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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
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\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Assistant en création industrielle}}
\rfoot{\small{Session 2002}}
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\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\Assistant en création industrielle - session 2002}}
  
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 8 points}

\medskip

Un magasin spécialisé dans la vente de téléphones portables fait une promotion sur un type d'appareil A.

Dans une journée 150~personnes se présentent indépendamment. La probabilité pour qu'une personne achète l'appareil A est de $0,4$. On appelle X la variable aléatoire représentant le nombre d'articles A vendus en une journée.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire X ? Calculer l'espérance E(X) et l'écart-type $\sigma$(X) de la variable aléatoire X.
\item  On admet que la loi de la variable aléatoire X peut être approximée par une loi normale de moyenne $m = 60$ et d'écart-type $\sigma = 6$.

Calculer les probabilités suivantes : $P(\text{X} \leqslant  72),~ P(\text{X} \geqslant  69)$ et $P(69 \leqslant  \text{X}\leqslant  72)$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 12 points}

\medskip

Soit $f$ la fonction numérique définie sur $\R$ par

\[f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d.\]

\begin{enumerate}
\item  Déterminer les réels $a,~ b,~ c,~ d$ sachant que $f(0) = \dfrac{1}{4}~ ;~f(3) = \dfrac{7}{4}~;$

$f'(0) = 0 ~;~f'(3) = 0$ où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$ sur $\R$.

\item  Soit $g$ la fonction numérique définie sur $\R$ par 

\[g(x) = - \dfrac{x^3}{9} 	 + \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{1}{4}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la fonction $g'$ dérivée de $g$ sur $\R$.
		\item Étudier le signe de $g'$ et dresser le tableau des variations de $g$ (on y précisera, sans démonstration, les limites de $g(x)$ quand $x$ tend vers $+\infty$ et $- \infty$)
		\item Construire la représentation graphique $\mathcal{C}$ de la fonction $g$ lorsque $x$ varie dans l'intervalle [0~;~ 3]. On utilisera un repère orthonormé d'unité 2~cm. On représentera également les tangentes à la courbe $\mathcal{C}$ aux points d'abscisse $x = 0$ et $x = 3$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Construire la courbe $\mathcal{C}_{1}$ image de la courbe $\mathcal{C}$ par la symétrie orthogonale par rapport à l'axe des ordonnées.
		\item  Construire les courbes $\mathcal{C}'$ et $\mathcal{C}'_{1}$ symétriques de $\mathcal{C}'$ et $\mathcal{C}_{1}$ par rapport â l'axe des abscisses.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer I $ = \displaystyle\int_{0}^1 g(x)\:\text{d}x$.
		\item En déduire l'aire en cm$^2$ du domaine délimité par $\mathcal{C},~ \mathcal{C}_{1},~ \mathcal{C}' ,~\mathcal{C}'_{1}$ et les droites d'équation $x = 3$ et $x = -3$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}