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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur Métropole--Antilles-Guyane}
\lfoot{\small{Groupement B}}
\rfoot{\small{juin 2005}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\ Groupement B session 2005\\Métropole -- Polynésie}  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 11 points}

\medskip

\textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être
traitées de façon indépendante.}$\bigskip$

\emph{A. Résolution d'une équation différentielle}

\medskip

On considère l'équation différentielle $(E)$  :%

\[\left(  1+x\right)  y^{\prime}+y=\frac{1}{1+x}\]

où $y$ est une fonction de la variable réelle $x,$ définie et
dérivable sur $\left]  -1;+\infty\right[  $ et $y^{\prime}$ sa fonction
dérivée.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Démontrer que les solutions sur $\left]  -1;+\infty\right[  $ de
l'équation différentielle $\left(  E_{0}\right)  :$%

\[(1+x)  y^{\prime}+ y = 0 \]

sont les fonctions définies par $h(x)  =\dfrac{k}{x+1}$ où
$k$ est une constante réelle quelconque.
\item  Soit $g$ la fonction définie sur $]  -1~;~+\infty[  $ par
$g(x)  =\dfrac{\ln (1+x)}{1+x}$\\
Démontrer que la fonction $g$ est une solution particulière de
l'équation différentielle $(E).$
\item  En déduire l'ensemble des solutions de l'équation
différentielle $(E)$.
\item  Déterminer la solution $f$ de l'équation différentielle
$\left(  E\right)  $ qui vérifie la condition initiale $f(0)
=2.$
\end{enumerate}

\bigskip

\emph{B. Étude d'une fonction}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\left]  -1;+\infty\right[  $ par
$f\left(  x\right)  =\frac{2+\ln\left(  1+x\right)  }{1+x}$

Sa courbe représentative $\mathcal{C}$, dans un repère orthonormal
où l'unité graphique est 1 cm, est donnée ci-dessous.

\begin{center}
\begin{pspicture*}(-1.2,-2.2)(9.5,3.2)
\psgrid
[gridcolor=blue,gridlabels=0,griddots=8,subgriddiv=0](0,0)(-1.2,-2.2)(9.5,3.2)
\psaxes[linewidth=1pt,labels=none]{->}(0,0)(-1.2,-2.2)(9.5,3.2)
\psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue,plotstyle=curve,plotpoints=5000]{-0.891}
{9.5}{1 x add ln 2 add 1 x add div}
\rput(1.2,1.8){$\mathcal{C}$}
\uput[l](0,1){1}
\uput[d](1,0){1}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item  On admet que $\displaystyle\lim_{x\rightarrow-1}f\left(  x\right)  =-\infty$
et que $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}f\left(  x\right)  =0.$\\\
Que peut-on en déduire pour la courbe $\mathcal{C}$ ?
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que, pour tout $x$ de $]  -1~;~+\infty[
,\; f^{\prime}\left(  x\right)  = \dfrac{-1-\ln(1+x)}{(1+x)^{2}}$
		\item  Résoudre dans $]-1~;~+\infty[$ l'inéquation
$-1-\ln(1 + x)  \geqslant 0.$

En déduire le signe de $f^{\prime}(x)$ lorsque $x$ varie dans $]-1~;~+\infty[.$
		\item  Établir le tableau de variation de $f.$
	\end{enumerate}
\item  Un logiciel de calcul formel donne le développement limité,
à l'ordre 2, au voisinage de 0, de la fonction $f:$%

\[f\left(  x\right)  =2-x+\frac{1}{2}x^{2}+x^{2}\,\varepsilon(x)
\text{ avec } \displaystyle\lim_{x \rightarrow 0}\varepsilon(x)  = 0\]

\emph{Ce résultat, admis, n'a pas à être démontré.}

	\begin{enumerate}
		\item  En déduire une équation de la tangente $\mathcal{T}$ à la
courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.
		\item  Étudier la position relative de $\mathcal{C}$ et $\mathcal{T}$ au voisinage de leur point d'abscisse 0.$\bigskip$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\emph{C. Calcul intégral}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Déterminer la dérivée de la fonction $G$ définie sur
$]-1~;~+\infty[  $ par :%

\[G(x)  =\dfrac{1}{2}\left[\ln (1 + x)\right]^{2}\]

\item  En déduire qu'une primitive de $f$ sur $]  -1~;~+\infty[
$ est définie par :%

\[F(x)  = 2\ln(1+x)  +\dfrac{1}{2}\left[\ln(1+x) \right]^{2}\]

\item
	\begin{enumerate}
		\item  On note $I = \displaystyle\int_{0}^{2}f(x)  \:\text{d}x.$ Démontrer que
$I=\dfrac{1}{2}(\ln 3)^{2}+2 \ln 3.$
		\item  Donner la valeur approchée arrondie à 10$^{-2}$ de $I.$
		\item  Donner une interprétation graphique du résultat obtenu au
\text{b.}
 \bigskip
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 9 points}

\medskip

\textbf{Les quatre parties de cet exercice peuvent être
traitées de façon indépendante.}

Une usine fabrique, en grande quantité, des rondelles d'acier pour la
construction. Leur diamètre est exprimé en millimètres.

