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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Groupe C}}
\rfoot{\small{juin 2008}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\session 2008 - groupement C}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 9 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

L'étude d'un mouvement a montré que la vitesse exprimée en mètres par seconde est une fonction dérivable $y$ de la variable réelle positive $t$ vérifiant l'équation différentielle (E)

\[y' + 2y =  50.\]

\begin{enumerate}
\item  Résoudre, sur l'intervalle $[0~;~ + \infty[$, l'équation différentielle $y' + 2y =  0$.
\item   Déterminer une fonction constante solution de l'équation (E) sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
\item   En déduire la solution générale de (E) sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
\item  Sachant que la vitesse initiale à l'instant $t =  0$ est nulle, déterminer la vitesse $y$ en fonction de $t$.
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~ + \infty[$ par 

\[f(t) = 25\left(1 - \text{e}^{-2t}\right).\]

On donne sur la feuille \emph{annexe}, à remettre avec la copie, la représentation graphique $\Gamma$ de la fonction $f$ dans un repère orthogonal.

La fonction $f$ représente la fonction vitesse déterminée dans la partie A.

Le but de l'exercice est de justifier et de compléter la représentation graphique de la fonction $f$ donnée en annexe.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Par lecture graphique déterminer une valeur arrondie au dixième de l'instant $t_{0}$ où la vitesse dépasse 20 m.s$^{-1}$.
		\item  Résoudre l'inéquation $f(t) > 20$. En déduire la valeur exacte de $t_{0}$.
	\end{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$ et en donner une interprétation graphique.
\item Démontrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
\item Déterminer une équation de la tangente T à la courbe au point O, origine du repère. Construire cette droite sur l'\emph{annexe} à remettre avec la copie.
\item En utilisant le graphique donné en \emph{annexe}, estimer l'aire en unités d'aire de la partie du plan comprise entre la courbe $\Gamma$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $t = 1$ et $t = 2$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer une primitive $F$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.
		\item  Calculer l'intégrale $\displaystyle\int_1^2  f(t)\:\text{d}t$. En donner une interprétation graphique.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 11 points}

\emph{Les résultats seront arrondis au centième.}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Dans une usine U, une machine produit des barres de métal.

 Dans cette partie on étudie la longueur de ces barres.
 
On définit la variable aléatoire $X$ qui à chaque barre associe sa longueur exprimée en centimètres et on admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi normale de moyenne $m =  92,50$ et d'écart-type $\sigma$.

Une barre de la production est mise au rebut si sa longueur est inférieure à 92,20~cm ou supérieure à 92,80~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On suppose que $\sigma = 0,20$.
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer la probabilité qu'une barre extraite au hasard dans la production de la machine soit mise au rebut.
		\item  Déterminer le réel $a$ tel que la probabilité que la variable aléatoire $X$ prenne de valeurs comprises entre $92,5 - a$ et $92,5 + a$ soit égale à $0,95$.
 	\end{enumerate}
\item Quelle valeur faut-il donner à l'écart type a pour que la probabilité de mise au rebut d'une barre soit égale à $0,08$ ?
\end{enumerate}
 
Dans la suite de l'exercice, on suppose que l'écart type est $\sigma = 0,17$.

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Dans la production de la machine, 8\,\% des barres sont mises an rebut. On prélève un lot de 30~barres extraites au hasard dans la production de la machine. Le nombre de barres produites est suffisamment important pour que l'on assimile ce prélèvement à un tirage avec remise de 30 barres.

On appelle $N$ la variable aléatoire qui à chaque lot de 30~barres associe le nombre de barres qui sont mises au rebut dans ce lot.
\begin{enumerate}
\item Déterminer la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $N$ et donner ses paramètres.

Justifier.

\item Calculer la probabilité qu'aucune barre de ce lot ne soit mise au rebut.

\item Calculer la probabilité que dans un tel lot, au moins $90\:\%$ des barres ne soient pas mises au rebut.
\end{enumerate}
	
\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

La machine se déréglant dans le temps, on veut tester la moyenne $m$ des longueurs des barres produites par la machine. On se demande si on peut accepter, au seuil de risque de 5\,\%, l'hypothèse selon laquelle la moyenne $m$ des longueurs des barres est encore de $92,50$~cm.

Pour cela, on construit un test d'hypothèse bilatéral.
	 
On suppose que la variable aléatoire X, qui à tout échantillon de 30~barres de métal prélevées au hasard associe la moyenne des longueurs en centimètres des barres de l'échantillon, suit une loi normale de moyenne $m$ et d'écart type $0,03$.
	  
On choisit l'hypothèse nulle H$_{0} :  \og m =  92,50 \fg$.

\begin{enumerate}
\item  Donner l'hypothèse alternative H$_{1}$.
\item  Sous l'hypothèse H$_{0}$, calculer le réel $h$ tel que $P(92,5 -  h < X < 92,5 + h) = 0,95$.
\item  Énoncer la règle de décision du test.
\item  On prélève un échantillon de 30 barres extraites au hasard dans la production de la machine, on obtient les résultats suivants : \\

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Longueurs (en cm)&	92,1& 	92,2& 	92,3& 	92,4& 	92,5& 	92,6&	92,7& 	92,8& 	92,9\\ \hline
Nombre de barres&	3&	2&	6&	5&	5&	3& 	2&	2& 	2\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

Au vu des résultats de cet échantillon, peut-on admettre au seuil de risque de 5\:\%, l'hypothèse selon laquelle la moyenne $m$ des longueurs des barres est encore de 92,50~cm ?
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE (À RENDRE AVEC LA COPIE)}
\end{center}

\textbf{Exercice 1}

\medskip

Courbe représentative de la fonction $f$

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=5cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-0.2,-5)(2.2,30)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=5]{->}(0,0)(-0.2,-5)(2.2,30)
\psline(1,-5)(1,30) \psline(2,-5)(2,30) 
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=2000]{-0.09}{2}{1 2.71828 2 x mul neg exp sub 25 mul}
\uput[dl](0,0){O} \uput[u](1.8,23){$\Gamma$}
\uput[u](2.2,0){$t$} \uput[r](0,29){$y$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}