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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{A. P. M. E. P.}
\rhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Groupe A2}}
\rfoot{\small{juin 2008}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur Métropole~\decofourright\\ session 2008 - groupement A2}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 11 points}

\medskip

On considère un système analogique \og entrée-sortie\fg\, dans lequel le signal d'entrée est représenté par une fonction $e$ et celui de sortie par une fonction $s$.

\medskip

Une fonction définie sur $\R$ est dite causale si elle est nulle surl'intervalle $]-\infty~;~0[$.

\medskip 

Les fonctions $e$ et $s$ sont des fonctions causales et on suppose qu'elles admettent des transformées de Laplace notées respectivement $E$ et $S$.
\medskip

On rappelle que la fonction échelon unité $U$ est définie sur $\R$ par : 
\[\left\{
 \begin{aligned}
U(t)&=0\quad\text{si } t < 0\\
U(t)&=1\quad\text{si } t \geqslant 0
 \end{aligned}
\right.
\]
\begin{enumerate}
 \item La fonction de transfert $H$ du système est définie par $S(p)=H(p)\times
E(p)$.

On suppose, dans le cadre de cette étude, que $H(p)=\dfrac{1}{1+2p}$ et $e(t) = U(t)$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $S(p)$.
		\item Déterminer les réels $\alpha$ et $\beta$ tels que
$S(p)=\dfrac{\alpha}{p}+\dfrac{\beta}{p+\dfrac{1}{2}}$.
		\item En déduire $s(t)$.
	\end{enumerate}
\item On se propose d'approcher la fonction de transfert analogique $H$ par la fonction de transfert numérique $F$ telle que
$F(z) = H\left(10\dfrac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}\right) = H\left(\dfrac{10z-10}{z+1}\right)$.

L'entrée et la sortie du système numérique sont modélisés respectivement par deux signaux causaux discrets $x$ et $y$, admettant des transformées en $Z$ notées respectivement $X$ et $Y$.

\medskip

\textbf{On se place toujours dans le cas où le signal d'entrée du
système analogique est {}}\boldmath ${U(t)}$.\unboldmath

Le signal d'entrée du système analogique est échantillonné au pas de $0,2$.

Ainsi, le signal d'entrée $x$ du système numérique est défini par $x(n) = U(0,2n)$ pour tout nombre entier naturel $n$.

\medskip

Les transformées en $Z$ des signaux $x$ et $y$ vérifient
$Y(z) = F(z)\times X(z)$.

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $F(z)=\dfrac{z+1}{21z-19}$.
		\item Déterminer $X(z)$.
		\item Vérifier que
$Y(z)=\dfrac{z}{z-1}-\dfrac{20}{21}\left(\dfrac{z}{z-\dfrac{19}{21}}\right)$.

En déduire l'expression $y(n)$, pour tout nombre entier naturel $n$.
	\end{enumerate}
\item Compléter, sur \textbf{l'annexe, à rendre avec la copie,} le tableau en
donnant des valeurs approchées à $10^{-3}$ près des résultats demandés.
\end{enumerate}

\medskip

\emph{La méthode utilisée dans l'exercice 1, pour discrétiser le système
analogique, est souvent appelée transformation bilinéaire. Dans le cadre de l'exemple étudié, nous observons que cette transformation préserve la stabilité du système et que les signaux de sortie analogique et numérique convergent vers la même limite.}
\newpage

\vspace{1cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 11 points}

\medskip

\begin{center}
 \textbf{Spécialités électrotechnique et génie optique}
\end{center}

On rappelle que la fonction échelon unité, notée $U$, est définie sur
l'ensemble des nombres réels par
\[\left\{
\begin{aligned}
U(t)&=0\quad\text{si }t<0\\
U(t)&=1\quad\text{si }t\geqslant 0
\end{aligned}
\right.\]
Une fonction définie sur $\R$ est causale si elle est nulle sur l'intervalle
$]-\infty~;~0[$.
\begin{enumerate}
 \item On considère la fonction causale $e$ définie sur l'ensemble des nombres
réels par :
\[e(t) = 4\left[U(t)- U(t - 2)\right]\]
	\begin{enumerate}
		\item Tracer la représentation graphique de la fonction $e$ dans un repère orthonormal.
		\item On note $E$ la transformée de Laplace de la fonction $e$.\\
Déterminer $E(p)$.
	\end{enumerate}
\item On considère la fonction $s$ telle que
\[4s'(t) + s(t) = e(t)\quad\text{et}\quad s(0)=0\]
On admet que la fonction $s$ admet une transformée de Laplace, notée $S$.

