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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
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\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Groupement C}}
\rfoot{\small{mai 2001}}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur session 2001~\decofourright\\Groupement C}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

 \textbf{Exercice 1 \hfill 11 points}

\medskip

\textbf{A -- Équation différentielle.}

\medskip

On considère l'équation différentielle (E) suivante, où $y$ désigne une fonction de la variable réelle~$x$, définie et dérivable sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ et où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien :

\[{\rm(E)}\quad xy' - y = \ln x.\]
\begin{enumerate}
\item Résoudre sur $]0~;~+\infty[$ l'équation différentielle : $xy' - y = 0$.
\item Vérifier que la fonction $h$, définie pour tout $x$ réel appartenant à $]0\,;\,+\infty[$ par \mbox{$h(x)=-\ln x-1$} est une solution particulière de (E).

En déduire l'ensemble des solutions de (E).
\item Déterminer la solution $f$ de (E) qui vérifie $f(1)=1$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{B -- Étude d'une fonction.}

\medskip

Soit la fonction $f$, définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par 
\[f(x)=2x - 1 - \ln x.\]
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f$ en 0 et montrer que la limite de $f$ en $+\infty$ est $+\infty$.
\item Calculer la fonction dérivée $f'$ de $f$. En déduire les variations de $f$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{C -- Représentation graphique ; calcul d'aire.}

\medskip

On note $\cal C$ la courbe d'équation $y = f(x)$ dans un repère orthonormal \Oij{} du plan.
\begin{enumerate}
\item Étudier la position de $\cal C$ par rapport à la droite $\cal D$ d'équation : $y = 2x - 1$.
\item Tracer la partie de la courbe $\cal C$ pour $0 < x\leqslant 3$ ainsi que la droite $\cal D$.

(unité graphique : 4~cm).
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que la fonction $H\,:\,x\,\mapsto\,x\ln x-x$ est une primitive sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ de la fonction $x\,\mapsto\,\ln x$.
		\item Représenter sur le graphique le domaine délimité par la courbe $\cal C$, la droite $\cal D$ et les droites $\Delta$ et $\Delta'$ d'équations respectives : $x = \dfrac{1}{2}$ et $ x = 1$.
		\item Calculer, en cm$^2$, l'aire de ce domaine. (On en donnera une valeur décimale approchée par excès à $10^{-2}$ près.
		\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 9 points}
 
\medskip
 
Les parties \textbf{A} et \textbf{B} sont indépendantes. On donnera les résultats arrondis à $10^{-3}$ près.

Une usine fabrique des billes métalliques. L'étude porte sur le diamètre de ces billes, mesuré en millimètres.

\medskip

\textbf{A - Étude de la production.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On appelle $X$ la variable aléatoire qui, à chaque bille prise au hasard dans la production de l'usine, associe son diamètre mesuré en millimètres.

On admet que $X$ suit une loi normale de moyenne~25 et d'écart type~0,44.

Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants :

\qquad E$_1$ : \og Le diamètre de la bille est inférieur à 25,2 \fg.

\qquad E$_2$ : \og Le diamètre de la bille est compris entre 24,1 et 25,9 \fg.
\item Certaines billes sont défectueuses. On admet que la probabilité de tirer au hasard une bille défectueuse est 0,04.

Les billes sont conditionnées par paquets de 150. On admet que le choix d'un paquet peut être assimilé à un tirage avec remise de 150 billes.

On note $Y$ la variable aléatoire qui associe à tout paquet choisi au hasard le nombre de billes défectueuses du paquet.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $Y$ suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
		\item On admet que la loi de $Y$ peut être approchée par une loi de Poisson de paramètre $\lambda$. Calculer la valeur de $\lambda$ et déterminer la probabilité de l'évènement E$_3$ : \og Il y a au plus 4 billes défectueuses dans le paquet \fg.
		\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{B - Commande d'un client.}

\medskip

Un client réceptionne une commande. Il prélève un échantillon de 125~billes choisies au hasard et avec remise dans le lot reçu et constate que le diamètre moyen est égal à 25,1.

On rappelle que pour les billes fabriquées par l'entreprise, la variable aléatoire $X$ qui prend pour valeurs leurs diamètres suit une loi normale d'écart type 0,44.

L'entreprise s'est engagée à ce que la moyenne des diamètres des billes fournies soit de 25.

Le client décide de construire un test bilatéral permettant de vérifier l'hypothèse selon laquelle le diamètre des billes du lot reçu est de 25.
\begin{enumerate}
\item Quelle est l'hypothèse nulle H$_0$ ? Quelle est l'hypothèse alternative H$_1$ ?
\item On désigne par $\overline{X}$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 125 billes, prises au hasard et avec remise, associe la moyenne des diamètres obtenus.
	\begin{enumerate}
		\item Donner sous l'hypothèse nulle la loi de $\bar{X}$. En préciser les paramètres.
		\item Déterminer le nombre $a$ tel que $p\left(25 - a < \overline{X} < 25 + a\right) = 0,95$.
		\item Énoncer la règle de décision du test.
	\end{enumerate}		
\item Au vu de l'échantillon, au risque de 5\:\%, que peut conclure le client sur le respect de l'engagement de l'entreprise ?
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Document réponse \no 2, à rendre avec la copie (exercice 2)}

\bigskip

\textbf{Figure 1 : représentation de la fonction }\boldmath  $s_{1}$ \unboldmath

\bigskip

\psset{xunit=}
\begin{pspicture}(-0.5,-1.5)(2.5,1.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.5,-1.5)(2.5,1.5)
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=5000,linewidth=1.25pt]{0}{2.5}{2.718928 x neg exp}
\psline[linecolor=blue,linewidth=1.25pt](-0.5,0)(0,0)
\uput[l](0,0.3679){$\text{e}^{-1}$}
\psline(0,0.3679)(1,0.3679)(1,0)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}