%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{graphicx} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-text,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \setlength{\textheight}{23,5cm} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {BTS groupement A1}, pdftitle = {Métropole Polynésie mai 2005}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[np]{numprint} \setlength\parindent{0mm} \usepackage[frenchb]{babel} \begin{document} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Brevet de technicien supérieur } \lfoot{\small{Groupement A1}} \rfoot{\small{juin 2005}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\Groupement A1 session 2005\\Métropole -- Polynésie} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 9 points} \medskip \textbf{Spécialités CIRA, Électronique, Électrotechnique, Génie optique et TPIL} \medskip \begin{enumerate} \item Soit la fonction numérique $g$ définie sur $[ 0 ; \pi ]$ par \[g(t) = (1 +\cos^2 t) \sin^2 t.\] \begin{enumerate} \item Montrer que $g'(t) = 4 \sin t \cos^3 t$. \item En déduire les variations de $g$ sur $[0~;~\pi]$. \end{enumerate} \item Soit la fonction numérique $f$ définie sur $\R$, paire, périodique de période $1$ telle que : \[\left\{\begin{array}{l c l l} f(t)&=&\dfrac{1}{2}- \tau& \text{si}~ 0\leqslant t < \tau \\ f(t)&=& -\tau &\text{si}~ \tau \leqslant t\leqslant \dfrac{1}{2} \end{array}\right.~ \text{où}~ \tau \text{est un nombre réel tel que}~ 0 < \tau < \dfrac{1}{2}\] \begin{enumerate} \item \emph{ Uniquement dans cette question, on prendra} $\tau =\dfrac{1}{6}$. Représenter la fonction $f$ sur l'intervalle $[-1 ~;~ 1]$ dans un repère orthonormal. \item On admet que la fonction $f$ satisfait aux conditions de Dirichlet. Soit $S$ le développement en série de Fourier associé à la fonction $f$. Montrer que : \[S(t) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n\pi} \sin(2 n \pi \tau) \cos(2 n \pi t).\] \end{enumerate} \item On décide de ne conserver que les harmoniques de rang inférieur ou égal à $2$. Soit la fonction numérique $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par: \[h(t)=\dfrac{1}{\pi}\sin(2 \pi \tau)\cos(2 \pi t) +\dfrac{1}{2\pi}\sin(4 \pi \tau)\cos(4 \pi t)\] On désigne par $E^2_h$ le carré de la valeur efficace de $h$ sur une période. \begin{enumerate} \item À l'aide de la formule de Parseval, déterminer $E^2_h$. \item Montrer que $E^2_h=\dfrac{1}{2\pi^2}~g(2\pi\tau)$. \end{enumerate} \item Déterminer la valeur de $\tau$ rendant $E^2_h$ maximal. \end{enumerate} \medskip %\noindent{\large {\textbf{Exercice 1 \hfill $9$ points) }}} %\textbf{Spécialité IRIST} %\medskip %Le but de cet exercice est d'étudier une approximation du cercle de centre O et de rayon $1$ par une courbe B-spline uniforme de degré $2$, notée $\Gamma$, dont les points de contrôle % $P_0$, $P_1$, $P_2$, $P_3$ et $P_4$ ont % pour affixes respectives : %\[ % p_0 =\dfrac{16}{9}\text{e}^{-\text{i} \dfrac{2\pi}{3}}\text{,} % p_1 =\dfrac{16}{9}\text{,} % p_2 =\dfrac{16}{9}\text{e}^{\text{i} \frac{2\pi}{3}}\text{,} % p_3 =p_0 \text{et} p_4 = p_1 %\] % où i est le nombre complexe de module $1$ et d'argument % $\dfrac{\pi}{2}$. \\ % Les polynômes de Riesenfeld $R_k$ de degré $2$, pour $k$ prenant les valeurs $0$, $1$ ou $2$, sont définis par : %\[ % R_k (t) = 3 \sum_{j=0}^{2-k} (- 1)^j~\dfrac{(t+2-k -j)^2}{j!~(3-j)!} %\] % La courbe B-spline $\Gamma$ est la réunion de trois arcs de courbe $C_j$, $j$ prenant les valeurs $1$, $2$ ou $3$.