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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Groupement B}}
\rfoot{\small{Session 2003}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\Groupement B - session 2003 }}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 9 points}

\textbf{Les quatre questions de cet exercice sont indépendantes}

\medskip

\parbox{0.4\linewidth}{Dans une usine du secteur de l'agroalimentaire, une machine à embouteiller est alimentée par un réservoir d'eau et par une file d'approvisionnement en bouteilles vides, selon le schéma ci-contre.

L'exercice consiste en une étude statistique du bon fonctionnement de ce système.} \hfill
\parbox{0.55\linewidth}{\psset{xunit=0.8mm,yunit=0.8mm,runit=0.8mm}
\begin{pspicture}(15,0)(100.00,53.00)
%\psgrid[subgriddiv=1](0,0)(80.00,53.00)
\psframe[linewidth=0.15](15.00,13.00)(45.00,18.00)
\multido{\n=15.000+2.727}{12}{\psline(\n,13)(\n,18)}
\pscircle[linewidth=0.15](57.50,15.50){7.50}
\psframe[linewidth=0.15](70.00,13.00)(100.00,18.00)
\psline[linewidth=0.15]{-}(65.00,15.50)(70.00,15.50)
\psline[linewidth=0.15]{-}(45.00,15.50)(50.00,15.50)
%\psline[linewidth=0.15]{-}(70.00,13.00)(70.00,13.00)
\psline[linewidth=0.15]{-}(57.50,23.00)(57.50,28.00)
\psframe[linewidth=0.15](50.00,28.00)(65.00,53.00)
\multido{\n=70.000+2.727}{12}{\psline(\n,13)(\n,18)}
\rput[l](50.00,40.00){\small Réservoir}
\rput[l](20.00,20.50){\small File d'entrée}
\rput[l](75.00,21.00){\small File de sortie}
\rput[l](51.00,16.00){\small Machine}
\end{pspicture}
}

\medskip

\begin{enumerate}
\item \emph{Défaut d'approvisionnement}

On considère qu'il y a un défaut d'approvisionnement :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item  soit lorsque la file d'entrée des bouteilles est vide,
\item  soit lorsque le réservoir est vide.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On tire un jour ouvrable au hasard dans une année. 

On note $A$ l'événement : \og la file d'entrée est vide au moins une
fois dans la journée \fg{} et $B$ l'évènement : \og le réservoir est
vide au moins une fois dans la journée \fg.

On suppose que les évènements $A$ et $B$ sont indépendants et une étude statistique a montré que $P(A) = 0,04$ et $P(B) = 0,02.$

Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants :

\medskip

\begin{enumerate}
\item $E_{1} = A \cap B$
\item $E_{2}:$~ \og la machine a connu au moins un défaut d'approvisionnement dans la journée \fg.
\end{enumerate}
\item \emph{Pannes de la machine sur une durée de 100~jours}

On note $X$ la variable aléatoire qui à toute période de 100~jours
consécutifs, tirée au hasard dans les jours ouvrables d'une année,
associe le nombre de pannes de la machine. Une étude, menée par le
constructeur sur un grand nombre de machines de ce type, permet d'admettre que $X$ suit la loi de Poisson de paramètre 0,5.

Déterminer, à l'aide de la table du formulaire :
	\begin{enumerate}
		\item $P(X\leqslant 2)$ ;
		\item la probabilité de l'évènement : \og la machine a au plus quatre pannes pendant la période de 100 jours consécutifs \fg.
		\item le plus petit entier $n$ tel que $P(X\leqslant  n)  = 0,99.$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{Dans ce qui suit les volumes sont exprimés en litres et tous les
résultats approchés sont à arrondir à 10}$^{-3}.$

\medskip

\begin{enumerate}
\item[3.] Q\emph{ualité de l'embouteillage à la sortie}

On désigne par $Y$ la variable aléatoire qui, à toute bouteille prise
au hasard dans la production d'une heure, associe le volume d'eau qu'elle
contient. On admet que, lorsque la machine est bien réglée, $Y$ suit
la loi normale de moyenne 1,5 et d'écart type 0,01.

Une bouteille est conforme aux normes de l'entreprise lorsqu'elle contient entre 1,47 et 1,53~litre d'eau.

Calculer la probabilité qu'une bouteille satisfasse à la norme.

\item[4.] \emph{Test d'hypothèse}

Pour contrôler le bon fonctionnement de la machine, on construit un test d'hypothèse bilatéral qui sera mis en {\oe}uvre toutes les heures.

Pour une production d'une heure, la variable aléatoire $Z$ qui, à toute
bouteille prise au hasard dans cette production associe le volume d'eau
qu'elle contient, suit la loi normale de moyenne $\mu$ et d'écart type
$\sigma = 0,01.$ Dans cette question, la moyenne $\mu$ est inconnue.\\
 On désigne par $\bar{Z}$ la variable aléatoire qui, à chaque
échantillon aléatoire de 100~bouteilles prélevé dans cette
production d'une heure, associe la moyenne des volumes d'eau contenus dans les bouteilles de cet échantillon (la production pendant une heure est assez importante pour que l'on puisse assimiler ces prélèvements à des tirages avec remise).

On considère que la machine est bien réglée lorsque $\mu=1,5.$
 
L'hypothèse nulle est $H_{0}: \og\mu=1,5 \fg.$
 
L'hypothèse alternative est $H_{1}: \og \mu \neq 1,5 \fg.$
 
Le seuil de signification du test est fixé à $0,05$.

