\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 !
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès 
\usepackage{pst-plot}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\setlength{\voffset}{-2,5cm}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Groupement B}}
\rfoot{\small{Session 2002}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\Groupement B - session 2002}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 8 points}

\medskip

Les quatre questions de cet exercice sont indépendantes.

\medskip

Dans un groupe d'assurances, on s'intéresse aux sinistres susceptibles de survenir, une année donnée, aux véhicules de la flotte d'une importante entreprise de maintenance de chauffage collectif.

Dans cet exercice, sauf mention contraire, les résultats approchés sont à arrondir à 10$^{-3}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Étude du nombre de sinistres par véhicule \newline

Soit $X$ la variable aléatoire qui, à tout véhicule tiré au hasard dans un
des parcs de la flotte, associe le nombre de sinistres survenant pendant
l'année considérée. On admet que $X$ suit la loi de Poisson de
paramètre $0,28$.
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer la probabilité de l'évènement A : \og un
véhicule tiré au hasard dans le parc n'a aucun sinistre pendant
l'année considérée \fg.
		\item  Calculer la probabilité de l'évènement B : \og un
véhicule tiré au hasard dans le parc a, au plus, deux sinistres
pendant l'année considérée \fg.
	\end{enumerate}
\item  Étude du nombre de sinistres dans une équipe de 15
conducteurs.

\medskip

On note E l'évènement : \og un conducteur tiré
au hasard dans l'ensemble des conducteurs de l'entreprise n'a pas de sinistre pendant l'année considérée \fg. On suppose que la probabilité de
l'évènement E est 0,6.

On tire au hasard 15 conducteurs dans
l'effectif des conducteurs de l'entreprise. Cet effectif est assez important
pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec
remise de 15 conducteurs. 

On considère la variable aléatoire
$Y$ qui, à tout prélèvement de 15 conducteurs, associe le nombre
de conducteurs n'ayant pas de sinistre pendant l'année considérée.
	\begin{enumerate}
		\item  Justifier que la variable aléatoire $Y$ suite une loi binomiale et déterminer ses paramètres.

		\item  Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, 10
conducteurs n'aient pas de sinistre pendant l'année considérée.
	\end{enumerate}

\item  Étude du coût des sinistres

\medskip

Dans ce qui suit, on s'intéresse au coût d'une certaine catégorie de sinistres survenus dans l'entreprise pendant l'année considérée.

On considère la variable aléatoire $C$ qui, à chaque sinistre
tiré au hasard parmi les sinistres de cette catégorie, associe son
coût en euros. On suppose que $C$ suit la loi normale de moyenne \np{1200} et d'écart type 200.

Calculer la probabilité qu'un sinistre tiré au hasard parmi les sinistres de ce type coûte entre \np{1000}~euros
et \np{1500}~euros.

\item  On considère un échantillon de 100~véhicules
prélevés au hasard dans le parc de véhicules mis en service depuis
6~mois. Ce parc contient suffisamment de véhicules pour qu'on puisse
assimiler ce tirage à un tirage avec remise. On constate que 91
véhicules de cet échantillon n'ont pas eu de sinistre.
	\begin{enumerate}
		\item  Donner une estimation ponctuelle du pourcentage $p$ de véhicules de ce parc qui n'ont pas eu de sinistre 6 mois après leur mise en service.
		\item  Soit $F$ la variable aléatoire qui à tout échantillon de
100~véhicules prélevés au hasard et avec remise dans ce parc,
associe le pourcentage de véhicules qui n'ont pas eu de sinistre 6 mois
après leur mise en service.

On suppose que $F$ suit la loi normale

\[N\left(  p,\sqrt{\frac{p\left(1 - p\right)  }{100}}\right)\]

où $p$ est le pourcentage inconnu de véhicules du parc qui n'ont pas
eu de sinistre 6~mois après leur mise en service.\newline
 Déterminer un intervalle de confiance du pourcentage $p$ avec le coefficient de confiance 95\,\%.
		\item  On considère l'affirmation suivante :\newline
\og le pourcentage $p$ est obligatoirement dans l'intervalle de confiance obtenu à la question b.\fg

Est-elle vraie ? On ne demande pas de justification.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 12 points}

