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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Groupement D}}
\rfoot{\small{mai 2001}}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur session 2001~\decofourright\\ Groupement D}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre}.

\medskip

On se propose d'étudier l'évolution en fonction du temps des températures d'un bain et d'un solide plongé dans ce bain. Ces températures (à l'instant $t$) sont respectivement notées $\alpha(t)$ et $\beta(t)$. Le temps $t$ est exprimé en seconde et les températures en \degres C.

\bigskip

\textbf{Partie A }

\medskip

Les températures $\alpha(t)$ et $\beta(t)$ vérifient les conditions suivantes :

\[\left\{
\begin{array}{l c l}
(1)\text{ } \alpha'(t)&=&- 0,011 ( \alpha(t) - \beta(t)) \\
(2) \text{ } \beta'(t)&=&\phantom{-}0,021 ( \alpha(t) - \beta(t) ) \\
\end{array}
\right.
~\text{avec}~
\left\{
\begin{array}{l c l}
\alpha(0)&=&40 \\
\beta(0)&=&10 \\
\end{array}\right.\]

\begin{enumerate}
\item On pose $f(t)=\alpha(t) - \beta(t) $.
	\begin{enumerate}
\item Vérifier que $f$ est une solution de l'équation différentielle $y' + 0,032y = 0$.
		\item Résoudre l'équation précédente.
		\item Calculer $f(0)$ et montrer que $f(t)=30\text{e}^{-0,032t}$.
	\end{enumerate}
\item Soit $F$ la primitive de $f$ qui vérifie $F(0)=0$.
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $F(t)$ en fonction de $t$.
		\item À l'aide de la condition (2) justifier que $\beta(t)=K+0,021F(t)$ où $K$ est une constante.
		\item Déterminer $K$ et donner une expression de $\beta(t)$ en fonction de $t$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{Partie B }

\medskip

Pour tout $t$ dans $[0~;~+\infty[$ on pose
 
\renewcommand\arraystretch{1.8}
\[\left\lbrace 
\begin{array}{l}
\alpha(t)= \dfrac{5}{16}\left(95+33 \text{e}^{\frac{-4t}{125}} \right) \\
\beta(t)= \dfrac{5}{16}\left(95-63\text{e}^{\frac{-4t}{125}} \right) \\
\end{array}
\right.\]
\renewcommand\arraystretch{1}
\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $\alpha$ ainsi que celle de $\beta$ en $+\infty$. Que peut-on en déduire pour les courbes représentatives de ces deux fonctions ?
\item Calculer la dérivée et donner les variations de chacune des fonctions $\alpha$ et $\beta$.
\item Construire les courbes représentatives des fonctions $\alpha$ et $\beta$ dans un repère orthogonal (sur papier millimétré ; unités graphiques: 1~cm pour 5~secondes en abscisses et 2~cm pour 5\degres{} C en ordonnée ; on fera varier $t$ entre 0 et 120 secondes).
\item À partir de quel instant la différence de température entre le solide et le bain est-elle inférieure à 1\degres{} C ?
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Exercice 2 \hfill 8 points}

\medskip

Un magicien prétend qu'il peut souvent deviner à distance la couleur d'une carte tirée au hasard d'un jeu de cartes bien battu et comportant des cartes de deux couleurs différentes en nombre égal.

On appelle $p$ la probabilité que le magicien donne une réponse juste (succès) lors d'un tirage.

Si le magicien est un imposteur on a $p=\dfrac{1}{2}$, sinon $p>\dfrac{1}{2}$.

On appellera échantillon de taille $n$ toute réalisation de $n$ tirages successifs d'une carte dans le jeu, avec remise.

\bigskip

\textbf{Partie A }

\medskip

On suppose $p = \dfrac{1}{2}$ et on note $Y$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de taille $n$, associe le nombre de succès du magicien.

(On arrondira les probabilités au dix millième le plus proche.)

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans cette question on prend $n = 20$.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la loi suivie par $Y$ ? Donner ses paramètres.
		\item Calculer la probabilité  $P(Y = 15)$.
	\end{enumerate}
\item Dans cette question on prend $n = 100$. On admet que la variable aléatoire $Y$ peut être approchée par une variable aléatoire $Z$ suivant une  loi normale.
	\begin{enumerate}
		\item Préciser les paramètres de cette loi normale.
		\item Utiliser cette approximation pour calculer $P(Y > 60)$.\\
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B }

\medskip

On appelle $F$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de taille $n$, associe la fréquence des succès obtenus par le magicien au cours des $n$ tirages d'une carte. On admet que $F$ suit la loi normale de moyenne inconnue $p$ et d'écart type $\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}$.

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item On construit un test unilatéral permettant de détecter, au risque de 5\,\%, si le magicien est un imposteur.
\item On choisit comme hypothèse nulle $H_0$ : $p = \dfrac{1}{2}$, et comme hypothèse alternative $H_1$ : $p > \dfrac{1}{2}$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}
\item Calculer, sous l'hypothèse $H_0$, le réel positif $h$ tel que $P \left( F \leqslant \dfrac{1}{2}+h  \right) = 0,95$.
\item Énoncer la règle de décision du test.
\item Sur un échantillon  de taille 100, le magicien a obtenu 64 succès. Peut-on considérer, au risque de 5\,\%, que le magicien est un imposteur ?
\end{enumerate}
\end{document}