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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Géomètre  topographe}}
\rfoot{\small{juin 2009}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur session 2009~\decofourright\\ Géomètre--topographe}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\noindent \textbf{Exercice 1 \hfill 8 points}

\begin{center}
\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-3,-3)(3,3)
\pscircle{2}
\psline{<->}(0,3)(0,0)(3,0)
\psline{->}(3;-140)
\uput[-140](3;-140){$x$}
\uput[0](3,0){$y$}
\uput[90](0,3){$z$}
\uput[135](0,0){$O$}
\uput[-86.5](0.3;-86.5){$\theta$}
\uput[15](0.4;15){$\varphi$}
\uput[45](1.414,1.414){$(\Sigma)$}
\uput[30](0.866,1){$M$}
%\parametricplot[linestyle=dotted,algebraic]{-3.14}{0}{2*cos(t)|sin(t)}
\psellipse(0,0)(2,0.7)
%\parametricplot[algebraic,arrows=->]{-2.1}{-0.576}{1*cos(t)|0.5*sin(t)}
\psarc{->}(0,0){0.3}{-140}{-33}
\parametricplot[algebraic]{-1.57}{1.57}{cos(t)|2*sin(t)}
%\parametricplot[algebraic,arrows=->]{-0.5}{0.5}{cos(t)|2*sin(t)}
\psarc{->}(0,0){0.4}{-33}{49.1}
\psline[linestyle=dotted](0.866,1)(0,0)(0.95,-0.62)
\end{pspicture}
\end{center}

L'espace est rapporté à un repère orthonormal direct \Oijk.

$(\Sigma)$ est la sphère de centre $O$ et de rayon 1.

Tout point de $(\Sigma)$ est repéré par le couple $\left(\theta~;~\varphi\right)$ où $\theta$ est sa longitude et $\varphi$ sa latitude (en radians). On considère sur $(\Sigma)$ les points

$I(0~;~0)$
\quad,\quad
$J\left(\dfrac{\pi}{2}~;~0\right)$
\quad,\quad
$K\left(0~;~\dfrac{\pi}{2}\right)$
\quad,\quad
$A\left(\dfrac{\pi}{6}~;~\dfrac{\pi}{6}\right)$
\quad et \quad
$B\left(\dfrac{\pi}{3}~;~\dfrac{\pi}{3}\right)$

\begin{enumerate}
\item  Déterminer les coordonnées cartésiennes des points $I$, $J$ , $K$, $A$ et $B$.
\item Calculer les produits scalaires suivants : $\vect{OA} \cdot \vect{OB},~  \vect{OA} \cdot \vect{OJ}$ et $\vect{OB} \cdot \vect{OJ}$.

En déduire les longueurs des côtés du triangle sphérique $ABJ$ en radians à $10^{-2}$ près.
\item Calculer, en radians à $10^{-2}$ près, la mesure en radians de l'angle $\hat{A}$ du triangle sphérique~$ABJ$.\newline
\emph{Rappel:\newline
Pour un triangle sphérique $ABC$, avec les notations usuelles de la trigonométrie sphérique on  a :}\newline
$\cos a=\cos b \cdot \cos c + \sin b \cdot \sin c \cdot \cos\hat{A}$.
\item Soit $(P)$ le plan passant par les points $I$, $J$ et $K$. écrire une équation cartésienne du plan~$(P)$. 
\item Montrer que le point $H$ de coordonnées cartésiennes $H \left(\dfrac{1}{3}~;~\dfrac{1}{3}~;~\dfrac{1}{3}\right)$ est le projeté orthogonal du point $O$ sur le plan $(P)$.
\item En déduire la nature de l'intersection du plan $(P)$ et de la sphère $(\Sigma)$.
\newline
Préciser les éléments caractéristiques de cet ensemble.
\end{enumerate}

%\end{exercice}

\vfill\hfill

\newpage

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 12 points}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij d'axes $(Ox)$ et $(Oy)$.\newline
Soient $A$ le point de coordonnées $A(1~;~0)$, $(C)$ le cercle de diamètre $[OA]$,
$t$ un réel et $(D_t)$ la droite passant par l'origine et par le point $Q$ de coordonnées $(1~;~t)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Étude géométrique
	\begin{enumerate}
		\item  Justifier que $t$ est le coefficient directeur de la droite $(D_t)$ et en déduire l'équation réduite de la droite $(D_t)$.
		\item  Écrire une équation cartésienne du cercle $(C)$.

\item La droite $(D_t)$ coupe le cercle $(C)$ au point $O$ et au point $N$.
\newline
Montrer que le couple de coordonnées $(X(t)~;~Y(t))$ de $N$ en fonction de $t$ est :
$
N
\left\{
\begin{array}{l}
X(t)=\dfrac{1}{\strut 1+t^2}
\\
Y(t)=\dfrac{\strut t}{1+t^2}
\end{array}
\right.
$
		\item Soit $M$ le point du plan tel que : $\vect{OM} = \vect{NQ}$.
\newline
Montrer que le couple de coordonnées $(x(t)~;~y(t))$ de $M$ en fonction de $t$ est :
$
M
\left\{\begin{array}{l}
x(t)=\dfrac{t^2}{\strut 1+t^2}
\\
y(t)=\dfrac{\strut t^3}{1+t^2}
\end{array}\right.$
	\end{enumerate}

\medskip

\item Étude d'une courbe paramétrée.

