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\begin{document}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur }
\lfoot{\small{Groupement C}}
\rfoot{\small{juin 2005}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\Groupement C session 2005}  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 9 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère l'équation différentielle (E) : $y'- 2y = 4x$, où $y$ désigne une fonction de la variable~$x$ définie et dérivable sur l'ensemble des nombres réels $\R$ et $y'$ sa dérivée.

\begin{enumerate}
\item  Soit l'équation différentielle (E') : $y'-2y = 0$.

Résoudre l'équation différentielle (E$'$).
\item  Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que la fonction $g$ définie pour tout $x$ réel par $g(x) = ax+b$ soit une solution particulière de l'équation (E).
	\begin{enumerate}
		\item  Résoudre l'équation différentielle (E).
		\item  Déterminer la fonction $f$, solution sur $\R$ de l'équation différentielle (E) satisfaisant la condition : $f(0) = 0$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
Soit la fonction $f$, définie pour tout $x$ réel par $f(x) = \text{e}^{2x}- 2x - 1$.

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f$ en $-\infty$.
\item Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$ (on pourra mettre $2x$ en facteur dans l'expression de $f(x)$).

\item Soit $f'$ la fonction dérivée de $f$. Calculer $f'(x)$.

En déduire les variations de la fonction $f$ sur $\R$ et le signe de $f(x)$ suivant les valeurs du réel $x$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

On note $\cal C$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal \Oij{} d'unités graphiques 2~cm sur l'axe des abscisses et 1 cm sur l'axe des ordonnées.

\begin{enumerate}
\item  Montrer que la droite $\cal D$ d'équation $y=-2x-1$ est asymptote à la courbe $\cal C$ au voisinage de $-\infty$.
\item   Construire la courbe $\cal C$ et la droite $\mathcal D$.

\item  On considère l'aire $\mathcal A$ du domaine plan délimité par la courbe $\cal C$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$.\\
Calculer la valeur exacte de $\mathcal A$ en cm$^{2}$, puis en donner l'approximation décimale arrondie an centième.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 11 points}

\medskip

\emph{Les parties A, B, C et D peuvent être traitées indépendamment les unes des autres.}

Une entreprise produit en série des axes de moteurs électriques. Cette entreprise possède trois machines, que l'on appellera E, F et G. Chaque axe est produit par l'une de ces trois machines.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Les machines E, F et G produisent respectivement 25 \%, 35 \% et 40 \% de la production totale.

On constate, un jour donné de production, que les machines E, F et G produisent respectivement 1,5\,\%, 2,5\,\% et 3\,\% d'axes défectueux.

Montrer que la probabilité de prélever au hasard un axe défectueux dans la production totale de l'entreprise de ce jour est de 0,0245.

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\emph{Dans cette partie, on s'intéresse aux axes de moteurs électriques produits par la machine E.}

\medskip

La machine E se déréglant au cours du temps, on décide de noter chaque jour le pourcentage  des axes défectueux produits. On obtient alors le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{3cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Jours $x_i$ & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline
Pourcentage d'axes défectueux $y_i$ & 0,8 & 1,1 & 1,9 & 2,3 & 2,1 & 2,4 & 2,8 & 2,9 \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item  Donner une équation de la droite de régression de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés. (Les résultats seront arrondis à $10^{-3}$).
\item  En admettant que l'évolution du pourcentage d'axes défectueux constatée pendant huit jours se poursuive les jours suivants, quel est le pourcentage prévisible, arrondi à 0,1\,\%, d'axes défectueux produits le onzième jour par la machine E ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

\emph{Dans cette partie, on s'intéresse aux axes de moteurs électriques produits par la machine F.}

\medskip

La machine F produit 2,5\,\% d'axes défectueux. On prélève au hasard, dans la production de la machine F, un lot de 50 axes. La production est suffisamment importante pour que ce prélèvement soit assimilé à un tirage avec remise. On note $Y$ la variable aléatoire qui, à chaque prélèvement de 50 axes de moteurs électriques, associe le nombre d'axes défectueux.

\begin{enumerate}
\item  Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $Y$. Justifier la réponse.

\item  Calculer la probabilité que le lot contienne exactement deux axes défectueux (le résultat sera arrondi à $10^{-3}$).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie D}

\medskip

\emph{Dans cette partie, on s'intéresse aux axes de moteurs électriques produits par la machine G.}

\medskip

La machine G est bien réglée si, dans la production d'une journée, la moyenne des longueurs des axes est de 350~millimètres.

Pour vérifier le réglage de la machine G on construit un test d'hypothèse bilatéral au risque de 5\,\%.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Quelle est l'hypothèse nulle $H_0$ ?
Quelle est l'hypothèse alternative $H_1$ ?

\item  On note $\overline{X}$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de 100 axes prélevés dans la production de la machine G associe la moyenne des longueurs de ces axes. La production de la machine G est assez importante pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise. On suppose que, sous l'hypothèse nulle $H_0$, la 
variable aléatoire $\overline{X}$ suit la loi normale de moyenne $350$ et d'écart-type $0,5$.

Sous l'hypothèse $H_0$, déterminer le réel $h$ tel que 

$P(350 - h \leqslant \overline{X} \leqslant  350 + h) = 0,95$.
\item  énoncer la règle de décision permettant d'utiliser ce test.

\item  On prélève un échantillon de 100~axes et on constate que la moyenne des longueurs des axes de cet échantillon est de 349. Peut-on au risque de 5\,\%, conclure que la machine G est bien réglée ?
\end{enumerate}
\end{document}
