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   \textbf{Exercice \arabic{numexo} : \hfill#1 points}  \break
       }

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\begin{document}
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\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}%tapez un titre
\lfoot{\small{Groupement C}}
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\rfoot{\small{mai 2009}}
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\Titre{\decofourleft~Sujet BTS Groupement C Métropole 2009~\decofourright\\ Corrigé}
\exo{10}
~\\
\textbf{Partie A : Résolution d'une équation différentielle}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Soit $g$ une solution constante de (E)  : $y''+2y'+y=3$.

On pose $g(x)=c$, où $c\in \R$ et donc $g'(x)=0$ et $g''(x)=0$

Si $g$ est solution de (E)  on a : $g(x)''+2g'(x)'+g(x)=3$ donc \cadre{$g(x)=c=3$}
\item 
\begin{itemize} 
\item[$\bullet$] \uwave{On résout l'équation ($E_0$) $y''+2y'+y=0$}\\
l'équation caractéristique est $r^2+2r+1=0$ soit $(r+1)^2=0$. donc l'équation caractéristique admet une racine double $r=-1$ donc la solution générale de l'équation ($E_0$) est \green $y_0=(\lambda x + \mu)\text{e}^{-x}$  ou $\lambda \in \R$ et $\mu\in \R$ \black
\item[$\bullet$] \uwave{On résout  l'équation (E)}

La solution générale de l'équation (E) est \cadre{$y(x)=(\lambda x + \mu)\text{e}^{-x}+3$}
\end{itemize}
\item Graphiquement on constate que $f(0)=5$ et qu'au point d'abscisse 0, la courbe $\mathscr{C}$ admet une tangente horizontale donc $f'(0)=0$\\
On pose $f(x)=(\lambda x + \mu)\text{e}^{-x}+3$.\\
\begin{minipage}[b]{8 cm} \beqn f(0)&=&(\lambda \times 0 + \mu)\text{e}^{-0}+3 \\
5&=& \mu+3\eeqn
donc {\blue $\mu=2$}
et  $f(x)=(\lambda x +2)\text{e}^{-x}+3$.\\ 
\end{minipage} ~~
\begin{minipage}[b]{8 cm}
On calcule $f'(x)$\\
\begin{tabular}{lcl}
$u(x)=(\lambda x +2)$ & & $u'(x)=\lambda$ \\
$v(x)=\text{e}^{-x}$ & & $v'(x)=-\text{e}^{-x}$
\end{tabular}
$f'(x)=\lambda \text{e}^{-x}+ (\lambda x +2)(-\text{e}^{-x})$\\
donc $f'(0)=\lambda \text{e}^0-(\lambda \times 0 + 2)\text{e}^{0}$ donc $0=\lambda-2$ donc {\blue $\lambda=2$}
\end{minipage} 
\cadre{Donc on a $f(x)=(2 x +2)\text{e}^{-x}+3$}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Étude statistique}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
$x$ & 2,3 & 1,4 & $-$0,6 & 2,9 & $-$0,3 & $-$0,8 & 0,8 & 0,1\\\hline
$y$ & 3,8 & 4,4 & 1,6 & 3,5 & 3,8 & 1,3 & 4,8 & 4,9 \\\hline
$z=(y-3)\text{e}^x$ & 8,0&5,7 &-0,8 &9,1 &0,6 &-0,8 &4,0 &2,1\\\hline
\end{tabular}
\item Les points semblent alignés, un ajustement affine semble approprié.
\item À la calculatrice on obtient : \cadre{$r=1,00$ et $z=2,80x+1,46$}
\item D'après la question précédente on peut approcher le nuage des points $M\left(x_i,~z_i\right)$ par une droite car le coefficient de corrélation $r$ est très proche de 1.

On a  $z= (y - 3)\text{e}^{2,80x+1,46}$ donc  $y-3=(2,80x+1,46)\text{e}^{-x}$donc \blue \hbox{$y=(2,80x+1,46)\text{e}^{-x}+3$.} \black  On retrouve donc une fonction du type $(\lambda x + \mu)\text{e}^{-x}+3$.\\
\red Donc le nuage de points peut être ajusté par une courbe représentant une fonction solution de l'équation (E), cette fonction est $f(x)=(2,80x+1,46)\text{e}^{-x}+3$ \black
\end{enumerate}

\newpage

\exo{10}
\textbf{Partie A}

\medskip

On a $\lambda = n\times p$ donc $\lambda=60\times 0,05=3$\\
\cadre{ On approche $Y$ par une variable aléatoire $Z$ qui suit une loi de Poisson de paramètre  $\lambda=3$.}

