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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Groupement D}}
\rfoot{\small{juin 2007}}
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\pagestyle{fancy}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur session 2007~\decofourright\\ Groupement D}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill $10$ points}

\medskip

Dans cet exercice on s'intéresse à un flotteur réalisé en plastique allégé.

\begin{center} \textbf{Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendantes} \end{center}

\medskip

\textbf{A. Résolution d'une équation différentielle}

\medskip

On considère l'équation différentielle
 
\[(\text{E})~~:\quad  y' - y = - \text{e}^x,\]

où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$, définie et dérivable sur $\R$ et $y'$ la fonction dérivée de $y$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Déterminer les solutions sur $\R$ de l'équation différentielle 

\[\left(\text{E}_{0}\right) \quad  y' - y = 0.\]

\item  Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par $h(x) = - x\text{e}^x$.

Démontrer que la fonction $h$ est une solution particulière de l'équation différentielle (E).
\item  En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E).
\item  Déterminer la solution de l'équation différentielle (E) qui vérifie la condition initiale $f(0) = 2$.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{B. Étude d'une fonction et calcul intégral}

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie sur $[-2~;~2]$ par
 
\[f(x) =  (2 - x)\text{e}^x.\]

On désigne par $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal \Oij{}	où l'unité graphique est 2~centimètres.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $f'(x)$ pour tout $x$ de $[-2~;~ 2]$.
		\item  Étudier le signe de $f'(x)$ lorsque $x$ varie dans $[-2~;~ 2]$.
		\item  Établir le tableau de variation de $f$ sur $[-2~;~ 2]$.
 	\end{enumerate}		
\item Construire la courbe $\mathcal{C}$ sur une feuille de papier millimétré.
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Résoudre algébriquement dans $[-2~;~ 2]$ l'inéquation $f(x) \geqslant  2 - x$.
		\item Retrouver graphiquement le résultat du \textbf{3. a}. On fera apparaître sur la figure du \text{2}
les constructions utiles.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que la fonction $F$ définie sur $[-2~;~ 2]$ par $F(x) = \left(\dfrac{1}{2}x^2 -  \dfrac{5}{2}x + \dfrac{13}{4}\right)\text{e}^{2x}$
est une primitive sur $[-2~;~ 2]$ de la fonction $x \longmapsto  [f(x)]^2$.
		\item  Application :
		
On considère le solide $S$ engendré par la rotation autour de l'axe des abscisses de la panic du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et la droite d'équation $x = - 2$.

\medskip

\emph{Le solide obtenu est utilisé pour réaliser un modèle de flotteur en plastique allégé.}

On admet que le volume $V$, en unités de volume, du solide $S$ est :

\[V = \pi \int_{-2}^2  [f(x)]^2\:\text{d}x.\]
Établir que $V = \dfrac{\pi}{4} \left( \text{e}^x - 41\text{e}^{-4}\right)$.
		\item  Donner la valeur approchée de $V$ en cm$ ^3$ arrondie à $10^{-3}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}
 
\textbf{Exercice 2 \hfill $10$ points}

\medskip

\begin{center}
\textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante}
\end{center}

Dans cet exercice, on s'intéresse au contrôle de la qualité de la fabrication du modèle de flotteur décrit dans l'exercice 1.

\medskip
 
\textbf{ A. Loi binomiale}

\medskip

On considère un stock important de flotteurs.

Dans cette partie, les résultats approchés sont à arrondir à $10^{-2}$  près.

On dit qu'un flotteur est acceptable si sa masse, exprimée en grammes, appartient à l'intervalle [24,5~;~25,5].

On prélève au hasard un flotteur dans le stock.
 
On note E l'évènement : \og le flotteur prélevé dans le stock est acceptable \fg.
 
On suppose que $P(\text{E}) = 0,26$. On prélève au hasard $n$ flotteurs dans le stock pour vérification. Le stock est assez important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement de $n$ flotteurs à un tirage avec remise.
  
On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement ainsi défini, associe le nombre de flotteurs acceptables dans le prélèvement.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
\item  Dans cette question, on suppose $n =  6$. 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, deux flotteurs exactement soient acceptables. 
		\item  Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, au plus deux flotteurs soient acceptables.
	\end{enumerate}
\item Dans cette question, on considère un prélèvement de $n$ flotteurs. 
	\begin{enumerate}
		\item  Donner, en fonction de $n$ l'expression de $P(X= 0)$. 
		\item  Soit F l'évènement : \og dans le prélèvement, au moins un flotteur est acceptable \fg.
		
Calculer la valeur minimale $n_{0}$ de $n$ telle que $P(\text{F}) \geqslant  0,95$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{B. Loi normale}

\medskip

Dans cette partie les résultats sont à arrondir $10^{-2}$ près.

On désigne par $Y$ la variable aléatoire qui, à chaque flotteur prélevé au hasard dans la production d'une journée, associe sa masse exprimée en grammes. On suppose que la variable aléatoire $Y$ suit la loi normale de moyenne $25$ et d'écart type $1,58$.

\begin{enumerate}
\item  Calculer la probabilité qu'un flotteur prélevé au hasard dans la production de la journée ait une masse inférieure ou égale à $27$~grammes.
\item  Calculer la probabilité qu'un flotteur prélevé au hasard dans la production de la journée ait une masse inférieure ou égale à $24,5$~grammes.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{C. Probabilités conditionnelles}

\medskip

Dans cette partie, les résultats sont à arrondir à $10^{-4}$ près.

Les flotteurs sont fabriqués par deux machines notées $M_{1}$ et $M_{2}$.

60\,\% des flotteurs proviennent de la machine $M_{1}$ et 40\,\% proviennent de la machine $M_{2}$.

On admet que 1,3\:\% des flotteurs provenant de la machine $M_{1}$ sont défectueux et que 1,8\:\% des flotteurs provenant de la machine $M_{2}$ sont défectueux.
 
On prélève au hasard un flotteur dans la production d'un mois. On considère les évènements suivants :

\setlength\parindent{10mm} 
\begin{itemize}
\item[] $A_{1}$ : \og le flotteur provient de la machine $M_{1}$ \fg{} ;
\item[] $A_{2}$ : \og le flotteur provient de la machine $M_{2}$ \fg{} ;
\item[] $D$ : \og le flotteur est défectueux \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Déterminer $P\left(A_{1}\right), ~P\left(A_{2}\right),~ P\left(D / A_{1}\right)$ et $P\left(D /A_{2}\right)$.

On rappelle que $P\left(D /A_{1}\right) =  P_{A_{1}}(D)$ est la probabilité de l'évènement $D$ sachant que l'évènement $A$ est réalisé.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer les valeurs exactes des probabilités $P\left(A_{1}  \cap  D\right)$ et $P\left(A_{2} \cap D\right)$.
		\item  En déduire la valeur exacte de la probabilité qu'un flotteur prélevé au hasard dans la production du mois soit défectueux.
	\end{enumerate}
\item Calculer la probabilité qu'un flotteur provienne de la machine $M_{1}$ sachant qu'il est défectueux.
\end{enumerate}
\end{document}