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\begin{document}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
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\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Groupe B}}
\rfoot{\small{novembre 2008}}
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\begin{center}
 {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright \\ novembre 2008 - groupement B Nouvelle--Calédonie}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{Les parties A, B et C sont indépendantes.}

\medskip

 Une entreprise produit en grande série des véhicules électriques équipés de batteries au nickel-cadmium. On se propose d'étudier l'autonomie en kilomètres de ces véhicules. 

\medskip

\textbf{A -} Soit $X$ la variable aléatoire qui, à chaque véhicule pris au hasard dans la production, associe son autonomie.

On admet que $X$ suit la loi normale de moyenne $\mu =  104$ et d'écart type $\sigma =  6$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Déterminer, à $10^{-2}$ près, la probabilité $p_{1}$ que l'autonomie d'un véhicule pris au hasard dans la production soit comprise entre 98 et 122. 
\item  La probabilité qu'un véhicule ait une autonomie insuffisante et soit donc déclaré non conforme au cahier des charges est $p_{2} = 0,04$. Calculer l'autonomie correspondante, c'est-à-dire le nombre réel $d$ tel que $P(X \leqslant  d) = 0,04$. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{B -} Les véhicules sont parqués par lots de 75 avant de recevoir le certificat de conformité.
 
On note $Y$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 75~véhicules pris au hasard dans la production, associe le nombre de véhicules non conformes.
 
La production est assez importante pour qu'on puisse assimiler tout échantillon de 75~véhicules à un échantillon aléatoire prélevé avec remise. 

On suppose que la probabilité qu'un véhicule soit non conforme est $0,04$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Expliquer pourquoi $Y$ suit une loi binomiale et donner les paramètres de cette loi. 

Calculer à $10^{-3}$ près, la probabilité $p_{3} =  P(Y =  0)$ de l'évènement « dans l'échantillon prélevé au hasard tous les véhicules sont conformes ».
\item  On admet que la loi précédente peut \^etre approchée par une loi de Poisson de même espérance mathématique. Donner son paramètre. Calculer  à $10^{-3}$ près, la probabilité $p_{4}$ de l'évènement « dans l'échantillon prélevé au hasard il y a au plus deux véhicules non ronformes ». 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{C -} À la suite d'une modification des batteries, on redoute que l'autonomie moyenne des véhicules soit moditiée. Afin de contrôler que la moyenne des autonomies de l'ensemble des véhicules mis sur le marché après modification des batteries est 104. on se propose de construire un test d'hypothèse (test bilatéral, bien que, pour cene situation. un test unilatéral soit plus adapté). 

On désigne par $\overline{X}$ la variable aléatoire qui à chaque échantillon aléatoire de 36~véhicules, associe la moyenne des autonomies des 36~véhicules (la production est assez importante pour qu'on puisse assimiler ces prélèvements à des tirages de 36~véhicules avec remise). 

L'hypothèse nulle est $H_{0}~ :  \mu = 104$. 

L'hypothèse altemative est $H_{1}~ : \mu \neq 104$.

Le seuil de signification du test est fixé à 0,05. 

On suppose que, sous l'hypothèse nulle $H_{0}$ la variable aléatoire $X$ suit la loi normale de moyenne $104$ et d'écart type $1$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Déterminer à  $10^{-2}$ près le nombre réel positif $h$ tel que $P(104 - h \leqslant  X \leqslant  104 + h) = 0,95$. 
\item  Énoncer la règle de décision permettant d'utiliser ce test 
\item Une étude stalistique sur un échantillon de 36~véhicules donne $102,9$ comme moyenne des autonomies des véhicules de cet échantillon.
 
Utiliser le test avec cet échantillon et conclure. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\textbf{Les deux parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante}

\medskip
 
\textbf{A - Résolution d'une équation différentielle}
 
On considère l'équation différentielle (E) : 

\[y" - 3 y' + 2 y = - 1 - 2 x\]
 
où $y$ désigne une fonction de la variable réelle $x$, définie et deux fois dérivable sur $\R$. $y'$ la fonction dérivée de $y$ et $y"$ sa fonction dérivée seconde.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Déterminer les solutions de l'équation différentielle $\left(E_{1}\right)~~ : ~y" - 3 y' + 2y = 0.$ 
\item  Déterminer les constantes réelles $a$ et $b$ pour que la fonction $g$ définie sur $\R$ par : $g(x) = ax + b$ soit une solution particulière de l'équation (E). 
\item  Déduire du 1. et du 2. l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E). 
\item  Déterminer la solution $f$ de l'équation (E) qui vérifie les conditions initiales $f(0) = 0$ et $f'(0) = 2$. 
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{B -   Étude d'une fonction} 

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : 

\[f(x) = \text{e}^{2x} + \text{e}^x - x - 2.\]
 
On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal d'unité 2\~cm.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}f(x)$. On pourra mettre $\text{e}^x$ en facteur dans $f(x)$. 
		\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}f(x)$. 
		\item Démontrer que la droite $D$ d'équation $y = - x - 2$ est une asymptote de la courbe $\mathcal{C}$. 
		\item Étudier la position relative de $\mathcal{C}$ et $D$. 
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$ pour tout $x$ de $\R$. 
		\item Vérifier que pour tout $x$ de $\R,~ f'(x) = 2\left(\text{e}^x + 1 \right)\left(\text{e}^x - \dfrac{1}{2}\right)$. 
		\item Déduire du b. le signe de $f'(x)$ lorsque $x$ varie dans $\R$. 
		\item Établir le tableau variation de la fonction $f$.
	\end{enumerate}		
\item Construire $D$ et $\mathcal{C}$. 
\item Calculer la valeur exacte en cm$^2$, de l'aire de la partie du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$, son asymptote $D$ et les droites d'équations $x = - 1$ et $x = 0$. 
\end{enumerate}
\end{document}