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%\author{Baeyens Nicolas}
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{\ifthenelse{\equal{#3}{}}{\underset{#2}{\lim}#1}
{\underset{#2}{\lim} #1 = #3}}
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	{\underset{\rule{0cm}{0.2cm}}{#1}}}
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% Tapuscrit François Dreyfürst
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	{	\begin{center}
		\textbf{\Large #1}
		\end{center}
	}
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\newcommand{\exo}[1]{
   \stepcounter{numexo}
   \textbf{Exercice \arabic{numexo} : \hfill#1 points}  \break
       }
\newcommand{\beqn}{\begin{eqnarray*}} 
\newcommand{\eeqn}{\end{eqnarray*}} 
\newcommand{\cadre}[1]{\red \fbox{\rule[-0.4 cm]{0 cm}{1cm} \black #1} \black}
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\begin{document}
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\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Groupement C}}
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\rfoot{\small{mai 2010}}
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\Titre{Sujet BTS Groupement C Métropole 2010\\ Corrigé}
\exo{12}
~\\
\section*{Partie A : Résolution d'une équation différentielle}
\begin{enumerate}
\item  \begin{enumerate} \item l'équation caractéristique de l'équation différentielle $2y''+y'-y=0$ est $2r^2+r-1=0$\\
$\Delta=b^2-4ac=1^2-4\times 2\times (-1)=9=3^2$\\
L'équation caractéristique admet 2 solutions réelles.\\
\begin{minipage}{5cm}
\beqn
x_1&=&\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\\
&=& \dfrac{-1-3}{2\times2}\\
&=& -1
\eeqn
\end{minipage}
\begin{minipage}{5cm}
\beqn
x_2&=&\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}\\
&=& \dfrac{-1+3}{2\times2}\\
&=& \dfrac{1}{2}
\eeqn
\end{minipage}

