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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Groupe A}}
\rfoot{\small{novembre 2007}}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\Nouvelle--Calédonie novembre 2007 - groupement A}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 9 points}

On considère la fonction numérique paire, 2$\pi$-périodique, définie sur l'intervalle $[0~;~\pi]$ par : 

\[\left\{\begin{array}{l c l c l}
f(t)&=&\cos (t)& \text{si}& 0\leqslant t < \dfrac{\pi}{2}\\ 
f(t)&=&0& \text{si}&\dfrac{\pi}{2} \leqslant t \leqslant \pi\\
\end{array}\right.\]

On a tracé en pointillé sur le document-réponse la courbe représentative de la fonction cosinus sur l'intervalle $[- \pi ~;~3\pi]$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Représenter. sur le document réponse à rendre avec la copie la fonction $f$  sur l'intervalle $[- \pi ~;~3\pi]$. 
\item On  admet que la fonction $f$ satisfait aux conditions d'application du théorème de Dirichlet et, par conséquent qu'elle est décomposable en série de Fourier. 

On note : 

\[S(t) = a_{0} + \sum_{n\geqslant 1} \left[a_{n}\cos (nt)+ b_{n} \sin (nt)\right] \]

la série de Fourier associée à la fonction $f$. 
	\begin{enumerate}
		\item  Donner la valeur de $b_{n}$ pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1. 
		\item  Calculer $a_{0}$. 
		\item  Calculer $a_{1}$. 
		\item  Montrer que, pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 2, on a : 

\[a_{n} = \dfrac{1}{\pi}\left(\dfrac{\sin \left[(n - 1)\dfrac{\pi}{2}\right]}{n - 1} +  \dfrac{\sin \left[(n + 1)\dfrac{\pi}{2}\right]}{n + 1}\right)\]

	\end{enumerate} 
\item On note $S_{1}(t)$ la série de Fourier associée à la fonction $f$ tronquée au rang 1. 

On a donc :  $S_{1}(t) = \dfrac{1}{\pi} + \dfrac{1}{2}\cos t.$

À partir de la courbe représentative de la fonction cosinus tracer sur le document réponse la courbe représentant la fonction $S_{1}$ sur l'intervalle $[- \pi~;~3\pi]$. 

\emph{On laissera figurer les tracés intermédiaires. }
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 11 points}

Dans cet exercice, on considère la fonction $f$ définie sur l'ensemble des nombres réels telle que : 

\[\left\{\begin{array}{r c l r}
f''(t)+\dfrac{6}{5} f'(t)+ f(t)&=&1& \text{pour tout nombre réel}~ t\\ 
f(0)&=&0& \\ 	 
f'(0)&=&0& \\
\end{array}\right. \]

\begin{enumerate}
\item  Dans cette question on détermine une expression de $f(t)$. 
	\begin{enumerate}
		\item  Résoudre l'équation différentielle (E) 
		
		\[y''(t) +\dfrac{6}{5} y'(t) +  y(t) = 0\quad  	(\text{E})\] 
		
dans laquelle $y$ désigne une fonction de la variable réelle $t$. 
		\item En déduire que la fonction $f$ est définie pour tout nombre réel $t$ par :

\[f(t) = 1 - \text{e}^{- \frac{3}{5}t}\left[\cos \left(\dfrac{4}{5}t\right) +\dfrac{3}{4}\sin\left(\dfrac{4}{5}t\right)\right]. \]

	\end{enumerate} 
\item Dans cette question  on détermine la limite de la fonction $f$ au voisinage de $+ \infty$. 
	\begin{enumerate}
		\item  Justifier que, pour tout nombre réel $t$,  on a : 

\[- \text{e}^{- \frac{3}{5}t} \leqslant \text{e}^{- \frac{3}{5}t}\cos \left(\dfrac{4}{5}t\right) \leqslant \text{e}^{- \frac{3}{5}t}\]

		\item   En déduire que 

\[ \displaystyle\lim_{t \to + \infty}  \text{e}^{- \frac{3}{5}t}\cos \left(\dfrac{4}{5}t\right)  = 0    \]

		\item   Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$. 
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $f'(t)$ pour tout nombre réel $t$. 
		\item  Montrer que :  $f'(t) = 0$  équivaut à $t = \dfrac{5k\pi}{4}$, où $k$ désigne un nombre entier relatif.
		\item  On note pour tout nombre entier relatif $k,~ t_{k} =   \dfrac{5k\pi}{4}$ et on pose 
		
$D_{k}  = \left|f\left(t_{k}\right) - 1\right|$. 

Montrer que : $D_{k}  = \text{e}^{- \frac{3}{4}k\pi}$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{Document-réponse à rendre avec la copie}

\vspace{3cm}

\psset{xunit=0.8cm,yunit=4cm}
\begin{pspicture}(-4,-1.2)(10,1.2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-4,-1.2)(10,1.2)
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\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}