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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Groupement A}}
\rfoot{\small{2001}}
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\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~BTS 
Groupement A   session 2001~\decofourright}}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On a obtenu à l'aide d'une calculatrice:

\[\int_{0}^{\pi} \sin t \cdot \cos t\:\text{d}t = 0~~\text{et}~~\int_{0}^{\pi} \sin t \cdot \cos (2t)\:\text{d}t = - \dfrac{2}{3}.\]
Justifier ces deux résultats en calculant les intégrales.

\item   On considère le signal, modélisé par la fonction réelle $e$, de période $2\pi$, définie par :

\[\left\{\begin{array}{l c l c l}
e(t)& =&\sin t& \text{si}& t \in ~[0~;~\pi]\\
e(t)& =&0&\text{si}& t \in  ~]\pi~;~ 2\pi[.\\
\end{array}\right.\]

	\begin{enumerate}
		\item  Dans un repère orthogonal, tracer la représentation graphique de la fonction $e$ pour $t$ variant dans l'intervalle $[-2 \pi~;~ 4\pi]$. 
		\item  Calculer les coefficients de Fourier $a_{0}~, a_{1}$ et $a_{2}$ de la fonction $e$. On admettra dans la suite de l'exercice que les coefficients $b_{1}$ et $b_{2}$ valent : $b_{1} = \dfrac{1}{2}$ et $b_{2} = 0.$
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer le carré $E^2$ de la valeur efficace du signal $e$.
		 \item On sait par ailleurs que la formule de Bessel-Parseval donne :

\[E^2	= a_{0}^2 + \sum_{n = 1}^{+ \infty} \dfrac{a_{n}^2 + b_{n}^2}{2}.\]
Dans le cas présent, on décide de ne garder que les harmoniques de rang 1 et 2.

Soit $P$ le nombre défini par : $P=a_{0}^2 +  \dfrac{1}{2}\left(a_{1}^2 + b_{1}^2 + a_{2}^2  +b_{2}^2\right)$.

Calculer P, puis donner une approximation décimale à $10^{-3}$ près du rapport $\dfrac{P}{E^2}$.


\emph{La comparaison de $E^2$ et $P$ justifie que, dans la pratique, on néglige les harmoniques de rang supérieur ou égal à 3.}
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
	\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On se propose dans cette partie d'obtenir l'intensité $i$ du courant dans le circuit ci-dessous lorsqu'il est alimenté par le signal d'entrée $e$ défini dans la partie A.
	
\medskip

\begin{center}
\begin{pspicture}(6,4)
\psline(0,4)(6,4)
\pnode(6,4){A} \pnode(6,0){B}
\pnode(0,0){C}
\capacitor(A)(B){$C$}
\resistor(B)(C){$R$}
\uput[l](0,2){$e(t)$} \uput[u](3,4){$i(t)$}
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0.3)(0,3.7)
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

L'équation permettant de trouver l'intensité du courant est, pour $t  \in [0~;~+ \infty[$,

\[R i(t) + \dfrac{1}{C}\int_{0}^t i(u)\:\text{d}u = e(t)\quad 	(1).\]

Pour déterminer la fonction $i$ on remplace le signal d'entrée $e$ par son développement en série de Fourier tronqué à l'ordre 2. L'équation (1) devient alors:

\[R i(t) + \dfrac{1}{C}\int_{0}^t i(u)\:\text{d}u = \dfrac{1}{\pi} + \dfrac{1}{2}\sin t - \dfrac{2}{3\pi}\cos (2t) \quad 	(2).\]
On admet que l'intensité $i$ du courant est une fonction dérivable sur $[0~;~+ \infty[$.

\medskip

On suppose dans toute la suite de l'exercice que $R = \nombre{5000} \Omega$ et $C = 10^{-4}$~F.

\begin{enumerate}
\item  Montrer que l'équation (2) peut alors se transformer et s'écrire :

\[\left\{\begin{array}{l}
\dfrac{\text{d}i}{\text{d}t}(t)	+ 2i(t) = \left(10^{-4} \right)\cos t  + \left(\dfrac{4}{15\pi} \cdot 10^{-3}\right)\sin (2t)\\	
t \in  [0~;~ + \infty[\\
\end{array}\right. \quad (3).\]

\item  Vérifier que la fonction $i_{1}$ telle que $i_{1}(t) = \left(4 \cdot 10^{-5} \right)\cos t + \left(2 \cdot 10^{-5}\right)\sin t$ est une solution particulière de l'équation différentielle
\[\left\{\begin{array}{l}
\dfrac{\text{d}i}{\text{d}t}(t)	+ 2i(t) = \left(10^{-4}\right)\cos t\\
t \in  [0~;~ + \infty[\\
\end{array}\right. \]

\item  Déterminer une solution particulière $i_{2}$ de l'équation différentielle

\[\left\{\begin{array}{l}
\dfrac{\text{d}i}{\text{d}t}(t)	+ 2i(t) = \left(\dfrac{4}{15\pi}\cdot 10^{-3}\right)\sin (2t)\\
t \in  [0~;~ + \infty[\\
\end{array}\right. \]

\item  Résoudre alors l'équation différentielle (3). En déduire la solution particulière vérifiant la condition $i(0) = 0$.
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 8 points}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij.