Dans le plan rapporté au repère orthonormal \Oij, on désigne par $(\Gamma)$ la courbe définie paramétriquement par : 
$
(\Gamma)
\left\{\begin{array}{l}
x(t)=\dfrac{t^2}{\strut 1+t^2}\\
y(t)=\dfrac{t^3}{\strut 1+t^2}
\end{array}\right.$
où $t$ décrit $\R$.

Pour $t \neq 0$, $M(x(t)~;~y(t))$ est distinct du point $O$ et on rappelle que $t$ est le coefficient directeur de la droite $(D_t)$.

	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que la courbe $(\Gamma)$ admet l'axe $(Ox)$ comme axe de symétrie et en déduire que l'on peut étudier la courbe $(\Gamma)$ pour $t \in ]0~;~+\infty[$.
		\item  Étudier les limites des fonctions $x$ et $y$ quand $t$ tend vers $+\infty$. Que peut-on en déduire pour la courbe $(\Gamma)$ ?
		\item Montrer que les fonctions $x$ et $y$ ont pour dérivées : 
$x'(t) = \dfrac{2t}{(1+t^2)^2}$ et $y'(t)= \dfrac{3t^2+t^4}{(1+t^2)^2}$.
		\item  Étudier les variations des fonctions $x$ et $y$ pour $t \in]0~;~+\infty[$ et représenter les résultats \textbf{dans le tableau de l'annexe}.
		\item  Calculer : $\displaystyle\lim_{t \to 0} \dfrac{y(t)- y(0)}{x(t) - x(0)}$. En déduire la tangente à la courbe $(\Gamma)$ au point $O$.
		\item  Tracer la courbe $(\Gamma)$ dans le \textbf{repère représenté sur l'annexe}. 
\newline
On placera les points de $(\Gamma)$ pour les valeurs $t = 1$, $t = 2$ et $t = \sqrt{3}$.
	\end{enumerate}

\vfill\hfill

\newpage

\item Étude d'une inversion

\medskip

On considère l'inversion I de pôle $O$ et de puissance 1.
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer les coordonnées $x_1(t)$ et $y_1(t)$ du point $M_1$, image par l'inversion I du point $M\,(x(t)~;~y(t))$ de la courbe $(\Gamma)$ privée de $O$, en fonction de $t$ ($t \neq 0$).
\newline
On rappelle la relation : $\vect{OM_1} = \dfrac{1}{OM^2} \,\vect{OM}$.
		\item  Montrer que les coordonnées $x_1(t)$ et $y_1(t)$ du point $M_1$ vérifient l'équation $y^2 =x$.
		\item  Préciser la nature de la courbe $(P)$ d'équation : $y^2 = x$ et en donner les éléments
caractéristiques.
		\item  Tracer la courbe $(P)$ dans \textbf{le repère de l'annexe}.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vfill\hfill

\newpage

\begin{center}\textbf{-- ANNEXE à rendre avec la copie --}\end{center}

\textbf{Exercice 2 : B. 4)
.}

$
\begin{array}{|c|cp{8.5cm}c|}
\hline
t & 0 && +\infty
\\\hline
x'(t)&&&
\\\hline
\raisebox{1.5cm}{$x(t)$}&\rule{0cm}{3cm}&&
\\\hline
\raisebox{1.5cm}{$y(t)$}&\rule{0cm}{3cm}&&
\\\hline
y'(t)&&&
\\\hline
\end{array}
$

\bigskip

\textbf{Repère et figure de l'exercice 2 :}


\begin{center}
\psset{unit=4cm}
\begin{pspicture*}(-1.5,-1.2)(1.5,1.2)
	\psaxes[labels=none]{->}(0,0)(-1.5,-1.2)(1.5,1.2)
	\psline{->}(1,0)
	\psline{->}(0,1)
	\pscircle(0.5,0){0.5}
	\psline(1,-1.5)(1,1.5)
	\uput[-45](0,0){$O$}
	\uput[45](1,0){$A$}
	\uput[-20](1,0.6){$Q$}
	\uput[90](0.26,0.16){$M$}
	\uput[90](0.74,0.44){$N$}
	\uput[-45](0.5,-0.5){$(C)$}
	\uput[120.96](1.3;210.96){$(D)$}
	\uput[180](0,1){$1$}
	\uput[180](0,-1){$-1$}
	\uput[-90](-1,0){$-1$}
	\psplot[algebraic=true]{-1.5}{1.5}{0.6*x}
	\psline[linewidth=0.015]{->}(0.26,0.16)
	\psline[linewidth=0.015]{->}(0.74,0.44)(1,0.6)
\end{pspicture*}
\end{center}
\vfill\hfill
\end{document}