\medskip
 
Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

\textbf{Partie A : Résolution d'une équation différentielle}

\medskip

On considère l'équation différentielle :

\[(E)\quad y'' - y^{\prime}-2y=\left(- 6x - 4\right)  \text{e}^{-x}\]

où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$, définie et deux
fois dérivable sur $\mathbb{R}$, $y'$ sa fonction dérivée
première et $y''$ sa fonction dérivée seconde.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation différentielle :%

\[(E_{0})\quad y''- y' - 2y=0\]

\item  Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :%
\[h(x) = \left(  x^{2}+2x\right)  \text{e}^{-x}\]
Démontrer que $h$ est une solution particulière de l'équation
différentielle $\left(E\right)  $.

\item  En déduire l'ensemble des solutions de l'équation
différentielle $\left(E\right)$.

\item  Déterminer la solution $f$ de l'équation différentielle
$\left(E\right)  $ qui vérifie les conditions initiales :%
\[
f\left(0\right)  = 1\quad f^{\prime}\left(  0\right)  =1
\]
\end{enumerate}

\textbf{Partie B : Étude d'une fonction}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :

\[f(x) = \left(x+1\right)^{2}\text{e}^{-x}\]

Sa courbe représentative $C$ dans un repère orthonormal est donnée
sur la figure ci-après.

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $\displaystyle\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)$.
		\item  Déterminer $\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}x^{2}\text{e}^{-x}$ et
$\displaystyle\lim_{x\rightarrow+\infty}x\text{e}^{-x}$. En déduire $\displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}f(x)$.
		\item  Interpréter graphiquement le résultat obtenu au b..
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que pour tout $x$ de $\mathbb{R}$,

\[f^{\prime}(x)=\left(1 - x^{2}\right) \text{e}^{-x}\]

		\item  Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $f'(x)\geqslant0$.
		\item  En déduire le sens de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  À l'aide du développement limité au voisinage de $0$ de la
fonction exponentielle $t\rightarrow \text{e}^{t}$, donner le développement limité, à l'ordre 2, au voisinage de $0$ de la fonction x$\rightarrow \text{e}^{-x}$.
		\item  Démontrer que le développement limité, à l'ordre 2, au
voisinage de $0$ de la fonction $f$ est :%
\[ f(x)=1 + x-\frac{1}{2}x^{2}+x^{2}\varepsilon\left(x\right)\]
avec $\lim_{x\rightarrow0}\varepsilon\left(x\right)  =0$.
		\item  En déduire une équation de la tangente $T$ à la courbe $C$
au point d'abscisse 0 et la position relative de $C$ et $T$ au voisinage de ce point.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{Partie C : Calcul intégral}

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  La fonction $f$ définie dans la partie B étant une solution de
l'équation différentielle $\left(  E\right)  $ :%
\[y'' - y' - 2y=\left(  -6x - 4\right)  \text{e}^{-x}\]
montrer que $f$ vérifie, pour tout $x$ de $\mathbb{R}$ :%

\[f\left(x\right)  =\frac{1}{2}\left[  f''( x) - f'(x)  +(6x+4)\text{e}^{-x}\right]\]

		\item  Soit $F$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :%
\[F\left(x\right)  =\frac{1}{2}\left[  f'\left(x\right)  -f\left(
x\right)  -(6x + 10)\text{e}^{-x}\right]\]
Vérifier que pour tout $x$ de $\mathbb{R}$,%
\[F'\left(x\right)  =f\left(x\right)\]

		\item  Vérifier que pour tout $x$ de $\mathbb{R}$ :%
\[F(x)  =\left(- x^{2} - 4x -5\right)  \text{e}^{-x}\]
	\end{enumerate}
\item  Utiliser ce qui précède pour démontrer que l'aire $A$ de la
partie du plan hachurée sur la figure est, en unités d'aire,

\[ A = 2\text{e} - 5.\]

\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1.7cm}
\begin{pspicture}(-2,-1)(5,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-2,-1)(5,3)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,gridwidth=0.25pt](0,0)(-2,-1)(5,3)
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.5pt]{-1.728}{5}{ x  1 add 2 exp 2.71828 x exp div}
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psplot[plotpoints=3000]{-1}{0}{ x  1 add 2 exp 2.71828 x exp div}
\psline(0,0)(-1,0)
}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}