%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-text,pst-eucl,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \setlength{\textheight}{23,5cm} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \lhead{A. P. M. E. P.} \rhead{\small Brevet de technicien supérieur} \lfoot{\small{Groupe A1}} \rfoot{\small{12 mai 2010}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du brevet de technicien supérieur~\decofourright\\Métropole - session 2010 - groupement A1 \& A2}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{Exercice 1} \begin{center} \textbf{Spécialités CIRA, Électrotechnique, Génie optique, Systèmes électroniques, TPIL} \end{center} \textbf{Partie A} \begin{enumerate} \item Voir figure \ref{fig3} du document réponse 1. \item \begin{enumerate} \item On a \begin{align*} a_0&=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} f(t)\dd t\\ &=\frac{1}{2\pi}\int_0^\tau 1 \dd t\\ &=\frac{1}{2\pi}\cro{t}_0^\tau\\ &=\frac{\tau}{2\pi} \end{align*} \item On a, pour $n\geq 1$ : \begin{align*} \int_0^\tau\cos(nt)\dd t&=\cro{\frac{\sin(nt)}{n}}_0^\tau\\ &=\frac1n\sin(n\tau) \end{align*} et \begin{align*} a_n&=\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi} f(t)\cos(nt)\dd t\\ &=\frac{1}{\pi}\int_0^\tau \cos(nt)\dd t\\ &=\frac{1}{n\pi}\sin(n\tau) \end{align*} \item On a aussi, pour $n\geq 1$ : \begin{align*} b_n&=\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi} f(t)\sin(nt)\dd t\\ &=\frac{1}{\pi}\int_0^\tau \sin(nt)\dd t\\ &=\frac{1}{\pi}\cro{-\frac{\cos(nt)}{n}}_0^\tau\\ &=\frac{1}{n\pi}\pa{1-\cos(n\tau)} \end{align*} \end{enumerate} \item À l'aide de la question précédente, on a : \[A_0=a_0=\frac{\tau}{2\pi}\] et pour $n\geq 1$, \begin{align*} a_n^2+b_n^2&=\cro{\frac{1}{n\pi}\sin(n\tau)}^2+\cro{\frac{1}{n\pi}\pa{ 1-\cos(n\tau)}}^2\\ &=\cro{\frac{1}{n\pi}}^2\times\cro{\sin^2(n\tau)+1-2\cos(n\tau)+\cos^2(n\tau)}\\ &=\cro{\frac{1}{n\pi}}^2\times 2\times \cro{1-\cos(n\tau)} \end{align*} d'où \[\frac{a_n^2+b_n^2}{2}=\cro{\frac{1}{n\pi}}^2\times \cro{1-\cos(n\tau)}\] alors \[\text{pour }n\geq 1,\,A_n=\frac{1}{n\pi}\sqrt{1-\cos(n\tau)}\] \item Voir tableau \ref{tab1} du document réponse 2. \item \begin{enumerate} \item On a \begin{align*} h_{eff}^2&=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\cro{h(t)}^2\dd t\\ &=\frac{1}{2\pi}\int_0^\tau 1^2 \dd t\\ &=\frac{1}{2\pi}\cro{t}_0^\tau \\ &=\frac{\tau}{2\pi}\\ &=\frac18 \end{align*} \item À l'aide du tableau, on obtient \[P\approx 0,0898\] \item De même, \[\frac{P}{h_{eff}^2}\approx 0,72\] \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip \begin{enumerate} \item On a \begin{align*} r(\omega)&=\abs{H(\jj \omega)}\\ &=\abs{\frac{3}{3+2\jj\omega}}\\ &=\frac{3}{\abs{3+2\jj\omega}}\\ &=\frac{3}{\sqrt{9+4\omega^2}} \end{align*} \item Voir tableau \ref{tab2} du document réponse 2. \item Voir figure \ref{fig5} du document réponse 2. \item \begin{enumerate} \item À l'aide du tableau, on obtient \[Q\approx 0,0491\] \item On obtient \[\frac{Q}{k_{eff}^2}\approx 0,95\] \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% annexe IRIS %\setcounter{figure}{0} %\setcounter{table}{0} \begin{center} \textbf{Document réponse 1 de l'exercice,\\ spécialités CIRA, Électrotechnique, Génie optique, Systèmes électroniques, TPIL} \end{center} \begin{figure}[!h] \centering \caption{Courbe représentative de la fonction $f$} \label{fig1} \psset{unit=.8cm} \begin{pspicture}(-9.5,-2)(9.5,5) \def\psPi{3.1415926} \def\psPiH{1.570796327} \def\psPiQuatre{0.7853981625} \psset{trigLabels=true,xunit=\psPi,yunit=2cm} \psaxes% [% Dx=1,% Dy=1,% ysubticks=2,% xsubticks=4,% %labelsep=-0.5cm,% %xlabelPos=axis,% %ylabelPos=axis,% subticksize=1,% xticksize=-0.5 1.5,% yticksize=-3 3,% axesstyle=frame,% tickcolor=lightgray,% linecolor=black,% linewidth=1.5pt,% ]% {->}(0,0)(-3,-0.5)(3,1.5) \psclip% {\psframe[linestyle=none](-3,-1)(3,1.5)}% {% % \pscustom % Aire sous une courbe %[% % fillstyle=solid,% % fillcolor=SandyBrown,% % ]% % {% % \psplot[plotpoints=250]{}{}{}% % \psline(,)(,) % }% \psplot[plotpoints=2,linecolor=red,linewidth=2pt]{-3}{3}{1}% }% \endpsclip% \end{pspicture} \end{figure} \begin{figure}[!h] \centering \caption{Courbe représentative de la fonction $g$} \label{fig2} \psset{unit=.8cm} \begin{pspicture}(-9.5,-2)(9.5,5) \def\psPi{3.1415926} \def\psPiH{1.570796327} \def\psPiQuatre{0.7853981625} \psset{trigLabels=true,xunit=\psPi,yunit=2cm} \psaxes% [% Dx=1,% Dy=1,% ysubticks=2,% xsubticks=4,% %labelsep=-0.5cm,% %xlabelPos=axis,% %ylabelPos=axis,% subticksize=1,% xticksize=-0.5 1.5,% yticksize=-3 3,% axesstyle=frame,% tickcolor=lightgray,% linecolor=black,% linewidth=1.5pt,% ]% {->}(0,0)(-3,-0.5)(3,1.5) \psclip% {\psframe[linestyle=none](-3,-1)(3,1.5)}% {% % \pscustom % Aire sous une courbe %[% % fillstyle=solid,% % fillcolor=SandyBrown,% % ]% % {% % \psplot[plotpoints=250]{}{}{}% % \psline(,)(,) % }% \psset% {% linecolor=red,linewidth=2pt,% }% \psline[arrows=-(](-3,1)(-2,1)% \psline[arrows=*-(](-1.75,1)(0,1) \psline[arrows=*-(](0.25,1)(2,1) \psline[arrows=*](2.25,1)(3,1) \psline[arrows=*-(](-2,0)(-1.75,0) \psline[arrows=*-(](0,0)(0.25,0) \psline[arrows=*-(](2,0)(2.25,0) }% \endpsclip% \end{pspicture} \end{figure} \begin{figure}[!h] \centering \caption{Courbe représentative de la fonction $h$} \label{fig3} \psset{unit=.8cm} \begin{pspicture}(-9.5,-2)(9.5,5) \def\psPi{3.1415926} \def\psPiH{1.570796327} \def\psPiQuatre{0.7853981625} \psset{trigLabels=true,xunit=\psPi,yunit=2cm} \psaxes% [% Dx=1,% Dy=1,% ysubticks=2,% xsubticks=4,% %labelsep=-0.5cm,% %xlabelPos=axis,% %ylabelPos=axis,% subticksize=1,% xticksize=-0.5 1.5,% yticksize=-3 3,% axesstyle=frame,% tickcolor=lightgray,% linecolor=black,% linewidth=1.5pt,% ]% {->}(0,0)(-3,-0.5)(3,1.5) \psclip% {\psframe[linestyle=none](-3,-1)(3,1.5)}% {% % \pscustom % Aire sous une courbe %[% % fillstyle=solid,% % fillcolor=SandyBrown,% % ]% % {% % \psplot[plotpoints=250]{}{}{}% % \psline(,)(,) % }% \psset% {% linecolor=red,linewidth=2pt,% } \psline[arrows=-(](-3,0)(-2,0)% \psline[arrows=*-(](-1.75,0)(0,0) \psline[arrows=*-(](0.25,0)(2,0) \psline[arrows=*](2.25,0)(3,0) \psline[arrows=*-(](-2,1)(-1.75,1) \psline[arrows=*-(](0,1)(0.25,1) \psline[arrows=*-(](2,1)(2.25,1)% }% \endpsclip% \end{pspicture} \end{figure} \newpage \begin{center} \textbf{Document réponse 1 de l'exercice,\\ spécialités CIRA, Électrotechnique, Génie optique, Systèmes électroniques, TPIL} \end{center} \begin{table}[!ht] \caption{Tableau 1} \label{tab1} \medskip \begin{tabularx}{14cm}{|*{9}{>{\centering\arraybackslash $}X <{$}|}} \hline n&0&1&2&3&4&5&6&7\\ \hline A_n&0,12500&0,17227& 0,15915& 0,13863 & 0,11254& 0,08318&0,05305&0,02461\\ \hline n&8&9&10&11&12&13&14&15\\ \hline A_n&0 &0,01914 & 0,03183 & 0,03781 &0,03751 &0,03199&0,02274&0,01148\\ \hline \end{tabularx} \end{table} \begin{table}[!ht] \caption{Tableau 