\\ % L'arc $C_j$ est l'ensemble des points $M_j (t)$ définis, pour tout $t$ dans l'intervalle [ 0 ; 1] par l'égalité vectorielle : %\[ % \vect{\text{O}M_j (t)} = % R_0 (t) \vect{\text{O}P_{j-1}} + % R_1 (t) \vect{\text{O}P_{j}} + % R_2 (t) \vect{\text{O}P_{j+1}} %\] % Les arcs $C_2$ et $C_3$ sont représentés sur la figure du document réponse. %\begin{enumerate} %\item %\textbf{ Questions préliminaires} % \begin{enumerate} % \item Vérifier que les coordonnées du point $P_0$ sont $\left(-\dfrac{8}{9}, -\dfrac{8\sqrt{3}}{9} \right)$. % \item Placer les points de contrôle $P_0$, $P_1$, $P_2$, $P_3$ et $P_4$ sur la figure du document réponse. % \item % Développer et simplifier l'expression du polynôme $R_0$. % \end{enumerate} % Dans toute la suite de cet exercice, on admettra que, pour tout $t$ dans % l'intervalle [ 0 ; 1] : %\[ R_1 (t) = - t^2 + t + \dfrac{1}{2}~ \text{et}~ R_2 (t)= \dfrac{1}{2}t^2\] %\item %\textbf{Étude de l'arc $C_1$}\\ % On admet que les coordonnées $(x_1 (t) ~;~ y_1 (t) )$ du point $M_1 (t)$ de l'arc $C_1$ sont, pour tout $t$ dans % l'intervalle [ 0 ; 1] : %\[\left\{\begin{array}{l} % x_1(t)=\dfrac{4}{9} \left(- 6t^2+6t+1\right)\\ % y_1(t)=\dfrac{8\sqrt{3}}{9}\left( t -\dfrac{1}{2} \right) % \end{array}\right. \] % \begin{enumerate} % \item % Étudier les variations des fonctions $x_1$ et $y_1$ définies ci-dessus et % dresser un tableau des variations conjointes de ces deux fonctions. On donnera les coordonnées exactes des points % $M_1 (0)$, $M_1 \left(\dfrac{1}{2}\right)$ et $M_1 (1)$ de l'arc $C_1$. % \item Déterminer des vecteurs directeurs des tangentes à l'arc $C_1$ aux points $M_1 (0)$ et $M_1 (1)$. % \item % Vérifier que ces vecteurs sont orthogonaux respectivement aux vecteurs % $\vect{\text{O}M_1 (0)}$ et % $\vect{\text{O}M_1 (1)}$. % \item Porter sur la figure du document réponse les tangentes à l'arc $C_1$ aux points $M_1(0)$ et $M_1(1)$. Tracer l'arc $C_1$ et les cercles de centre O passant par les points % $M_1(0)$ et $M_1 \left(\dfrac{1}{2}\right)$. % \end{enumerate} %\item %\textbf{Étude de l'arc $C_2$} % \begin{enumerate} % \item On note $\left( x_2 (t), y_2 (t) \right)$ les coordonnées du point $M_2 (t)$ de l'arc $C_2$. \\ % Vérifier que $x_2 (t) = \dfrac{4}{3} t^2 -\dfrac{8}{3} t + \dfrac{4}{9}$.\\ % On admettra dans toute la suite de l'exercice que : %\[y_2(t)=-\dfrac{4\sqrt{3}}{3}t^2+\dfrac{8\sqrt{3}}{9}t+\dfrac{4\sqrt{3}}{9}\] % \item % On considère la rotation $r$ de centre O et d'angle % $\dfrac{2\pi}{3}$.\\ % Soit $M$ un point quelconque du plan et $M'$ son image par la rotation $r$.\\ % Exprimer l'affixe $z~'$ du point $M'$ en fonction de l'affixe $z$ du point $M$. % \item % On note $(x~;~ y)$ les coordonnées du point $M$ et $(x'~;~ y')$ celles du point $M~'= r(M)$.\\ % Vérifier que : % $\left\{\begin{array}{l c l} % x'&=&-\dfrac12x - \dfrac{\sqrt{3}}{2}y \\ % y'&=&\dfrac{\sqrt{3}}{2}x - \dfrac{1}{2}y % \end{array}\right.$ % \item % En déduire que, pour tout $t$ dans l'intervalle [ 0 ; 1], l'image du point % $M_1 (t)$ de l'arc $C_1$ par la rotation $r$ est le point $M_2 (t)$ de l'arc $C_2$. % \vspace{4ex}\\ % On admet que l'arc $C_2$ est l'image de l'arc $C_1$ par la rotation $r$ et que l'arc $C_3$, est l'image de l'arc $C_2$ par la rotation $r$. % \end{enumerate} %\medskip %\item % \textbf{Calcul de l'aire $\mathcal{A}$ de la surface intérieure à la courbe B-spline } \boldmath $\Gamma$ \unboldmath % \begin{enumerate} % \item % On admet que l'aire de la surface délimitée par l'arc $C_1$ et la droite % d'équation $x = \dfrac{4}{9}$ est donnée par l'intégrale : %\[ I = \int_0^1 - y_1(t) x'_1(t)\:\text{d}t.\] % Calculer l'intégrale $I$. % \item % En déduire la valeur arrondie, au centième, de l'aire de la surface % intérieure à la courbe $\Gamma$. % \item % Comparer le résultat avec l'aire d'un disque de rayon $1$. % \end{enumerate} %\end{enumerate} \vspace{0,5cm} {\textbf{Exercice 2 \hfill 11 points}} \medskip \textbf{Toutes spécialités} \medskip \emph{L'exercice est composé de deux parties qui peuvent se traiter de façon indépendante.