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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small Brevet de technicien supérieur S}
\lfoot{\small{Groupement A}}
\rfoot{\small{2002}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~BTS Groupement A    2002~\decofourright}}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 12 points}

\medskip

La fonction échelon unité $\mathcal{U}$ est définie par
 
\[\mathcal{U}(t) = 0~ \text{si}~ t < 0~ \text{et}~~ \mathcal{U}(t) = 1~ \text{si}~ t \geqslant 0.\]

On considère le système \og entrée-sortie \fg représenté ci-dessous :

\begin{center}
\begin{pspicture}(9,1)
\psline{->}(0,0.75)(3,0.75) \psline{->}(6,0.75)(9,0.75)
\psframe(3,0.5)(6,1)
\uput[u](1.5,0.75){$e(t)$} \uput[u](7.5,0.75){$s(t)$} 
\end{pspicture}
\end{center}

On note $s$ le signal de sortie associé au signal d'entrée $e$. Les fonctions $s$ et $e$ sont des fonctions causales, c'est-à-dire qu'elles sont nulles pour $t <0$. On admet que les fonctions $s$ et $e$ admettent des transformées de Laplace, notées respectivement $S$ et $E$.
 
La fonction de transfert $H$ du système est définie par : $S(p) = H(p) \times E(p)$.

On considère le signal d'entre $e$ défini par:

\[e(t) = t\mathcal{U}(t) - 2\mathcal{U}(t - 1) - (t - 2)\mathcal{U}(t - 2)\]

et la fonction $H$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par $H(p) =
\dfrac{1}{p+1}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Tracer la courbe représentative de la fonction $e$ dans un repère orthonormal.
\item  Pour $p > 0$, déterminer $E(p)$.
\item  Déterminer tes nombres réels $A,~ B$, et $C$ tels que, pour tout $p > 0$, on ait :

\[	\dfrac{1}{p^2(p + 1)} = \dfrac{A}{p^2} + \dfrac{B}{p} + \dfrac{C}{p + 1}\]

On admet que :

\[\dfrac{2}{p(p+1)} = \dfrac{2}{p} - \dfrac{2}{p + 1}\]

\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer $S(p)$ puis $s(t)$.
		\item  En déduire que la fonction $s$ est définie par :
\[\left\{\begin{array}{l c l c l}
s(t)&=		&	0&	\text{si}& t < 0\\
s(t)&=		&	t-1+\text{e}^{-t}&\text{si}& 0\leqslant t < 1\\
s(t)&=		&	t - 3 + \text{e}^{-t}(1 + 2\text{e})&\text{si}& 1 \leqslant t < 2\\
s(t)&=		&	\text{e}^{-t}\left(1 + 2\text{e} - \text{e}^2\right)&\text{si}& t \geqslant 2\\
\end{array}\right.\]
	\end{enumerate}
\item On rappelle que la notation $f\left(a^{+}\right)$ représente la limite de la fonction $f$ lorsque la variable $t$ tend vers $a$ par valeurs supérieures : $f\left(a^{+}\right) = \displaystyle\lim_{t \to a \atop t > a} f(t)$. De même, $f\left(a^{-}\right) = \displaystyle\lim_{t \to a \atop t < a} f(t).$
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer $s\left(1^{+}\right),~ s\left(1^{-}\right),~ s\left(2^{+}\right),~ s\left(2^{-}\right)$. Que peut-on en conclure pour la fonction $s$ lorsque $t = 1$ et $t = 2$ ?
		\item  Calculer $s'(t)$ sur chacun des intervalles ]0~;~ 1[, {}]1~;~ 2[ et $]2~;~ + \infty[$.
		
On admet que $s'$ est strictement positive sur $]0~;~ 1[{} \cup {} ]2~;~ + \infty[$.