\beqn p(Z\geqslant 6)&=&1-p(Z<6)\\
&=&1-(P(Z=0)+p(Z=1)+p(Z=2)+p(Z=3)+p(Z=4)+p(Z=5))\\
&=& 1-(0,0498+0,1494+0,224+0,224+0,168+0,1008)\\
&=& 0,084 \eeqn
\cadre{$p(Z\geqslant 6)=0,08$} \\
\textbf{Partie B}\\
\begin{enumerate}
\item $\bar{d}=\dfrac{1\times13+2,5\times16+\ldots+10\times5}{100}=\dfrac{4335}{100}$
\cadre{$\bar{d}=4,34$}
\item 
L'hypothèse nulle est $H_0 \: : \; \mu=4$.
\begin{enumerate}
\item \cadre{l'hypothèse alternative $H_1 \: : \; \mu > 4$.}
\item Sous l'hypothèse $H_0$, la variable aléatoire $\overline{D}$ suit la loi normale de moyenne 4 et d'écart-type 0,24.\\
\beqn P(\overline{D} \leqslant 4+h)&=&\nombre{0,95} \\
 P\left( \dfrac{\overline{D}-4}{0,24}  \leqslant \dfrac{\cancel{4}+h-\cancel{4}}{0,24} \right) &=&\nombre{0,95} \\ 
 P\left( \dfrac{\overline{D}-4}{0,24} \leqslant \dfrac{+h}{0,24} \right)&=&\nombre{0,95} \eeqn 
La variable aléatoire $\dfrac{\overline{D}-4}{0,24}$ suivant la loi normale $\mathscr{N}(0,1)$ on en déduit d'après la table que \hbox{$\dfrac{h}{0,24}=1,645$} donc $h=1,645\times 0,24=0,3948$
\cadre{$h=0,39$}
\item $4+h=4,39$\\
\red \fbox{\black 
\begin{minipage}{15 cm}
\begin{itemize} \item[$\bullet$] si si $\bar{d} \leqslant 4,38$ (soit 4h 22 min et 48s) alors au risque de 5\% le temps d'attente moyen n'est pas supérieur à 4h.

		\item[$\bullet$] si $\bar{d} > 4,38$  alors au risque de 5\% le temps d'attente moyen est supérieur à 4h.
\end{itemize}
\end{minipage} } \black 

		\item \red \fbox{\black 
\begin{minipage}{15 cm} D'après l'échantillon étudié, $\bar{d}=4,34 \leqslant 4,39$ donc au seuil de 5 \%\ on peut conclure que la moyenne des temps d'attente n'est pas supérieure à 4 minutes 
\end{minipage} } \black 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\Titre{Annexe (à rendre avec la copie)}
\textbf{Exercice 1}

~\\
Sur le graphique ci-dessous sont représentées :

\begin{itemize}
\item Une courbe $\mathscr{C}$, utilisée dans la partie A de l'exercice 1.
\item Un nuage de points utilisés dans la partie B de l'exercice 1.\\
(Les coordonnées des points de ce nuage sont données dans le tableau figurant sous le graphique).
\end{itemize}
\hspace{-1cm}\parbox{\linewidth}{
\begin{center}
\psset{xunit=0.4cm,yunit=0.4cm}
\begin{pspicture*}(-8.86,-3.24)(23.84,26)
\newrgbcolor{couleur3}{0.0941 0.647 0.0196}
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\psset{xunit=2.2231655798870245cm,yunit=2.055335884042061cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt]{->}(0,0)(-2.22,-0.81)(5.96,5.82)
\psplot[plotpoints=200]{-2.2156339137938352}{5.959874099539595}{2*(x+1)*2.718281828^(-x)+3}
\psdots(2.3,3.8)(1.4,4.4)(-0.6,1.6)(2.9,3.5)(-0.3,3.8)(-0.8,1.3)(0.8,4.8)(0.1,4.9)
\def\F{(2.80*x + 1.46)*2.718281828^(-x)+3}
\psplot[linecolor=couleur3,linestyle=solid,plotpoints=1000]{-2}{6}{\F}
%\rput[bl](-1.33,-0.75){$f$}
\rput(-0.2,5.6){$y$}
\rput(5.7,-0.15){$x$}
\end{pspicture*}
\end{center}}\\
\textbf{Partie C}\\
~\\
1) Coordonnées du nuage de points\\
\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|c|c|c|c|}
 \hline
$x$ & 2,3 & 1,4 & $-$0,6 & 2,9 & $-$0,3 & $-$0,8 & 0,8 & 0,1\\
\hline
$y$ & 3,8 & 4,4 & 1,6 & 3,5 & 3,8 & 1,3 & 4,8 & 4,9 \\
\hline
$z=(y-3)\text{e}^x$ & 8,0&5,7 &-0,8 &9,1 &0,6 &-0,8 &4,0 &2,1\\
\hline
\end{tabular} \\
\psset{xunit=1.8cm,yunit=0.9cm}
\begin{pspicture*}(-1.5,-1.5)(3.5,9.5)
\def\xmin{-1} \def\xmax{3} \def\ymin{-1} \def\ymax{9}
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