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\begin{document}
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\lhead{\small Brevet de technicien supérieur }
\lfoot{\small{Groupement D}}
\rfoot{\small{juin 2005}}
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\begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\ Groupement D session 2005}  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 12 points}

\textbf{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.}

\medskip

Un laboratoire pharmaceutique fabrique, en très grande quantité, un certain type de comprimés dont la masse est exprimée en milligrammes.

\begin{center}
\textbf{Dans cet exercice, les résultats approchés sont à arrondir à} \boldmath  $10^{-2}$\unboldmath.
\end{center}

\textbf{A. Loi normale}

\medskip

Un comprimé de ce type est considéré comme acceptable pour la masse lorsque celle-ci appartient à l'intervalle [580~;~620].

On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque comprimé prélevé au hasard dans la production, associe sa masse.
 
On suppose que $X$ suit la loi normale de moyenne $600$ et d'écart type $9$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer la probabilité qu'un comprimé prélevé au hasard dans la. production soit acceptable pour la masse. 
\item   Déterminer le nombre réel positif $\alpha$ tel que : $P(600-\alpha \leqslant X \leqslant  600+\alpha) = 0,90$.
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{B. Loi binomiale et approximation d'une loi binomiale}

\medskip

On admet que 3\,\% des comprimés d'un lot important ne sont pas acceptables pour la masse. On prélève au hasard $N$ comprimés de ce lot pour vérification de la masse. Le lot est suffisamment important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de $N$ comprimés.

On considère la variable aléatoire $Y$ qui, à tout prélèvement de $N$ comprimés, associe le nombre de comprimés non acceptables pour la masse.

\begin{enumerate}
\item  Justifier que la variable aléatoire $Y$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.
\item Dans cette question, on prend $N = 10$. 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement de 10~comprimés, un comprimé exactement, ne soit pas acceptable pour la masse. 
		\item  Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement de 10~comprimés, un comprimé au moins, ne soit pas acceptable pour la masse.
	\end{enumerate}	
\item Dans cette question, on prend $N = 50$. 
	\begin{enumerate}
		\item  On considère que la loi suivie par $Y$ peut être approchée par une loi de Poisson. Déterminer le paramètre $\lambda$ de cette loi de Poisson. 
		\item  On désigne par $Z_{1}$ une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre $\lambda$, où $\lambda$ a la valeur obtenue au \textbf{a.}. En utilisant cette loi de Poisson, calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement de 50~comprimés, au plus 2~comprimés ne soient pas acceptables pour la masse.
\end{enumerate}
		
\item Dans cette question, on prend $N =  \np{1000}$. On décide d'approcher la loi de la variable aléatoire $Y$ par la loi normale de moyenne $30$ et d'écart type $5,39$. On note $Z_{2}$ une variable aléatoire suivant la loi normale de moyenne $30$ et d'écart type $5,39$. 
	\begin{enumerate}
		\item  Justifier les paramètres de cette loi normale. 
		\item  Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement de \np{1000}~comprimés, au plus 25~comprimés ne soient pas acceptables pour la masse, c'est à dire calculer $P\left(Z_{2} \leqslant  25,5\right)$.
	\end{enumerate}
		
\medskip

\textbf{C Intervalle de confiance}

\medskip

Dans cette partie, on s'intéresse à la masse d'un stock important de comprimés. On prélève au hasard et avec remise un échantillon de $100$~comprimés dans le stock. Soit $\overline{M}$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 100~comprimés prélevés au hasard et avec remise dans le stock, associe la moyenne des masses des comprimés de cet échantillon.

On suppose que $\overline{M}$ suit la loi normale de moyenne inconnue $\mu$ et d'écart type $\dfrac{\sigma}{\sqrt{100}}$ avec
$\sigma = 9$.

Pour l'échantillon prélevé, la moyenne obtenue est $502$. Déterminer un intervalle de confiance centré sur de la moyenne inconnue $\mu$ des masses des comprimés du stock considéré, avec le coefficient de confiance $95$\:\%.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 8 points}

\medskip

On décide de mesurer en fonction du temps la quantité de principe actif d'un médicament présent dans le sang d'un groupe de patients en traitement dans un hôpital.

À l'instant $t$, exprimé en minutes, on note $q(t)$ la quantité exprimée en milligrammes de ce principe actif, contenue dans le sang d'un patient.
\begin{center}
\textbf{Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante. }\end{center}

\textbf{A. Résolution d'une équation différentielle}

\medskip

On admet que la fonction $q$ est solution de l'équation différentielle 

\[(\text{E})~: \quad  4y' + y  = - 0,002t + 2,992\]

où $y$ est une fonction de la variable réelle $t$ définie et dérivable sur [0~;~\np{1440}] et $y'$ sa fonction dérivée.

\medskip

\begin{enumerate}
\item   Déterminer les solutions de l'équation différentielle $\left(\text{E}_{0}\right) \quad  4y' + y = 0.$

\item Déterminer deux nombres réels $a$ et $b$ tels que la fonction $g$ définie sur [0~;~\np{1440}] par $g(t) = at + b$ soit une solution particulière de l'équation différentielle (E).

\item En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E).

\item Déterminer la solution $q$ de l'équation différentielle (E) qui vérifie la condition initiale $q(0) = 0$.
\end{enumerate}
  
\bigskip

\textbf{B. Étude d'une fonction et calcul intégral}

\medskip

On admet dans cette partie que, pour tout $t$ de [0~;~\np{1440}], 

\[q(t) = 3 - 0,002t - 3\text{e}^{-\frac{t}{4}}.\]

 On rappelle que le temps $t$ est exprimé en minutes.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $q^{\prime}(t)$ pour tout $t$ de [0~;~\np{1440}]. 
		\item  Résoudre dans [0~;~\np{1440}] l'inéquation $q^{\prime}(t) \geqslant  0$. 
		\item  En déduire le sens de variation de $q$ sur [0~;~\np{1440}].
		
La fonction $q$ admet un maximum pour $t =  t_{0}$. Donner la valeur approchée arrondie à $10^{-2}$ de $t_{0}$ et $q\left(t_{0}\right)$.
	\end{enumerate}
\item Calculer la quantité de principe actif restant dans le sang d'un patient 24~heures après l'injection du médicament. On arrondira le résultat à $10^{-2}$ près.
\item Démontrer que la valeur moyenne $V_{m}$ de la fonction $q$ sur [0~;~\np{1440}] est :

\[V_{m} = \dfrac{1}{\np{1440}}\left(\np{2234,4} + 12 \text{e}^{-360}\right).\]
 
\end{enumerate}
\end{document}