\cadre{La solution générale de l'équation différentielle $2y''+y'-y=0$ est $y(x)= \lambda \e^{-x}+\mu \e^{\dfrac{1}{2}x}$, $(\lambda,\mu) \in \R^2$}
\item On pose $g(x)=ax+b$ donc $g'(x)=a$ et $g''(x)=0$\\
$g$ est solution de l'équation différentielle (E) : $2y''+y'-y=-x+2$ si : \\
\beqn 
2g''(x)+g'(x)-g(x)&=&-x+2 \\
2\times 0+a-(ax+b)&=&-x+2\\
\red -a\black x+ \blue a-b \black&=& \red-\black x +\blue 2\black \eeqn
On identifie les coefficients : $\left\{ \begin{array}{rcl}
\red -a &=& -1 \\
\blue a-b&=& 2 \end{array} \right.$ 
donc 
$\left\{ \begin{array}{rcl}
\red a &=&\red 1 \\
\blue a-2&=& \blue b \end{array} \right.$ 
donc $\left\{ \begin{array}{rcl}
\red a &=&\red 1 \\
\blue b&=& \blue -1 \end{array} \right.$ 
\cadre{Donc $g(x)=x-1$}
\item \cadre{Les solution de l'équation (E) sont les fonctions $f$ de la forme $f(x)= \lambda \e^{-x}+\mu \e^{\frac{1}{2}x}+x-1$, $(\lambda,\mu) \in \R^2$}
\end{enumerate}
\item $f(0)=\lambda \e^0+\mu \e^0-1$ donc $0=\lambda+\mu-1$ donc \blue $\lambda+\mu=1$ \black \\
$f'(x)=-\lambda \e^{-x}+\frac{1}{2} \mu \e^{\dfrac{1}{2}x}+1$. $f'(0)=-\lambda \e^0+\dfrac{1}{2}\mu \e^0+1$ or $f'(0)=0$ donc\red $-\lambda+\dfrac{1}{2}\mu=-1$ \black \\
On obtient le système suivant : $\left\{ \begin{array}{rcl}
\blue \lambda+\mu&=&1 \\
\red -\lambda+\dfrac{1}{2}\mu&=&-1 \end{array} \right.$  
donc 
$\left\{ \begin{array}{rcl}
 \lambda+\mu&=&1 \\
 \dfrac{3}{2}\mu&=&0  ~~(L_1+L_2) \end{array} \right.$ 
 d'ou 
$\left\{ \begin{array}{rcl}
\mu&=&0 \\
\lambda &=&1 
  \end{array} \right.$ \\
 \cadre{Donc $f(x)= \e^{-x}+x-1$}
 \end{enumerate}
\section*{Partie B}
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate} 
\item \begin{minipage}{4 cm}   $f(x)=\e^{-x}+x-1$ \\ donc \cadre{$f'(x)=-\e^{-x}+1$} \end{minipage}
\begin{minipage}{6 cm}\beqn -e^{-x}+1 &\geqslant& 0 \\
 1 &\geqslant& \e^{-x} \\
 \green \ln( \black 1 \green)  &\geqslant&  \green \ln\left( \black \e^{-x} \green \right) \\
 0 &\geqslant& -x \\
 0 & \red \leqslant & x 
  \eeqn
\end{minipage}
\begin{minipage}{6 cm}  
  $$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{0}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{f'(x)}&\tx{0}&\tx{+}&\cr
}$$
\end{minipage}
%%%
\item \label{lim_expo}
$\left. \begin{array}{lr} 
\left. 	\begin{array}{rcl} 
\displaystyle \lim_{x \rightarrow +\infty} -x&=& \blue -\infty \black \\
	\displaystyle 
	 \lim_{t \rightarrow \blue -\infty}\black  \e^t&=& \red 0 
	\end{array}
	\right\}
	& \text{ Donc } \displaystyle 
	 \lim_{x\rightarrow +\infty} -\e^{-x}= \red 0 \\
&\displaystyle  
\lim_{x\rightarrow +\infty} x+1 = +\infty \end{array} \right\} $ donc \cadre{$\displaystyle  
 \lim_{x\rightarrow +\infty} f(x)=+\infty$ }
\item $$\tabvar{%
\tx{x}&\tx{0}&&\tx{+\infty}\cr
\tx{f'(x)}&\tx{0}&\tx{-}&\cr
\tx{f(x)}&\txb{0}&\fm&\txh{+\infty}\cr
}$$
\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
	\item $f(x)-(x+1)=\e^{-x}+\cancel{x+1}-\cancel{(x+1)}=\e^{-x}$ or d'après la question \ref{lim_expo}, $ \lim_{x\rightarrow +\infty} -\e^{-x}= 0$. \\ Donc  $\lim_{x\rightarrow +\infty} f(x)-(x+1)=  0$.\\
\red {\black La droite d'équation $y=x+1$ est asymptote à la courbe $\mathscr{C}$ au voisinage de $+\infty$.} \black 
	\item Pour tout $x \geqslant 0$ $f(x)-(x+1)=\e^{-x}>0$.
\red	{\black Donc la courbe $\mathscr{C}$ est toujours située au-dessus de la droite $\mathscr{D}$} \black
\end{enumerate}
\item voir annexe
\item \begin{minipage}{5cm}\beqn \int_0^2 \e^{-x} \text{d}x &=& \left[ -\e^{-x} \right]_0^2 \\
&=& -\e^{-2}+\e^{0} \\
&=& 1-\e^{-2}
\eeqn \end{minipage}
\cadre{$\displaystyle  \int_0^2 \e^{-x} \text{d}x = 1-\e^{-2}$.}\\
L'aire du domaine délimité par la courbe $\mathscr{C}$ la droite $\mathscr{D}$ et les droites d'équation $x=0$ et $x=2$ est 

\hbox{$\mathscr{A}=\displaystyle  \int_0^2 f(x)-(x-1) \text{~d}x \text{~u.a} =\displaystyle  \int_0^2 \e^{-x} \text{~d}x $ u. a}\\
or 1 u.a = 2$\times$2 cm$^2$ donc \cadre{$\mathscr{A}=4-4e^{-2} \text{cm}^2 \approx 3,46 \text{cm}^2$}
\end{enumerate}
\newpage
{\bf \LARGE Annexe}\\
\bigskip

