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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
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\lhead{\small Brevet de technicien supérieur }
\lfoot{\small{Groupement C}}
\rfoot{\small{juin 2004}}
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\thispagestyle{empty}
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\begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\ Groupement C session 2004}  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 11 points}

\medskip

Une entreprise spécialisée produit des boules de forme sphérique en grande série.

Le responsable de la qualité cherche à analyser la production. Il mesure pour cela le diamètre des boules d'un échantillon (E)
de 50~pièces, et obtient les résultats suivants :

\medskip

\begin{tabularx}{\textwidth}{|p{1.6cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Diamètre en mm	&72,6	&72,7	&72,8	&72,9&73&73,1&73,2&73,3&73,4\\ \hline
Nombre de boules&3		&5		&7		&8		&10		&9	&4	&3	&1\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

Une boule est dite conforme si son diamètre $d$ mesuré en millimètres, vérifie :

$72,7 \leqslant d \leqslant 73,3$.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Quel est, pour l'échantillon (E), le pourcentage de boules non conformes ?
		\item  Déterminer la moyenne et l'écart type de cet échantillon. Les résultats seront arrondis au centième.
	\end{enumerate}

\item On admet dans cette question que la probabilité qu'une boule ne soit pas conforme est $p =  0,12$.

L'entreprise livre des lots de 50~boules à des clients. On assimile le choix de chaque boule d'un lot à un tirage au hasard et
avec remise. On désigne par $X$ la variable aléatoire mesurant le nombre de boules non conformes d'un lot.
	\begin{enumerate}
		\item  Préciser et justifier la loi de probabilité suivie par $X$.
		\item  On approche la loi de probabilité de $X$ par une loi de Poisson.
		\begin{enumerate}
			\item  Quel est le paramètre de cette loi ?
			\item  Déterminer la probabilité qu'il y ait plus de cinq boules non conformes dans un lot. La réponse sera arrondie au
centième.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
\item L'étude statistique de la production permet d'admettre que la variable aléatoire $D$, qui mesure le diamètre d'une boule,
soit une loi normale de paramètres $m$ et $\sigma$. Les résultats seront arrondis au millième. On choisit au hasard une boule
produite.
	\begin{enumerate}
		\item  On suppose que $m = 73$ et $\sigma =  0,2$. Calculer la probabilité que la boule soit conforme, c'est-à-dire $p(72,7 \leqslant D <  73,3)$.
		\item  Sachant que $m =  73$, quelle valeur devrait prendre $\sigma$ pour que la probabilité d'obtenir une boule non conforme soit $0,1$ ?
	\end{enumerate}

\item	La moyenne obtenue sur l'échantillon (E) amène à se poser la question : \og Le diamètre moyen $m$ des boules fabriquées
est-il strictement inférieur à 73~mm ? \fg

Pour cela, on construit un test d'hypothèse au risque de 5\:\%.

L'hypothèse nulle H$_{0}$ est : $	m =  73$ ;

L'hypothèse alternative H$_{1}$ est :	$m   < 73$.

On admet que la variable aléatoire $\overline{D}$, qui mesure le diamètre moyen sur un échantillon de 50~boules prélevées au hasard et avec remise, suit une loi normale de moyenne $73$ et d'écart type $\dfrac{0,2}{\sqrt{50}}$.
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer le nombre réel $a$ tel que $p(\overline{D} \geqslant   73 -  a) =  0,95$.
		\item  Énoncer la règle de décision du test.
		\item  Au risque de 5\:\% et au vu de l'échantillon (E), que peut-on conclure ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 9 points}

\medskip

\parbox{0.4\textwidth}{On considère un système mécanique formé
	d'un plateau soutenu par un amortisseur. Il est représenté sur le schéma ci-contre.
		
On note $z$ la cote du centre de gravité du plateau. On suppose que $z$ est une fonction de la variable réelle $t$, définie et deux fois dérivable sur un intervalle de $\R$ où $t$	représente le temps exprimé en seconde.} \hfill
\parbox{0.55\textwidth}{\psset{unit=0.95cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(7.5,4)
\psline(2.1,1.1)(2.1,0)(4.3,0)(4.3,1.1)
\psline(2.2,0.9)(2.2,1.8) \psline(4.2,1.8)(4.2,0.9)
\psframe[fillstyle=hlines](2.3,1.6)(4.1,2.6)
\psframe(1.3,2.6)(5,3.1)
\psline[linestyle=dashed](0,2.85)(3.15,2.85) \uput[r](3.15,2.85){G}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](3.15,2.85)
\psline(0,0)(0,4) \psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,0.9)
\uput[ul](0,0){$0$} \uput[l](0,0.9){$1$} \uput[l](0,2.85){$z$}
\psline{->}(5.6,2.85)(5,2.85)
\psline{->}(4.9,1.7)(4.3,1.7)
\rput(6.2,2.85){Plateau} \rput(6.2,1.7){Amortisseur}
\psline[linestyle=dashed](0,0)(6.5,0)
\end{pspicture}}

\medskip

L'étude de ce système mécanique permet de	
considérer que la fonction $z$ est solution de l'équation différentielle
 \[(E)~~ :\quad  5z'' + 6z' + z = 2.	\] 

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Résoudre sur $\R$ l'équation différentielle $5z'' + 6z' + z = 0$.
\item   Chercher une solution particulière constante de l'équation $(E)$ et en déduire la solution générale de $(E)$.
\item   Donner la solution $g$ de $(E)$ qui vérifie les conditions $g(0) = 5$ et $g'(0) =  1$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On suppose pour la suite du problème que $z(t) =  f(t)$, où $f$ est la fonction définie sur l'intervalle $\left[0~;~ +\infty \right[$  par

\[f(t) = 0,5 \text{e}^{-t} + 2,5\text{e}^{-0,2t} + 2.\]

\begin{enumerate}
\item Étudier les variations de $f$.
\item Déterminer la limite de $f(t)$ quand $t$ tend vers $+ \infty$.
\item Déduire des deux questions précédentes l'évolution de la cote du point G en fonction du temps $t$.
\item On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal \Oij. Justifier l'existence d'une asymptote à la courbe $\mathcal{C}$ quand $t$ tend vers $+ \infty$ ; en donner une équation.

Tracer cette asymptote sur le graphique de la feuille jointe en annexe.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Déterminer une primitive de la fonction $h$, définie pour tout $t$ de l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par

\[h(t) = 0,5\text{e}^{-t} + 2,5\text{e}^{-0,2t}.\]

\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $\displaystyle\int_{1}^5 \left[f(t) - 2\right]\:\text{d}t$.
		\item  Interpréter géométriquement ce résultat sur la feuille jointe en annexe.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE\\
(à rendre avec la copie)}

\vspace{1.5cm}

\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(-1,-2)(15,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx= 20,Dy = 10]{->}(0,0)(-1,-2)(15,6)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx= 20,Dy = 10]{->}(0,0)(1,1)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=2,griddots=10](0,0)(-1,-2)(15,6)
\uput[dr](1,0){1} \uput[ul](0,1){1} \uput[dl](0,0){O}
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$} 
\uput[u](8,2.5){$\mathcal{C}$} \uput[d](15,0){$x$} \uput[l](0,6){$y$}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0}{15}{0.5 2.71828 x exp div 2.5 2.71828 0.2 x mul exp div add 2 add}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}