{2}$) de la réunion de (M) et (M$_{1}$) par la translation de vecteur $\vect{\text{AC}}$.
		\item  Construire l'image (M$_{3}$) de la réunion de (M), (M$_{1}$) et (M$_{2}$) par la rotation de centre C
et d'angle $- \frac{\pi}{2}.$
		\item  Déterminer l'aire globale de la figure obtenue.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 8 points}

\medskip

Soient (EFGH) un carré de côté 6~cm, D le point du segment [EF] tel que ED = 2~cm et J le milieu de [FG].

\begin{enumerate}
\item Construire le point K de [HG] tel que 
$\widehat{\text{DIK}} = 67 \degres $.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer la distance DI.
		\item Calculer l'angle $\widehat{\text{DIF}}$ (donner sa mesure au degré près).
		\item  En déduire l'angle $\widehat{\text{KIG}}$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer la distance KI.
		\item  Calculer l'aire du triangle DIK. Donner sa mesure au mm$^2$ près.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer la distance KD.
		\item  Calculer l'angle $\widehat{\text{KDI}}$. Donner sa mesure au degré près.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}