Démontrer que :
\[S(p) =\dfrac{1}{p\left(p+\dfrac{1}{4}\right)}\left(1-\text{e}^{-2p}\right)\]
\item Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que :
\[\dfrac{1}{p\left(p+\dfrac{1}{4}\right)}=\dfrac{a}{p}+\dfrac{b}{p+\dfrac{1}{4}}\]
\item Compléter le tableau ci-dessous dans lequel $f$ représente la fonction causale associée à $F$ :
\begin{center}
\begin{tabular}{|*{5}{c|}}
\hline
&&&&\\
$F(p)$&$\dfrac{1}{p}$&$\dfrac{1}{p}\text{e}^{- 2p}$&$\dfrac{1}{p+\dfrac{1}{4}}$&$\dfrac{1}{
p+\dfrac{1}{4}}\text{e}^{- 2p}$\\
&&&&\\
\hline
$f(t)$&$U(t)$&&&\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $s(t)$, $t$ désignant un nombre réel quelconque.
		\item Vérifier que :
\[\left\{
 \begin{aligned}
  s(t)&=0 & \text{si }&t<0\\
s(t)&=4-4\text{e}^{-\frac{t}{4}} & \text{si }& 0 \leqslant t < 2\\
s(t)&=4\text{e}^{-\frac{t}{4}}\left(\text{e}^{\frac{1}{2}}-1\right) & \text{si }&t\geqslant 2
 \end{aligned}
\right.
\]
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que la fonction $s$ est croissante sur l'intervalle
$[0~;~2[$.
		\item Déterminer $\displaystyle\lim_{\substack{t \to 2 \\ t<2}}s(t)$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		 \item Déterminer le sens de variation de la fonction $s$ sur l'intervalle
$[2~;~+\infty[$.
		\item Déterminer $\displaystyle\lim_{t\to +\infty} s(t)$.
	\end{enumerate}
\item Tracer la courbe représentative de la fonction $s$ dans un repère
orthonormal.
\end{enumerate}


\newpage

\textbf{Exercice 3 \hfill 9 points}

\medskip

Dans ce problème, on approche un signal à l'aide d'une fonction affine par morceaux.

\medskip

On désigne par $E$ un nombre réel de l'intervalle $]0~;~3[$.

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$, \textbf{paire}, périodique de \textbf{période 5}, telle que :
\[f(t)=\left\{
\begin{aligned}
&E\times t &\text{si } &0\leqslant t<1\\
&(3 - E)t + 2E - 3 &\text{si } &1\leqslant t<2\\
&3 & \text{si } &2\leq t\leqslant \dfrac{5}{2}
\end{aligned}
\right.
\]
\textbf{Partie A : }

Dans cette \textbf{partie, et uniquement dans cette partie,} on se place dans le cas où $E=2$.
\begin{enumerate}
\item Préciser l'écriture de $f(t)$ sur chacun des intervalles
$[0\,;\,1[,\,[1\,;\,2[$ et $\left[2\,;\,\frac{5}{2}\right]$.
\item Représenter graphiquement la fonction $f$ sur l'intervalle $[-5\,;\,10]$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B : }