} \medskip {\textbf{Partie A}} \medskip Un embrayage vient appliquer, à l'instant $t = 0$, un couple résistant constant sur un moteur dont la vitesse à vide est de $150$~rad/s. On note $\omega(t)$, la vitesse de rotation du moteur à l'instant $t$. La fonction $\omega$ est solution de l'équation différentielle : \[\dfrac{1}{200}y'(t) + y(t) = 146 \quad (1)\] où $y$ désigne une fonction dérivable de la variable réelle positive $t$. \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer la solution générale de l'équation différentielle $(1)$. \emph{On cherchera une solution particulière constante.} \item Sachant que $\omega(0) = 150$, montrer que $\omega(t) = 146 + 4\text{e}^{-200t}$ pour tout $t \in [0~;~+ \infty[$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On note $\omega_{\infty}=\displaystyle\lim_{t\to+\infty} \omega(t)$. Déterminer la perte de vitesse $\omega(0)-\omega_{\infty}$ due au couple résistant. \item On considère que la vitesse du moteur est stabilisée lorsque l'écart relatif $\begin{array}{|c|} \dfrac{\omega(t)-\omega_{\infty}}{\omega_{\infty}} \\ \end{array}$ est inférieur à $1$\,\%. Calculer le temps mis par le moteur pour stabiliser sa vitesse. On donnera la valeur exacte et la valeur arrondie au millième. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip La vitesse du moteur étant stabilisée, on s'intéresse dans cette deuxième partie à l'effet d'une perturbation $\gamma$ du couple résistant sur la vitesse de rotation du moteur. On note $f(t)$ la différence, à l'instant $t$, entre la vitesse perturbée du moteur et sa vitesse stabilisée. La fonction $f$ est solution de l'équation différentielle : \[\dfrac{1}{200} f'(t) + f(t) =\gamma(t)~ \text{avec}~ f(0^+) = 0 \quad (2)\] On admet que la fonction $f$ possède une transformée de Laplace notée $F$. La fonction $\gamma$ est définie par : \[\gamma(t) = K [U(t) - U(t - \tau)]\] où $\tau$ et $K$ sont des réels strictement positifs caractérisant la perturbation et $U$ est la fonction échelon unité ($U(t) = 0$ si $t < 0$ et $U(t) = 1$ si $t \geqslant 0$ ). \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Représenter la fonction $\gamma$ pour $\tau= 0,005$ et $K = 0,2$. \item Déterminer, en fonction de $\tau$ et $K$, la transformée de Laplace $\Gamma$ de la fonction $\gamma$. \end{enumerate} \item En appliquant la transformation de Laplace aux deux membres de l'équation différentielle $(2)$, déterminer $F(p)$. \item \begin{enumerate} \item Déterminer les réels $a$ et $b$ tels que : \[\dfrac{200}{p(p + 200)}=\dfrac{a}{p}+\dfrac{b}{p + 200}\] pour tout réel $p$ strictement positif. \item En déduire l'original $f$ de la fonction $F$. On vérifiera notamment que : \[\left\{\begin{array}{l c l l} f(t) &=& K (1 - \text{e}^{ -200t} )~& \text{si}~ t \in [0~;~\tau[ \\ f(t) &=& K (\text{e}^{200\tau}-1) \text{e}^{ - 200t}~&\text{si}~t \in [\tau~;~+\infty[ \end{array}\right.\] \item Donner le sens de variation de la fonction $f$ sur chacun des intervalles $[0~;~\tau [$ et $[\tau~;~+\infty[$. Déterminer les limites de la fonction $f$ aux bornes de ces deux intervalles. \item Représenter la fonction $f$ pour $\tau= 0,005$ et $K = 0,2$. On pourra tracer les courbes représentatives des fonctions $\gamma$ et $f$ dans le même repère. \end{enumerate} \end{enumerate} %\newpage %\begin{center} % {\bf Document réponse à rendre avec la copie\\} % % \vspace{1cm} % %\psset{unit=3cm} %\begin{pspicture}(-2,-2)(2,2) %\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(-2,-2)(2,2) %\uput[d](1,0){1} \uput[l](0,1){1} \uput[dr](0,0){O} %\parametricplot[linewidth=1.2pt,linecolor=blue,plotstyle=ccurve]% %{0}{0.025}{ t 2 exp 4 mul 3 div 4 9 div add 8 t mul 3 div sub % 6.9282 9 div 13.8564 t mul 9 div 6.9282 t 2 exp mul 3 div sub} %\end{pspicture} %\end{center} \end{document}