Déterminer le signe de $s'(t)$ sur l'intervalle ]1~;~2[.
		\item  Calculer la valeur exacte de $s\left[\ln (1 + 2\text{e})\right]$. Déterminer $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} s(t)$ et dresser le tableau des variations de la fonction $s$ sur $]0~;~ + \infty[$.
		\item  Calculer $s'\left(1^{+}\right),~ s'\left(1^{-}\right),~ s'\left(2^{+}\right),~ s'\left(2^{-}\right)$. On admet que ces nombres sont respectivement les coefficients directeurs des demi-tangentes à droite et à gauche aux points d'abscisse 1 et d'abscisse 2 de la courbe $\Gamma$ représentative de la fonction $s$.
	\end{enumerate} 
\item On se place dans le plan rapporté \`a un repère orthogonal \Oij{} d'unités graphiques 5~cm sur l'axe des abscisses et 50~cm sur l'axe des ordonnées.
	\begin{enumerate}
		\item  Recopier et compléter le tableau suivant dans lequel les valeurs numériques seront données à $10^{-2}$ près.
		
\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.4}		
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$&1&	1,2&	1,4&	1,6&	2&	2,5&	 3& 	3,5\\ \hline
$s(t)$&&&&&&&& \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

		\item  Tracer alors les tangentes ou demi-tangentes à la courbe $\Gamma$ représentative de la fonction $s$ aux points d'abscisses 0, 1, et 2. Tracer alors la courbe $\Gamma$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 8 points}
 
\medskip
 
On se propose de résoudre le système différentiel $(S)$ suivant,
 puis d'en déterminer une solution particulière.

\[(S)\quad 
      \left\lbrace\begin{array}{l c l l}
         x'(t)+ 2y(t)& = &- 2\sin t & (E_1) \\
         2x(t) - y'(t)& = & - 2\cos t & (E_2)
      \end{array}\right.\]
      
 Les fonctions $x$ et $y$ sont des fonctions de la variable réelle
 $t$, deux fois dérivables sur $\mathbb{R}$.

\medskip

{\textbf{Partie A}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer en utilisant les équations $(E_1)$ et $(E_2)$ que la fonction $x$ vérifie, pour tout $t$ dans $\mathbb{R}$, l'équation différentielle :

\[x''(t)+4x(t)=-6\cos t \qquad (E)\]

\item Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation différentielle $(E)$. En
déduire les solutions du système $(S)$.
\item Déterminer la solution particulière du système $(S)$   vérifiant les
     conditions initiales $x(0)=-1$ et $y(0)=0$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la courbe $(\Gamma)$ définie par la représentation
  paramétrique

\[
      \left\lbrace\begin{array}{lllll}
         x &=&f(t)&=&\cos(2t)-2\cos t \\
         y &=&g(t)&=&\sin(2t)-2\sin t
      \end{array}\right.\]
      
 où $t$ est un réel appartenant à l'intervalle $[-\pi~;~+\pi]$.
 
 \medskip
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que la courbe $(\Gamma)$ admet un axe de symétrie en
calculant $f(-t)$ et $g(-t)$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(t)$.
        
Montrer que : $f'(t)=-4\sin \left( \dfrac{t}{2}\right) \cos\left( \dfrac{3t}{2}\right)$.
		\item Établir le signe de $f'(t)$ sur l'intervalle $[0~;~\pi]$.
	\end{enumerate}
\item On admet que $g'(t)=-4\sin\left( \dfrac{t}{2}\right) \sin\left( \dfrac{3t}{2}\right)$ et que le signe de $g'$ est donné par le tableau suivant :

\medskip
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.4}     
\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
$t$              & $0$ &     & $\frac{2\pi}{3}$ &     & $\pi$ \\\hline
Signe de $g'(t)$ & $0$ & $-$ &       $0$        & $+$ &       \\\hline
\end{tabular}
\end{center}

\medskip
Dresser sur l'intervalle $[0~;~\pi]$ le tableau des variations conjointes des fonctions $f$ et $g$.
\item Déterminer un vecteur directeur de la tangente à la courbe
$(\Gamma)$ aux points $B$, $C$ et $D$ de paramètre respectifs
$t_B=\dfrac{\pi}{3}$, $t_C=\dfrac{2\pi}{3}$ et $t_D=\pi$.
\item Le plan ${\cal P}$ est rapporté à un repère
\Oij{} d'unité graphique $2$~cm.

On admet que la tangente à la courbe $(\Gamma)$ au point $A$
de paramètre $t_A = 0$ a pour vecteur directeur
$\vect{i}$. Tracer les tangentes aux points $A$, $B$, $C$ et $D$ puis la courbe $(\Gamma)$.
\end{enumerate}
\end{document}