2} \label{tab2} \medskip \begin{tabularx}{14cm}{|*{9}{>{\centering\arraybackslash $}X <{$}|}} \hline n&0&1&2&3&4&5&6&7\\ \hline B_n& 0,12500& 0,14334 & 0,09549& 0,06200 & 0,03952 & 0,02390 & 0,01287 & 0,00516\\ \hline n&8&9&10&11&12&13&14&15\\ \hline B_n& 0,00000 & 0,00315 & 0,00472 & 0,00511 & 0,00465 & 0,00367 & 0,00242 & 0,00114\\ \hline \end{tabularx} \end{table} \begin{figure}[!h] \caption{}\label{fig4} % fichier de données \def\data {0 0.12500 1 0.17227 2 0.15915 3 0.13863 4 0.11254 5 0.08318 6 0.05305 7 0.02461 8 0 9 0.01914 10 0.03183 11 0.03781 12 0.03757 13 0.03199 14 0.02274 15 0.01148 }% % Calcul sous forme postcript % \pstScalePoints(1,1){ }{ } \centering \psset{% xAxisLabel={},% yAxisLabel={},% llx=-1cm,% lly=-1cm,% urx=1cm,% ury=1cm,% labelsep=0.6cm,% comma% } \begin{psgraph}% [% Dx=1,% Dy=0.02,% Ox=0,% Oy=0,% ysubticks=1,% xsubticks=2,% subticksize=1,% xticksize=-0.005 0,% yticksize=-.50 15.5,% axesstyle=frame,% tickcolor=gray,% ]% (0,0)(-0.5,0)(15.5,0.2){13cm}{4.5cm} \listplot[ plotstyle=bar,% barwidth=0.25cm,% fillcolor=red,% fillstyle=solid,% ]{\data} \end{psgraph} \end{figure} \begin{figure}[!h] \caption{}\label{fig5} % fichier de données \def\data { 0 0.12500 1 0.14334 2 0.09549 3 0.06200 4 0.03952 5 0.02390 6 0.01287 7 0.00516 8 0 9 0.00315 10 0.00472 11 0.00511 12 0.00465 13 0.00367 14 0.00242 15 0.00114 } % Calcul sous forme postcript % \pstScalePoints(1,1){ }{ } \centering \psset{% xAxisLabel={},% yAxisLabel={},% llx=-1cm,% lly=-1cm,% urx=1cm,% ury=1cm,% labelsep=0.6cm,% comma% } \begin{psgraph}% [% Dx=1,% Dy=0.02,% Ox=0,% Oy=0,% ysubticks=1,% xsubticks=2,% subticksize=1,% xticksize=-0.005 0,% yticksize=-.50 15.5,% axesstyle=frame,% tickcolor=gray,% ]% (0,0)(-0.5,0)(15.5,0.16){13cm}{4.5cm} \listplot[ plotstyle=bar,% barwidth=0.25cm,% fillcolor=red,% fillstyle=solid,% ]{\data} \end{psgraph} \end{figure} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Spécialité IRIS \textbf{Exercice } \begin{center} \textbf{Spécialité IRIS} \end{center} \textbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item On a \begin{align*} \B_{2,3}(t)&=\coeff{3}{2}t^2(1-t)^{3-2}\\ &=3t^2(1-t)\\ &=-3t^3+3t^2 \end{align*} \item Le point $M(t)$ est défini par : \begin{align*} \V{OM(t)}&=\B_{0,3}(t)\V{OA}+\B_{1,3}(t)\V{OS}+\B_{2,3}(t)\V{OR}+\B_{3,3}(t)\V{ OO}\\ &=(-t^3+3t^2-3t+1)\binom{4}{0}+(3t^3-6t^2+3t)\binom{12}{6}+(-3t^3+3t^2)\binom{0} {6} +t^3\binom{0}{0} \end{align*} d'où \begin{align*} x&=(-t^3+3t^2-3t+1)\times 4+ (3t^3-6t^2+3t)\times 12\\ &=32 t^3-60t^2+24t+4\\ &=f_1(t) \end{align*} et \begin{align*} y&= (3t^3-6t^2+3t)\times 6 +(-3t^3+3t^2)\times 6\\ &=-18t^2+18t\\ &=g_1(t) \end{align*} \item Voir tableau \ref{tv1} du document réponse. \item On a \begin{align*} g_1(t)&=18(-t^2+t)\\ g'_1(t)&=18(-2t+1) \end{align*} On a $g'_1(t)=0 \Longleftrightarrow t_1=\frac12$ et d'après la question précédente, on a bien un maximum pour l'ordonnée de $M(t)$. \item On a de même : \begin{align*} f_1(t)&=4\cro{8t^3-15t^2+6t+1}\\ f'_1(t)&=4\cro{24t^2-30t +6}\\ &=4\times 6\cro{4t^2-5t+1} \end{align*} On a $f'_1(t)=0 \Longleftrightarrow t_0=\frac14$ ou $t_2=1$. D'après la question 3, on a bien un maximum en $t_0=\frac14$ pour l'abscisse de $M(t)$. \item À $t=0$, le point $M(0)$ est le point $A$. Le vecteur tangent $\V{V_1(0)}$ à la courbe $\courbec_1$ au point $A$ est le vecteur dérivé pour $t=0$. On a $\V{V_1(0)}\coord{24}{18}$. On