\medskip

\textbf{Dans cet exercice, sauf indication contraire, les résultats approchés sont à arrondir à 10}$^{\mathbf{-2}}$

\bigskip

\emph{A. Loi normale}

\medskip

Une rondelle de ce modèle est conforme pour le diamètre lorsque celui-ci appartient à l'intervalle [89,6~;~90,4].

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On note $X_{1}$ la variable aléatoire qui, à chaque rondelle
prélevée au hasard dans la production, associe son diamètre. On
suppose que la variable aléatoire $X_{1}$ suit la loi normale de moyenne 90 et d'écart-type $\sigma = 0,17.$ Calculer la probabilité qu'une rondelle prélevée au hasard dans la production soit conforme.
\item  L'entreprise désire améliorer la qualité de la production
des rondelles : Il est envisagé de modifier le réglage des machines
produisant les rondelles.

On note $D$ la variable aléatoire qui, à chaque rondelle prélevée dans la production future, associera son diamètre. On suppose que la variable aléatoire $D$ suit une loi normale de moyenne $90$ et d'écart-type $\sigma_{1}.$
 
Déterminer $\sigma_{1}$ pour que la probabilité qu'une rondelle prélevée au hasard dans la production future soit conforme pour le diamètre soit égale à 0,99.
\end{enumerate}

\bigskip

\emph{B. Loi binomiale}

\medskip

On note $E$ l'évènement : \og une rondelle prélevée au hasard dans un stock important a un diamètre défectueux\fg.

On suppose que $P\left(  E\right)  =0,02.$

On prélève au hasard quatre rondelles dans le stock pour
vérification de leur diamètre. Le stock est assez important pour que
l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de
quatre rondelles.

On considère la variable aléatoire $Y_{1}$ qui à tout
prélèvement de quatre rondelles associe le nombre de rondelles de ce
prélèvement ayant un diamètre défectueux.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Justifier que la variable aléatoire $Y_{1}$ suit une loi binomiale
dont on déterminera les paramètres.
\item  Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement,
aucune rondelle n'ait un diamètre défectueux. Arrondir à 10$^{-3}.$
\item  Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, au
plus une rondelle ait un diamètre défectueux. Arrondir à
10$^{-3}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\emph{C. Approximation d'une loi binomiale par une loi normale}

\medskip

Les rondelles sont commercialisées par lot de \np{1000}.

On prélève au hasard un lot de \np{1000} dans un dépôt de
l'usine. On assimile ce prélèvement à un tirage avec remise de
\np{1000} rondelles.

On considère la variable aléatoire $Y_{2}$ qui, à tout
prélèvement de \np{1000} rondelles, associe le nombre de
rondelles non conformes parmi ces \np{1000} rondelles.

On admet que la variable aléatoire $Y_{2}$ suit la loi binomiale de
paramètres $n = \np{1000}$ et $p=0,02.$ On décide d'approcher la loi de la variable aléatoire $Y_{2}$ par la loi normale de moyenne $20$ et d'écart-type 4,43.

On note $Z$ une variable aléatoire suivant la loi normale de moyenne 20 et d'écart-type 4,43.

\begin{enumerate}
\item  Justifier les paramètres de cette loi normale.

\item  Calculer la probabilité qu'il y ait au plus 15 rondelles non
conformes dans le lot de \np{1000} rondelles, c'est à dire calculer
$P(Z\leqslant 15,5)  $
\end{enumerate}

\bigskip

\emph{D. Test d'hypothèse}

\medskip

On se propose de construire un test d'hypothèse pour contrôler la moyenne $\mu$ de l'ensemble des diamètres, en millimètres, de rondelles constituant une grosse livraison à effectuer.

On note $X_{2}$ la variable aléatoire qui, à chaque rondelle
prélevée au hasard dans la livraison, associe son diamètre.

La variable aléatoire $X_{2}$ suit la loi normale de moyenne inconnue
$\mu$ et d'écart-type $\sigma=0,17.$

On désigne par $\bar{X}_{2}$ la variable aléatoire qui, à chaque
échantillon aléatoire de $100$ rondelles prélevé dans la
livraison, associe la moyenne des diamètres de ces rondelles (la livraison
est assez importante pour que l'on puisse assimiler ces prélèvements
à des tirages avec remise).

L'hypothèse nulle est $H_{0}:\mu = 90.$ Dans ce cas la livraison est dite
conforme pour le diamètre.

L'hypothèse alternative est $H_{1}:\mu\neq 90.$

Le seuil de signification du test est fixé à 0,05.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Énoncer la règle de décision permettant d'utiliser ce test en
admettant, sous l'hypothèse nulle $H_{0}$, le résultat suivant qui n'a
pas à être démontré :%

\[P\left(89,967\leqslant \overline{X}_{2}\leqslant 90,033 \right)  = 0,95\]

\item  On prélève un échantillon de $100$ rondelles dans la
livraison et on observe que, pour cet échantillon, la moyenne des
diamètres est $\bar{x}=90,02.$

Peut-on, au seuil de risque de 5\,\%,
conclure que la livraison est conforme pour le diamètre ?
\end{enumerate}
\end{document}