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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
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\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur S}
\lfoot{\small{Groupement D}}
\rfoot{\small{Session 2003}}
\begin{center}
\begin{Large}\textbf{\decofourleft~BTS : Groupement D session 2003~\decofourright}
\end{Large}
\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 11 points}

\medskip

\textbf{Partie A }

\medskip

On considère l'équation différentielle 

\[(E)~~ : \quad 4y' + y = \np{1200}\text{e}^{-\frac{1}{4}x}\] 

où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$, définie et dérivable sur $\R$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la constante réelle $a$ telle que la fonction $h_1$ définie par 

$h_1(x)= ax\text{e}^{-\frac{1}{4}x}$ soit solution de $(E)$.
\item Résoudre l'équation différentielle $(E_0)$ : $4y' + y = 0$ et en déduire les solutions de $(E)$.
\item Déterminer la fonction $h$ solution de $(E)$ qui vérifie $h(6) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B }

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $[6~;~+\infty[$ par $f(x)=300(x - 6)\text{e}^{-\frac{1}{4}x}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
\item Montrer que $f'(x)=75(10 - x)\text{e}^{-\frac{1}{4}x}$.
\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[6~;~+\infty[$ et donner son tableau de variations.
\item Tracer la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal. (unités graphiques : 0,5~cm sur l'axe des abscisses ; 1~mm sur l'axe des ordonnées)
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C }

\medskip

Une société veut vendre des machines destinées à certaines entreprises. Le prix de vente minimal est fixé à \np{10000}~ euros. Le nombre prévisible, $y$, de machines vendues, est fonction du prix proposé, en milliers d'euros, $x$. Une enquête auprès de clients potentiels a donné les résultats suivants:

\medskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_i$ : \small{Prix proposé pour une machine} &  &  &  &  &  &  \\ 
 & 10 & 12,5 & 15 & 17,5 & 20 & 25 \\ 
\small{en milliers d'euros} &  &  &  &  &  &  \\  
\hline \small{$y_i$ : Nombre prévisible de machines}&  &  &  &  &  &  \\ 
& 100 & 85 & 62 & 42 & 28 & 11 \\ 
\small{vendues au prix proposé} &  &  &  &  &  &  \\  \hline 
\end{tabularx} 
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Représenter les six points du nuage sur le graphique de la question B4.
		\item On pose $z_i=\text{ln}\left( \dfrac{y_i}{x_i-6} \right)$. Donner les valeurs de $z_i$ arrondies au millième le plus proche.
		\item Donner une équation de la droite de régression de $z$ en $x$ ; les coefficients seront arrondis au millième le plus proche.
		\item En déduire une expression approchée de $y$ de la forme 

$y=\alpha (x - 6) \text{e}^{\beta x}$.

	\end{enumerate}
\item On admet dans cette question que le chiffre d'affaires est $g(x)= x f(x)$ pour $x \geqslant 10$, où $x$ est le prix proposé en milliers d'euros et $f$ la fonction définie dans la partie B.

En étudiant les variations de la fonction $g$ déterminer pour quel prix le chiffre d'affaires est maximal et donner la valeur du maximum.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2  \hfill 9 points}

\medskip

Deux machines $M_A$ et $M_B$ produisent, en grande série, des objets de masse théorique 180~grammes.

\medskip

\textbf{Partie 1 }

\medskip

On note $X_A$ (respectivement $X_B$) la variable aléatoire qui, à un objet pris au hasard dans la production de la machine $M_A$  (respectivement $M_B$) associe sa masse en grammes. On sait que $X_A$ (respectivement $X_B$) suit une loi normale de moyenne $m_A$  (respectivement $m_B$) et d'écart type $\sigma_A$ (respectivement $\sigma_B$). Un objet est conforme si sa masse est comprise entre 178~g et 182~g.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On donne $m_A = 179,8$ et $\sigma_A = 1$. Calculer la probabilité qu'un objet pris au hasard dans la production de la machine $M_A$ soit conforme.
\item On donne $m_B = 180$ et on sait que 98\,\% des objets fabriqués par la machine $M_B$ sont conformes. Calculer l'écart type $\sigma_B$ (résultat arrondi au centième).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie 2 }

\medskip

Dans la production totale, 40\,\% des objets proviennent de la machine $M_A$ et 60\,\% de la machine $M_B$. La machine $M_A$ produit 5\,\% d'objets non conformes et la machine $M_B$ en produit 2\,\%.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On prélève au hasard un objet dans la production. Calculer la probabilité que cet objet soit conforme.
\item On prélève au hasard un objet dans la production et on constate qu'il est conforme. Quelle est alors la probabilité (arrondie au millième) que cet objet provienne de la machine $M_A$ ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie 3 }

\medskip

On admet que 96,8\,\% des objets de la production sont conformes. Les objets sont stockés par boîtes de vingt. On désigne par $Y$ la variable aléatoire qui associe à une boîte prise au hasard le nombre d'objets conformes de cette boîte.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner les paramètres de la loi binomiale suivie par $Y$.
\item On choisit une boîte au hasard dans la production. Calculer la probabilité  des évènements suivants :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\renewcommand{\labelitemi}{$\bullet$}
\item tous les objets sont conformes;
\item au moins dix-huit objets sont conformes.\\
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\end{enumerate}

\bigskip 

\textbf{Partie 4 }

\medskip

On admet que la variable aléatoire $\overline{X}$ qui associe à un échantillon de taille 100 sa masse moyenne en grammes suit une loi normale de moyenne $m$ et d'écart type 0,092.

La valeur exacte de la masse moyenne $m$ des objets étant inconnue, on prélève au hasard un échantillon de 100~objets dont la masse moyenne est $179,93$~g. Déterminer un intervalle de confiance, au seuil de risque 10\,\%, de la valeur de $m$.
\end{document}