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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Groupement B}}
\rfoot{\small{Session 2001}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}%
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\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\Groupement B - session 2001}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 9 points}

\medskip

\textbf{Les parties A, B et C de cet exercice peuvent être
traitées de façon indépendante.}

\medskip

Une entreprise fabrique, en grande quantité, des pièces
métalliques rectangulaires dont les cotes sont exprimées en millimètres.

Un contrôle de qualité consiste à vérifier que la longueur et
la largeur des pièces sont conformes à la norme en vigueur.

\medskip

\textbf{Dans ce qui suit, tous les résultats approchés seront arrondis
à}~ \boldmath $10^{-3}$.\unboldmath

\medskip

\textbf{\large Partie A}

\medskip

On note E l'évènement : \og une pièce prélevée au hasard dans
le stock de l'entreprise est conforme \fg. On suppose que
la probabilité de l'évènement E est 0,9.

On prélève au hasard 10~pièces
dans le stock. Le stock est assez important pour que l'on puisse assimiler
ce prélèvement à un tirage avec remise de 10~pièces. On considère
la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de 10~pièces,
associe le nombre de pièces conformes parmi ces 10~pièces.

\begin{enumerate}
\item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale
dont on déterminera les paramètres.
\item Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, 8 pièces au
moins soient conformes.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\large Partie B}{\large \par}

Une partie des pièces de la production de l'entreprise est fabriquée
par une machine automatique notée \og machine 1 \fg. Soient $M$
et $N$ les variables aléatoires qui, à chaque pièce prélevée
au hasard dans un lot très important fabriqué par la machine 1, associent
respectivement sa longueur et sa largeur. 

On suppose que $M$ suit la loi normale de moyenne $m_{1}=250$ et d'écart-type 

$\sigma _{1}=1,94$.

On suppose que $N$ suit la loi normale de moyenne $m_{2}=150$ et d'écart-type 

$\sigma _{2}=1,52$.

\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité que la longueur d'une pièce prélevée au hasard
dans ce lot soit comprise entre 246 et 254.
\item Calculer la probabilité que la largeur d'une pièce prélevée au hasard dans ce lot soit comprise entre 147 et 153.
\item Une pièce est conforme si sa longueur est comprise entre 246 et 254 et si sa largeur est comprise entre 147 et 153. On admet que les variables
$M$ et $N$ sont indépendantes.

Montrer que la probabilité qu'une pièce prélevée au hasard dans ce
lot soit conforme est 0,914.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\large Partie C}{\large \par}

Une autre machine automatique de l'entreprise, notée \og machine
2 \fg{} fabrique également ces mêmes pièces en grande quantité.
On suppose que la probabilité qu'une pièce prélevée au hasard dans
la production d'une journée de la machine 1 soit conforme est $p_{1} = 0,914$
et que la probabilité qu'une pièce choisie au hasard dans la production
de la machine 2 soit conforme est $p_{2} = 0,879$. La machine 1
fournit 60\:\% de la production totale de ces pièces et la machine 2
le reste de cette production.

On prélève au hasard une pièce parmi la production totale de l'entreprise
de la journée. Toutes les pièces ont la même probabilité d'être
tirées. On définit les évènements suivants :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[] A : « la pièce provient de la machine 1 » ;
\item[] B : « la pièce provient de la machine 2 » ;
\item[] C : « la pièce est conforme ». 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}
\item Déterminer les probabilités P(A), P(B), P(C/A), P(C/B). On rappelle que P(C/A) est la probabilité de l'évènement C sachant que l'évènement A est réalisé.
\item En déduire P(C $\cap $ A) et P(C $\cap $ B).
\item En admettant que C = (C $\cap $ A)$~ \cup~ $(C$ \cap $ B), calculer P(C).
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 11 points}

\medskip

\textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées
de façon indépendante.}

\medskip

\emph{A. Résolution d'une équation différentielle.}

\medskip

On considère l'équation différentielle (E) :

\[y' - 2y = \text{e}^{2x}\]

où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$, définie
et dérivable sur $\mathbb{R}$ et $y'$ sa fonction dérivée.

\begin{enumerate}
\item Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation différentielle (E$_{0}$)
:
\[ y' - 2y = 0\]

\item Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par 
\[h(x) = x\text{e}^{2x}\]
Démontrer que $h$ est une solution particulière de l'équation
différentielle (E).
\item En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E).
\item Déterminer la solution particulière $f$ de l'équation (E) qui
vérifie la condition $f(0)=-1$.
\end{enumerate}

\medskip
\emph{B. Étude d'une fonction}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par 
\[f(x) = (x - 1)\text{e}^{2x}\]
 Sa courbe représentative $C$ est donnée dans le repère de l'annexe
(à rendre avec la copie).

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $\displaystyle\lim _{x\rightarrow +\infty }f(x)$  
		\item On admet que $\displaystyle\lim _{x\rightarrow -\infty }x\text{e}^{2x}=0$. En déduire $\displaystyle\lim _{x\rightarrow -\infty }f(x)$.
		\item Interpréter géométriquement le résultat obtenu au b).
	\end{enumerate}
\item

	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout $x$ de $\mathbb{R}$,\[
f'(x)=(2x - 1)\text{e}^{2x}\]
 
		\item Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $f'(x)\geqslant 0$.
		\item En déduire le sens de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide du développement limité au voisinage de 0 de la fonction exponentielle $t\longmapsto \text{e}^{t}$, donner le développement limité, à l'ordre 3, au voisinage de 0, de la fonction $x\longmapsto \text{e}^{2x}$.
		\item En déduire que le développement limité, à l'ordre 3, au voisinage de 0, de la fonction $f$ est :
\[f(x) = -1 - x+ \dfrac{2}{3}x^{3}+x^{3}\varepsilon (x)\]
avec \[\lim _{x\rightarrow 0}\varepsilon (x)=0\]

		\item En déduire une équation de la tangente $T$ à la courbe $C$
au point d'abscisse 0 et la position relative de $C$ et de $T$
au voisinage de ce point.
\item Tracer $T$ dans le repère de l'annexe.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\emph{C. Calcul intégral}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $\alpha $ un réel strictement négatif; On pose \[I(\alpha )=\int _{\alpha }^{0}f(x)\, dx\]
Démontrer que 
\[I(\alpha ) = -\frac{3}{4}-\left( \frac{1}{2}\alpha -\frac{3}{4}\right) \text{e}^{2\alpha }\]
On pourra effectuer une intégration par parties.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la limite de $ I(\alpha )$quand $\alpha$ tend
vers $-\infty$.
		\item À l'aide d'une phrase, donner une interprétation graphique de ce résultat.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
{\textbf ANNEXE}

\vspace{1cm}

\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-4,-2)(2,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(-4,-2)(2,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(1,1)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridwidth=0.3pt,subgridwidth=0.2pt](0,0)(-4,-2)(2,4)
\uput[dl](0,0){O}\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$} \uput[dr](1,0){1} \uput[ul](0,1){1}
\uput[d](2,0){$x$} \uput[l](0,4){$y$}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=1000,linewidth=1.25pt]{-4}{1.298}{x 1 sub 2.71828 2 x mul exp mul}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}