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item Justifier le fait que, sous l'hypothèse nulle $H_{0},$ $\bar{Z}$
suit la loi normale de moyenne $1,5$ et d'écart type $0,001$.
		\item Sous l'hypothèse nulle $H_{0},$ déterminer le nombre $h$ positif
tel que :%
\[P(1,5 - h\leqslant \bar{Z}\leqslant 1,5 + h)  =0,95\]
		\item Énoncer la règle de décision permettant d'utiliser ce test.
		\item On prélève un échantillon de 100~bouteilles et on observe
que, pour cet échantillon, la moyenne des volumes d'eau contenus dans ces bouteilles est $\bar{z}=1,495.$

Peut-on, au seuil de 5\:\%, conclure que la machine est bien réglée ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 11 points}

\medskip

\begin{center}
\textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de
façon indépendante.}
\end{center}

\medskip

\emph{A. Résolution d'une équation différentielle}
 
\medskip
 
On considère l'équation différentielle
 
\[(E)~~ : \quad y^{\prime}+ y = 2\text{e}^{-x}\]

où $y$ est une fonction de la variable réelle $x,$ définie et
dérivable sur $\R,$ et $y^{\prime}$ sa fonction dérivée.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les solutions sur $\R$ de l'équation
différentielle $\left(E_{0}\right)~~  : \quad y^{\prime} + y = 0.$
\item Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par $h(x)  =2x\text{e}^{-x}.$

Démontrer que la fonction $h$ est une solution particulière de l'équation différentielle $(E).$
\item En déduire l'ensemble des solutions de l'équation
différentielle $(E).$
\item Déterminer la solution $f$ de l'équation différentielle
$(E)  $ dont la courbe représentative, dans un repère
orthonormal, passe par le point de coordonnées $(0~;~3)$.
\end{enumerate}

\medskip

\emph{B. Étude d'une fonction}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La courbe $\mathcal{C}$ ci-dessous représente dans un repère orthonormal \Oij{} une fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)  =(ax +b)\text{e}^{-x},$ où $a$ et $b$ sont des nombres réels.

La droite $\Delta$ est la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point A d'abscisse $0$. Cette tangente passe par le point B de coordonnées (3~;~0).
 
\begin{center}
\psset{xunit=1.4,yunit=1.4}
\begin{pspicture}(-2,-2)(6,4)
\psgrid[subgriddiv=1,gridwidth=0.01,gridlabels=0.3](0,0)(-2,-2)(6,4)
\psline(-1,4)(5,-2)
\psline(-2,0)(6,0)
\psline(0,-2)(0,4)
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-1.69}{6}{ 2 x mul 3 add 2.7 x neg exp mul}
\rput(-1.3,2.5){$\mathcal{C}$}
\rput(3.1,0.2){B}
\rput(-0.5,3.8){$\Delta$}
\rput(0.2,3.2){A}
\end{pspicture}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer graphiquement $f(0).$
		\item Déterminer, graphiquement ou par le calcul, $f^{\prime}(0).$
		\item Déterminer les valeurs des nombres réels $a$ et $b.$

\textbf{Dans la suite on admet que }\boldmath $f$  \textbf{est définie sur} \boldmath$\R$ \unboldmath \text{par : }

\[f\left(  x\right)  =(2x+3)\text{e}^{-x}\]

		\item Démontrer que, pour tout $x$ de $\R:$ $f^{\prime}(x)  =(-2x - 1)\text{e}^{-x}$ ;
		\item Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'inéquation $f^{\prime}(x)  \geqslant 0$ ;
		\item En déduire le sens de variations de $f$ sur $\R$

(on ne cherchera pas les limites en $-\infty$ et $+\infty$)
\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le développement limité, à l'ordre 2, au
voisinage de $0$, de la fonction $x\mapsto \text{e}^{-x}.$
		\item Démontrer que le développement limité, à l'ordre 2, au
voisinage de $0$, de la fonction $f$ est : $f\left(  x\right)  =3 - x - \dfrac{1}{2}x^{2} + x^{2}\varepsilon(x)$ avec $\displaystyle\lim_{x\rightarrow 0}\varepsilon(x)  = 0.$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\emph{C.\ Calcul intégral}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La fonction $f$ définie dans la partie $B$ est une solution de
l'équation différentielle $(E)  $ de la partie $A.$ Donc,
pour tout $x$ de $\R,$ $f(x)  = - f^{\prime}(x)  +2\text{e}^{-x}.$

En déduire une primitive $F$ de $f$ sur $\R.$
\item On note $I= \displaystyle\int_{0}^{\frac{1}{2}}f(x)\:\text{d}x$
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $I = 5 - 6\text{e}^{-\frac{1}{2}}.$
		\item Donner une valeur approchée arrondie à $10^{-3}$ de $I.$
	\end{enumerate}
\item On note $J= \displaystyle\int_{0}^{\frac{1}{2}}\left(3 - x -\dfrac{1}{2}x^{2}\right)\:\text{d}x.$
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $J = \dfrac{65}{48}$
		\item Donner une valeur approchée à $10^{-3}$ de $J.$
		\item Vérifier que les valeurs approchées obtenues ci-dessus pour $I$
et $J$ diffèrent de moins de $10^{-2}.$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}