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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur }
\lfoot{\small{Groupement C}}
\rfoot{\small{juin 2006}}
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\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\ Groupement C session 2006\\Métropole -- Polynésie}  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

$y$ désigne une fonction de la variable $z$ définie et deux fois dérivable sur l'ensemble $\R$ des nombres réels.

Soit (E) l'équation différentielle d'inconnue $y$ suivante :

\[y'' - 4y' + 3y  =  - 3x - 2.\]

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre sur l'ensemble $\R$ des nombres réels, l'équation différentielle

 $y'' - 4y' + 3y =  0$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Soit $a$ et $b$ deux réels. On considère la fonction $g$ définie sur l'ensemble $\R$ des nombres réels par $g(x) = ax + b$. \\Déterminer les réels $a$ et $b$ pour que la fonction $g$ soit une solution particulière de l'équation (E).
		\item Résoudre l'équation (E).
 	\end{enumerate}
\item	Déterminer la fonction $f$, solution particulière sur l'ensemble $\R$ des nombres réels de l'équation (E), telle que : $f(0) = - 1$ et $f''(0)= 9$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit la fonction $f$ définie pour tout $x$ réel par 

\[f(x) =  \text{e}^{3x} -x - 2.\]

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$.
\item En remarquant que, pour $x$ différent de $0,~f(x) = x\left(\dfrac{\text{e}^{2x}}{x} - 1 - \dfrac{2}{x}\right)$, déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
\item Étudier les variations de la fonction $f$ et dresser son tableau de variations sur l'ensemble $\R$ des nombres réels.
\item Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal \Oij{} d'unités graphiques :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] 4~cm pour 1 unité sur l'axe des abscisses,
\item[$\bullet~$] 1~cm pour 1 unité sur l'axe des ordonnées.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Montrer que la courbe $\mathcal{C}$ admet pour asymptote la droite $\mathcal{D}$ d'équation 

$y= -x - 2$ au voisinage de $- \infty$.
\item 	Déterminer les positions relatives de la courbe $\mathcal{C}$ et de la droite $\mathcal{D}$ selon les valeurs de $x$.
\item 	Tracer $\mathcal{D}$ et $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}
	
\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Calculer l'aire $\mathcal{A}$, en cm$^2$, du domaine compris entre les droites d'équations $x = -2$ et $x = 0$,
la droite $\mathcal{D}$ et la courbe $\mathcal{C}$. Donner la valeur exacte puis la valeur arrondie au centième de $\mathcal{A}$.

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

\emph{On donnera la valeur arrondie au millième de chacun des résultats de cet exercice.}

\medskip

Une entreprise fabrique des jouets en bois en grande série. On s'intéresse à l'une des pièces de ce jouet comportant une partie cylindrique permettant l'assemblage des différents éléments du jouet

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Pour que l'assemblage soit réalisable, c'est-à-dire que la pièce étudiée soit conforme, le diamètre de la partie cylindrique doit être compris entre 13,7 mm et 14,2 mm.

Soit $X$ la variable aléatoire qui, à toute pièce prélevée au hasard dans la production de l'entreprise, associe le diamètre de la partie cylindrique. \\On admet que $X$ suit la loi normale $\mathcal{N}(14~;~0,1)$.

Calculer la probabilité qu'une pièce prélevée au hasard dans la production de l'entreprise soit conforme.

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Dans cette partie, on considère que 2,4\:\% des pièces de la production ne sont pas conformes.

Soit $Y$ la variable aléatoire qui, à tout lot de 100~unités prélevées au hasard dans la production, associe le nombre de pièces non conformes. On admet que la production de l'entreprise est suffisamment importante pour que ce prélèvement soit assimilé à un tirage avec remise.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la loi suivie par $Y$ ? Justifier la réponse. En donner le (ou les) paramètre(s).
\item Quelle est la probabilité qu'il y ait au moins trois pièces non conformes dans un lot de 100~unités?
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  On approche la variable aléatoire $Y$ par une variable aléatoire $Z$ qui suit une loi de Poisson. Donner le paramètre de cette loi.
		\item  À l'aide de la variable aléatoire $Z$, calculer une estimation de la probabilité qu'il y ait exactement trois pièces non conformes dans un lot de 100~unités.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

L'assemblage des pièces du jouet doit être définitif. Ainsi, la partie cylindrique de la pièce étudiée dans les parties A et B est enduite de colle avant l'assemblage.

Le jouet est destiné à des enfants de moins de 36~mois. Ces enfants ne doivent en aucun cas pouvoir arracher la pièce du jouet, celle-ci présentant un risque d'ingestion.

Pour cette raison, l'entreprise réalise un test d'arrachement sur des échantillons de 50~jouets prélevés au hasard. Ces prélèvements sont assimilés à des tirages avec remise, compte tenu du grand nombre de jouets produits.

Soit $\overline{\text{R}}$  la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 50~jouets, associe la résistance mécanique moyenne de l'assemblage. Cette résistance mécanique est exprimée en déca-newton, noté daN.

Soit $r$ la résistance mécanique moyenne de l'ensemble des jouets produits par l'entreprise. On admet que $\overline{\text{R}}$ suit la loi $\mathcal{N}\left(r~;~\dfrac{1}{\sqrt{50}} \right)$.

On construit un test d'hypothèse unilatéral au risque de 1\:\%, destiné à savoir si la résistance mécanique moyenne des assemblages est égale à 10~daN.

On donne l'hypothèse alternative H$_{1}~:~r > 10$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner l'hypothèse H$_{0}$.
\item Sous l'hypothèse H$_{0}$, quelle est la loi subie par $\overline{\text{R}}$ ?
\item Sous l'hypothèse H$_{0}$,calculer le réel $h$ tel que $P\left(\overline{\text{R}} \leqslant 10 + h\right) = 0,99$.
\item Quelle est la règle de décision du test ?
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Sur un échantillon de 50~jouets, on a relevé les résistances exprimées dans le tableau ci-dessous. Calculer la moyenne $r_{e}$, et l'écart type $\sigma_{e}$ de cet échantillon. Aucune
justification de ces résultat, n'est demandée.
		
\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{2}		
{\small \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{1.3cm}|*{12}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Résistance (daN) &7,5&	8&	8,5&	9&	9,5&	10&	10,5&	11&	11,5&	12&	12,5&	13\\ \hline
Effectifs&	1&	0&	1&	3&	9&	9&	10&	9&	3&	2&	2& 	1\\ \hline
\end{tabularx}}

\medskip
		\item  Au seuil de risque de 1\,\%, et d'après cet échantillon, les jouets produits par l'entreprise sont-ils assez solides ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}