\psset{xunit=2cm , yunit=2cm}
\begin{pspicture*}(-0.25,-2.25)(8.25,8.25)
\def\xmin{0} \def\xmax{8} \def\ymin{-2} \def\ymax{8}
\psframe[linewidth=0.3pt,linecolor=gray](-0.25,-2.25)(8.25,8.25)
\def\pshlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\def\psvlabel#1{\psframebox*[framesep=1pt]{\small #1}}
\psset{xunit=2cm,yunit=2cm}
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=.4pt, gridcolor=black, subgridwidth=.2pt, subgridcolor=gray, subgriddiv=2](0,0)(0,-2)(8,8)
\psset{xunit=2cm , yunit=2cm}
\psclip{%
\psframe[linestyle=none](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
}
\newrgbcolor{couleur1}{0.6549 0.6549 0}
\newrgbcolor{couleur2}{0 0.3176 0.4745}
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
\def\F{0 x sub EXP x add 1 sub}
\psplot[linecolor=black,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{8}{\F}
\def\G{x 1 sub}
\psplot[linecolor=blue,linestyle=solid,plotpoints=1000]{0}{8}{\G}

\endpsclip
\psaxes[labels=all,labelsep=1pt, Dx=1,Dy=1,Ox=0,Oy=0]{-}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\uput[dl](0,0){0}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(8.1,0) \uput[d](8.1,0){\small $x$}
\pcline[linewidth=1pt]{->}(0,-2)(0,8.2) \uput[l](0,8.2){\small $y$}
\end{pspicture*}
\newpage
\exo{8}
\section*{Partie A}
\begin{enumerate}
\item \beqn p(59,5 \leqslant X\leqslant 61,1)&=&  p\left(\dfrac{59,5-60,3}{0,4} \leqslant \dfrac{X-60,3}{0,4}\leqslant \dfrac{61,1-60,3}{0,4} \right)\\
&=& p\left(-2  \leqslant \dfrac{X-60,3}{0,4}\leqslant 2 \right)\\
&=& 2 p\left(\dfrac{X-60,3}{0,4}\leqslant 2 \right)-1 \\
&=& 2\times 0,9772-1=0,9544 \text{~~car la variable aléatoire $\dfrac{X-60,3}{0,4}$ suit la loi normale $\mathscr{N}(0,1)$}
\eeqn
\cadre{$p(59,5 \leqslant X\leqslant 61,1)=0,9544$}
\item 
\beqn p(59,5 \leqslant X\leqslant 61,1)&=& 0,99\\
 p\left(\dfrac{59,5-60,3}{\sigma} \leqslant \dfrac{X-60,3}{\sigma}\leqslant {61,1-60,3}{\sigma} \right)&=&0,99\\
  p\left(\dfrac{0,8}{\sigma} \leqslant \dfrac{X-60,3}{\sigma}\leqslant \dfrac{0,8}{\sigma} \right)&=&0,99\\
 2\times p\left(\dfrac{X-60,3}{\sigma}\leqslant \dfrac{0,8}{\sigma} \right)-1&=&0,99\\
  p\left(\dfrac{X-60,3}{\sigma}\leqslant \dfrac{0,8}{\sigma} \right)& \dfrac{0,99+1}{2}=0,995
\eeqn
Comme la variable aléatoire $\dfrac{X-60,3}{0,4}$ suit la loi normale $\mathscr{N}(0,1)$ on en déduite que $\dfrac{0,8}{\sigma}=2,575$ donc \cadre{$\sigma=\dfrac{0,8}{2,575}\approx0,31$}
\end{enumerate}

\section*{Partie B}

\begin{enumerate}
\item On choisit une pièce dans la production, il y a 2 issues : 
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] on appelle succès l'évènement : \og la pièce est non conforme \fg, $p=0,05$
\item[$\bullet$] on appelle échec l'évènement : \og la pièce est conforme \fg, $p=0,95$
\end{itemize}

On répète 80 fois l'expérience de manière indépendante. (on assimile le tirage à un tirage avec remise)

Donc la variable aléatoire $Y$ comptabilisant le nombre de succès suit la loi binomiale de paramètre $n=80$ et $p=0,05$
\item $p(Y=3)=C_80^3\times 0,05^3 \times 0,95^77=0,20$ \cadre{$p(Y=3)=0,20$}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item le paramètre $\lambda$ de la loi de poisson est $\lambda=n\times p=80\times0,05$ \cadre{$\lambda=4$}
		\item Soit $Z$ la variable aléatoire suivant la loi de poisson de paramètre $\lambda=4$.\\
 $p(Z\leqslant 3)=p(Z=0)+ p(Z=1)+ p(Z=2)+ p(Z=3)=0,018+0,073+0,147+0,195=0,433$
\cadre{ $p(Z\leqslant 3)=0,43$}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%% Fichier tabvar.tex