Dans cette \textbf{partie,} on se place dans le \textbf{cas général},
c'est-à-dire dans le cas où la valeur de $E$ n'est pas spécifiée.\\
On appelle $S$ la série de Fourier associée à la fonction $f$.\\
On note
$S(t)=a_0+\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\left(a_n\cos\left(\frac{2n\pi}{5}
t\right)+b_n\sin\left(\frac{2n\pi}{5}t\right)\right)$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que la valeur moyenne de la fonction $f$ sur une période est
$a_0 = 2\dfrac{E+3}{5}$.
\item Déterminer $b_n$ pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à $1$.
\item
	\begin{enumerate}
 		\item Montrer que pour tout nombre entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1 :
\[\int_0^1 t\cos\left(\dfrac{2n\pi}{5}t\right)\text{d} t=\dfrac{5}{2n\pi}\sin
\left(\dfrac{2n\pi}{5}\right)+\dfrac{25}{4n^2\pi^2}\left(\cos
\left(\dfrac{2n\pi}{5}\right)-1\right).\]
		\item On a calculé les intégrales $\displaystyle\int_1^2 f(t)
\cos\left(\dfrac{2n\pi}{5}t\right)\:\text{d}t$ et
$\displaystyle\int_2^{\frac{5}{2}}f(t) \cos\left(\dfrac{2n\pi}{5}t\right)\:\text{d}t$.\\
On a ainsi obtenu pour tout nombre entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1 :
\[\int_0^{\frac{5}{2}}f(t)\cos\left(\dfrac{2n\pi}{5}t\right)\:\text{d}t =\dfrac{25}{4n^2\pi^2}\left((2E-3)\cos\left(\dfrac{2n\pi}{5}
\right)+(3 - E)\cos\left(\dfrac{4n\pi}{5}\right) - E\right).\]
En déduire que pour tout nombre entier naturel supérieur ou égal à 1 :
\[a_n=\dfrac{5}{n^2\pi^2}\left((2E - 3)\cos\left(\dfrac{2n\pi}{5}
\right)+(3 - E)\cos\left(\dfrac{4n\pi}{5}\right)- E\right).\]
	\end{enumerate}
\item Pour tout nombre entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, on appelle $u_n$ l'harmonique de rang $n$.\\
On a alors
$u_n(t)=a_n\cos\left(\dfrac{2n\pi}{5}t\right)+b_n\sin\left(\dfrac{2n\pi}{5}t\right)$ pour tout nombre réel $t$.
	\begin{enumerate}
		 \item Montrer qu'au rang 5, $u_5(t)$ est nul pour tout nombre réel $t$.
		\item On appelle $E_0$ la valeur de $E$ pour laquelle l'harmonique de rang 3 est nulle, c'est-à-dire la valeur de $E$ telle que $u_3(t)$ est nul pour tout nombre réel $t$.

Déterminer la valeur exacte, puis une valeur approchée à $10^{-2}$ près, de $E_0$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\bigskip


\emph{Dans ce problème, à l'aide d'un transformateur à diode, on approche un signal sinusoïdal redressé par une fonction affine par morceaux.}

\emph{Un tel signal avec } $u_3(t) = u_5(t) =0$ \emph{permettra : }

\emph{\ding{51} s'il est associé à un moteur, de réduire les à-coups du couple}

\emph{\ding{51} s'il est associé à un transformateur, d'éviter les pertes}

\emph{\ding{51} s'il est associé à un filtre, d'éliminer plus facilement les
harmoniques de rang impair d'ordre supérieur.}

\newpage
\begin{center}
\textbf{Annexe}
 
\textbf{à rendre avec la copie}
 
\vspace{3cm}

\begin{tabular}{|*{4}{c|}}
\hline
\hspace{0.5cm}$n$\hspace{0.5cm} &\hspace{1cm} $y(n)$\hspace{1cm} &\hspace{0.5cm}
$t=0,2n$ \hspace{0.5cm}&\hspace{1cm} $s(t)\hspace{1cm}$\\ \hline
0	&	&0	&\\\hline
1	&	&0,2&\\\hline
5	&	&1	&\\\hline
10	&	&2	&\\\hline
15	&	&3	&\\\hline
20	&	&4	&\\\hline
25	&	&5	&\\\hline
50	&	&10	&\\\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{document}