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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small Brevet de technicien supérieur S}
\lfoot{\small{Groupement C}}
\rfoot{\small{Session 2003}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~BTS Groupement C session 2003~\decofourright}}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 10 points}

\medskip

Une usine de montage utilise des roulements provenant de deux entreprises de mécanique, l'une située à Reims, l'autre à Nancy. Son stock de roulements provient à 40\,\% de l'entreprise de Reims dont 4,5\,\% de la production est inutilisable. Le reste provient de l'entreprise de Nancy qui fournit 2\,\% de roulements inutilisables.

\medskip

\emph{Les parties A et B sont indépendantes.}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On prélève au hasard un roulement dans le stock.
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la probabilité qu'il soit utilisable, sachant qu'il provient de Reims.
		\item  Déterminer la probabilité qu'il soit utilisable, sachant qu'il provient de Nancy.
		\item  En déduire que la probabilité qu'il soit utilisable est $0,97$.
 	\end{enumerate}
\item On prélève dans le stock, successivement et au hasard, dix roulements. On désigne par $X$ la variable aléatoire égale au nombre de ceux qui sont utilisables. On assimilera ce prélèvement à un tirage avec remise.
	\begin{enumerate}
		\item  Quelle est la loi de probabilité de $X$ ? Préciser les paramètres.
		\item  Déterminer, au centième près par excès, la probabilité que sur ces dix roulements, neuf au moins soient utilisables.
 	\end{enumerate}
\item On prélève dans le stock 100~roulements, successivement et au hasard. On note $Y$ le nombre de ceux qui sont inutilisables. On assimilera ce prélèvement à un tirage avec remise. Ainsi, $Y$ suit une loi binomiale de paramètres $100$ et $0,03$ ; on approche cette loi par une loi de Poisson.
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer le paramètre de cette loi de Poisson.
		\item  Déterminer la probabilité que moins de deux roulements soient inutilisables. On donnera un résultat arrondi au centième.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On étudie dans cette partie le diamètre des roulements.

On note $D$ la variable aléatoire qui, à chaque roulement, associe son diamètre en millimètres.

On admet que $D$ suit une loi normale de moyenne $23,65$ et d'écart type $0,02$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On choisit au hasard un roulement. Quelle est la probabilité que son diamètre appartienne à l'intervalle [23,61~;~ 23,70] ?
\item  Soit $h$ un nombre réel. Déterminer $h$ tel que $P(23,65 - h < D < 23,65 + h) = 0,90$.

On donnera un résultat arrondi au millième.
\item  En déduire un intervalle $I$ tel que les diamètres des roulements de la production aient la probabilité $0,90$ de lui appartenir.
 \end{enumerate}
 
\vspace{3cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{Les trois parties de l'exercice sont indépendantes.}\\

\medskip

Un mobile est propulsé à très grande vitesse sur un axe, puis il est ralenti. On s'intéresse à la vitesse de ce mobile durant le freinage. Dans tout l'exercice, les distances sont exprimées en mètres, les temps en secondes et donc les vitesses en mètres par secondes.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Les résultats seront arrondis au dixième.

On a relevé les vitesses instantanées $v_{i}$ de ce mobile aux instants $t_{i}$ pour $i$ variant de 0 à 7.

\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t_{i}$ en s		    &0	&1	&2	&3	&4&5&6&7\\ \hline
$v_{i}$ en m.s$^{-1}$&215&140&85&57&36&29&27&22\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Dessiner le nuage de points de cette série statistique et expliquer pourquoi on n'envisagera pas un ajustement affine de ce nuage.
\item  on pose $n_{i}= \ln\left(v_{i} - 15\right)$ pour $i$ variant de 0 à 7. Dresser le tableau de la série $\left(t_{i}~;~n_{i}\right)$ .
\item  Donner une équation de la droite de régression de $n$ en $t$ par la méthode des moindres carrés.
\item  En déduire une expression de la vitesse $v$ en fonction du temps $t$ sous la forme

\[v = \alpha \text{e}^{\beta t} + \gamma,~ \text{où}~ \alpha,~ \beta~ \text{et}~\gamma~ \text{sont des réels à déterminer.}\]

\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Une modélisation mathématique permet d'écrire que la vitesse $v$, qui est une fonction positive du temps $t$, est solution de l'équation différentielle 

\[(\text{E})\quad  2y' + y = 15,\]

 où $y$ est une fonction dérivable de la variable réelle $t$.
 \medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Résoudre l'équation $2y' + y = 0$.
\item  Rechercher une fonction constante solution particulière de l'équation (E).
\item  En déduire la solution générale de l'équation (E).
\item  Déterminer la fonction $v$, solution de (E), qui vérifie $v(0)=  215$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

On admet que la vitesse du mobile est donnée par la fonction $v$, définie sur $[0~;~ + \infty[$ par :

\[v(t) = 200\text{e}^{- \frac{1}{2} t}+15.\]

\begin{enumerate}
\item  Étudier les variations de $v$ sur $[0~;~+ \infty[$.
\item  Montrer que ce système de freinage ne permet pas, en théorie, au mobile de s'arrêter.
\item  Sachant que la distance parcourue par le mobile entre les instants $t_{1}$ et $t_{2}$ est $\displaystyle\int_{t_{1}}^{t_{2}}v(t)\:\text{d}t$, calculer la valeur exacte de la distance parcourue par le mobile entre les instants $t_{1} = 0$ et $t_{2} = 10$, puis en donner une valeur arrondie au dixième.
\end{enumerate}
\end{document}