On s'intéresse dans cet exercice à deux courbes de Bézier $C_{1}$ et $C_{2}$.

$C_{1}$ est définie par les quatre points de contrôle A$_{0}(0~;~ 3)$,~A$_{1}(0~;~ -2)$,~ A$_{2}(10~;~ -2)$,~ A$_{3}(5~;~ 3)$ ;

$C_{2}$ est définie par les trois points de contrôle A$_{0}(0~;~3)$,~ T(0~;~8),~ A$_{3}(5~;~3)$.

 On rappelle que la courbe de Bézier définie par les points de contrôle $A_{i}~(0 \leqslant  i \leqslant n)$ est l'ensemble des points $M(t)$ tels que :

\[\vect{\text{O}M}(t) =	\sum_{i=0}^n B_{i,~n}(t)\vect{\text{O}A_{i}}~~ \text{où}~~ B_{i,~n}(t) = \text{C}_{n}^i t^i(1 - t)^{n - i}~~	\text{avec}~	t \in  [0~;~1].\]

\begin{enumerate}
\item  Construction de la courbe $C_{1}$.
	\begin{enumerate}
		\item  Développer, réduire et ordonner les polynômes $B_{i,~3}(t),~ (0 \leqslant i \leqslant  3)$.
		\item  Montrer que les coordonnées du point $M(t)$ de la courbe $C_{1}$ sont :
		\[ \left\{ \begin{array}{l c l c l}
x&=&f_{1}(t) &=&30t^2 - 25t^3\\		
y&=&g_{1}(t) &=& 3 - 15t + 15t^2\\
\end{array}\right. \quad t \in [0~;~1].\]

		\item  Étudier les variations de $f_{1}$ et $g_{1}$ et dresser le tableau des variations conjointes de ces deux fonctions.
		\item  Préciser les coordonnées des points de $C_{1}$ à tangentes parallèles aux axes de coordonnées.
		\item  Montrer que la droite $\left(\text{A}_{2}\text{A}_{3}\right)$ est tangente à $C_{1}$ en A$_{3}$.
		\item  Tracer, en exploitant les résultats précédents, la courbe $C_{1}$ sur la feuille annexe.
	\end{enumerate}

\item Étude géométrique de la courbe $C_{2}$

La représentation paramétrique de la courbe $C_{2}$ est : 
\[ \left\{ \begin{array}{l c l c l}
x&=&f_{2}(t)  &=& 5t^2\\
y&=& g_{2}(t) &=& 3 + 10t - 10t^2\\
\end{array}\right.\]
La courbe $C_{2}$ est donnée sur la feuille annexe.
	\begin{enumerate}
		\item  On définit, pour tout $t \in [0~;~ 1]$, les points $N_{1}(t)$ et $N_{2}(t)$ par :

\[\vect{\text{O}N_{1}(t)}= (1 - t)\vect{\text{OA}_{0}}+ t \vect{\text{OT}}~ \text{et}~ \vect{\text{O}N_{2}(t)}= (1 - t)\vect{\text{OT}}+ t \vect{\text{OA}_{3}}.\]
Justifier que les points $N_{1}(t)$ et $N_{2}(t)$ appartiennent respectivement aux segments [A$_{0}$T] et [TA$_{3}$].

		\item  Soit $G(t)$ le point défini, pour tout $t \in  [0~;~ 1]$, par 
		
		\[\vect{\text{O}G(t)} =  (1 - t)\vect{\text{O}N_{1}(t)} +t \vect{\text{O}N_{2}(t)}.\]
		
Montrer que $G(t)$ appartient à $C_{2}$ et que la droite $\left(N_{1}(t)N_{2}(t)\right)$ est tangente à $C_{2}$ en $G(t)$.

		\item  Placer les points $N_{1}\left(\dfrac{1}{5}\right), ~N_{2}\left(\dfrac{1}{5}\right)$ et $G\left(\dfrac{1}{5}\right)$ et la tangente à $C_{2}$ en $G\left(\dfrac{1}{5}\right)$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\newpage
\begin{center}
\textbf{Feuille annexe à rendre avec la copie}

\vspace{2cm}

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.2,-2.3)(11,9)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt,gridcolor=orange](-0,-2)(11,9)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=15]{->}(0,0)(-0.2,-2.3)(11,9)
\psline(0,8)(10,-2)
\uput[ur](0,-2){A$_{1}$}\uput[ur](10,-2){A$_{2}$}\uput[d](11,0){$x$}\uput[l](0,9){$y$}
\uput[ur](0,3){A$_{0}$}\uput[ur](5,3){A$_{3}$}\uput[ur](0,8){$T$}
\uput[d](1,0){1}\uput[l](0,1){1}\uput[d](1.5,5.4){$C_{2}$}
\parametricplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{t dup mul 5 mul 10 t mul 3 add t dup mul 10 mul sub}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}