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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small BTS Nouvelle--Calédonie}
\lfoot{\small{Groupement A}}
\rfoot{\small{novembre 2006}}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur session 2006~\decofourright\\ Groupement A Nouvelle--Calédonie}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 8 points}

\medskip

On considère la fonction $\varphi$ définie sur $\R,~ 2\pi$-périodique, et telle que :

\[\left\{\begin{array}{l c l c l}
\varphi(t)&=&t&\quad \text{si}&0 \leqslant t < \pi \\
\varphi(t)&=&0&\quad \text{si}& \pi \leqslant t < 2\pi\\
\end{array}\right.\]

On note $S(t)$ le développement de Fourier associé à la fonction $\varphi$ ; les coefficients de Fourier associés à la fonction $\varphi$ sont notés $a_{0},~ a_{n},~ b_{n}$ où $n$ est un nombre entier naturel non nul.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Représenter graphiquement la fonction $\varphi$ sur l'intervalle $[-2\pi~;~ 4\pi]$. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $a_{0}$, la valeur moyenne de la fonction $\varphi$ sur une période.
		\item  On rappelle que pour une fonction $f$, périodique de période $T$ le carré de la valeur efficace sur une période est donné par : $\mu_{\text{eff}}^2 = \dfrac{1}{T}\displaystyle\int_{0}^{T} [f(t)]^2\:\text{d}t$.
		
Montrer que $\mu_{\text{eff}}^2$ le carré de la valeur efficace de la fonction sur une période  est égal à $\dfrac{\pi^2}{6}.$
	\end{enumerate}
\item Montrer que. pour tout nombre entier $n \geqslant 1$,  on a : $a_{n} = \dfrac{1}{\pi n^2}[\cos (n \pi) - 1]$.

On admet que, pour tout nombre entier $n \geqslant 1$, on a :
		$b_{n} = - \dfrac{\cos (n \pi)}{n}$.
\item On considère la fonction $S_{3}$ définie sur $\R$ par :

\[S_{3}(t) =  a_{0} + \sum_{n=1}^3 \left[a_{n} \cos (nt) + b_{n} \sin (nt)\right]\]

où les nombres $a_{0},~ a_{n}~, b_{n}$ sont les coefficients de Fourier associés à la fonction $\varphi$ définie précédemment. 
	\begin{enumerate}
		\item  Recopier et compléter le tableau avec les valeurs exactes des coefficients demandés.
			
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$a_{0}$&$a_{1}$&$b_{1}$&$a_{2}$& $b_{2}$&$a_{3}$
&$b_{3}$\\ \hline
&\rule[-4mm]{0mm}{9mm}&&&&$- \dfrac{2}{9\pi}$&$\dfrac{1}{3}$\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
		\item   Calculer la valeur exacte de $S_{3}\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$ puis donner la valeur approchée de $\varphi\left(\dfrac{\pi}{4}\right) - S_{3}\left(\dfrac{\pi}{4}\right)$
arrondie à $10^{-2}$.
 	\end{enumerate}
\item	On rappelle la formule de Parseval permettant de calculer le carré de la valeur efficace $\mu_{3}^2$ de la fonction $S_{3}$.

	\[\mu_{3}^2 = a_{0}^2 + \dfrac{1}{2}\left[a_{1}^2
 + b_{1}^2	+ a_{2}^2 + b_{2}^2 + a_{3}^2 + b_{3}^2\right]\]
	
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer la valeur exacte de $\mu_{3}^2$.
		\item  Calculer la valeur approchée de $\dfrac{\mu_{3}^2}{\mu_{\text{eff}}^2}$ arrondie à $10^{-2}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 12 points}

\medskip

Dans ce problème, on s'intéresse à un filtre modélisé mathématiquement par l'équation différentielle suivante :

\[\left\{\begin{array}{r c l}
 s'(t) + s(t) &=& e(t)\\
s(0)&=&0\\
 \end{array}\right.\]
 
La fonction $e$ représente l'entrée aux bornes du filtre et la fonction $s$ la sortie.
 
On admet que les fonctions $e$ et $s$ admettent des transformées de Laplace respectivement notées $E$ et $S$. La
fonction de transfert $H$ du filtre est définie par :

\[S(p) = H(p) \times E(p).\]

On rappelle que la fonction échelon unité, notée $U$, est définie par : 
 \[\left\{ \begin{array}{l c l c l}
U(t)&=&0&\text{si}&t < 0\\
U(t)&=&1&\text{si}& t \geqslant 0.\\
\end{array}\right.\]

\bigskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que : $H(p) = \dfrac{1}{p+1}$.
\item 	La fonction $e$ est définie par : $e(t) =  tU(t) -  (t - 1)U(t -1)$.
	\begin{enumerate}
		\item  Représenter graphiquement la fonction $e$.
		\item  Montrer que : $E(p) = \dfrac{1}{p^2}\left(1 - \text{e}^{-p}\right)$.
		\item  En déduire $S(p)$.
		\item  Déterminer les nombres réels $a,~ b$ et $c$ tels que :
\[\dfrac{1}{p^2(p+1)}=  \dfrac{a}{p^2} + \dfrac{b}{p} + \dfrac{c}{p + 1}\]	
		\item  En déduire l'original $s$ de $S$.
		\item  Vérifier que :
		
\[\left\{\begin{array}{l c l c l}
s(t)&=&0&		\text{si}&t < 0\\
s(t)&=&t - 1 + \text{e}^{-t}&\text{si}&0 \leqslant t < 1\\
s(t)&=&1+ (1 - \text{e})\text{e}^{-t}&\text{si}&1 \leqslant t\\
\end{array}\right.\]
 	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Comparer $s\left(1^{-}\right)$ et $s\left(1^{+}\right)$.
		\item  Calculer $s'(t)$ et étudier son signe sur les intervalles ]0~;~1[ et $]1~;~+\infty[$.
		\item  En déduire le sens de variation de la fonction $s$ sur l'intervalle $]0~:~+ \infty[$.
		\item  Déterminer la limite de la fonction $s$ en $+ \infty$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On note j le complexe de module $1$ et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

On prend $p= \text{j}\omega$  où $\omega$ désigne un nombre réel positif. On a alors : $H(\text{j}\omega) = \dfrac{1}{1 + \text{j}\omega}$.

On munit le plan d'un repère orthonormal \Ouv{} d'unité graphique 10~cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Montrer que l'ensemble ($\Delta$) des points $m$ d'affixe $z = 1 + \text{j}\omega$ lorsque $\omega$ décrit l'intervalle $[0~;~+\infty[$ est une demi-droite que l'on caractérisera.
\item  Quel est l'ensemble ($\mathcal{C}$) des points $M$ d'affixe $Z = \dfrac{1}{1 + \text{j}\omega}$ lorsque $\omega$ décrit l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ ?
\item  Représenter, dans le repère \Ouv{} les ensembles ($\Delta$) et ($\mathcal{C}$).
\end{enumerate}
\end{document}