a aussi : $\V{AS}\coord{8}{6}$. D'où $\V{V_1(0)}=3\V{AS}$ : le vecteur tangent à la courbe $\courbec_1$ au point $A$ est alors le vecteur $\V{AS}$. \end{enumerate} \textbf{Partie B} \medskip \begin{enumerate} \item On veut alors $\begin{cases} f_2\pa{\frac12}=1\\ g_2\pa{\frac12}=-\frac32 \end{cases}$ d'où \begin{align*} 3(a+2)\pa{\frac12}^3-6(a+1)\pa{\frac12}^2+3a\times\frac12&=-\frac32\\ 3(a+2)-12(a+1)+12a&=-12 \\ 3a+6&=0\\ a&=-2 \end{align*} \item Pour $t=\frac12$, il faut alors tracer les milieux respectifs des différents segments pour l'algorithme de De Casteljau. \begin{itemize} \item Première étape : construction des points $g_1,\,g_2$ et $g_3$ milieux respectifs des segments $[OE],\,[EF]$ et $[FA]$ ; \item Seconde étape : construction des points $G_1$ et $G2$ milieux respectifs des segments $[g_1g_2]$ et $[g_2g_3]$ ; \item Dernière étape : construction du point $G$ milieu du segment $[G_1G_2]$. \end{itemize} Construction : voir figure \ref{bez1} du document réponse. \item Tracé de la courbe $\courbec_2$ : voir figure \ref{bez1} du document réponse. \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%% annexe IRIST \begin{center} \textbf{Document réponse de l'exercice, spécialité IRIS} \end{center} \psset% {% xunit=1.6,% yunit=1.6,% PointSymbol=+,% algebraic,% }% %\psset{unit=1.6cm} \begin{figure}[!ht] \caption{Représentation graphique des courbes de Bézier} \label{bez1} \begin{pspicture}(-2,-3)(9,6.5) %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% repère %%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \psaxes% [% Dx=1,% Dy=1,% ysubticks=5,% xsubticks=5,% subticksize=1,% tickcolor=black,% ]% {-}(0,0)(-2,-3)(8,6) \psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1](0,0)(-2,-3)(8,6) \pstGeonode[PointSymbol=none,PosAngle=-135](0,0){O} %%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%% COURBE 1 %%%%%%%%%%%%%%%%%%% \parametricplot[plotpoints=250,linecolor=red,linewidth=2pt]{0}{1}% {% 32*t^3-60*t^2+24*t+4| -18*t^2+18*t }% \rput(3.2,3.8){$\courbec_1$} %%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%% COURBE 2 %%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% Points de controle %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \pstGeonode[PosAngle=-135](0,-2){E} \pstGeonode[PosAngle=-45](1.333,-2){F} \pstGeonode[PosAngle=-45](4,0){A} \pstLineAB[linecolor=blue]{O}{E} \pstLineAB[linecolor=blue]{E}{F} \pstLineAB[linecolor=blue]{F}{A} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% algorithme de De Casteljau %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% premier niveau %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \pstMiddleAB[PosAngle=135]{O}{E}{g_1} \pstMiddleAB[PosAngle=-90]{E}{F}{g_2} \pstMiddleAB[PosAngle=-45]{F}{A}{g_3} \pstLineAB[linecolor=red]{g_1}{g_2} \pstLineAB[linecolor=red]{g_2}{g_3} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% second niveau %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \pstMiddleAB[PosAngle=-135]{g_1}{g_2}{G_1} \pstMiddleAB[PosAngle=-110]{g_2}{g_3}{G_2} \pstLineAB[linecolor=green]{G_1}{G_2} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% dernier niveau %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \pstMiddleAB[PosAngle=-135]{G_1}{G_2}{G} \parametricplot[plotpoints=250,linecolor=green,linewidth=2pt]{0}{1}% {% 4*t^2| 6*t^2-6*t }% \rput(3.5,-.7){$\courbec_2$} \end{pspicture} \end{figure} \begin{table}[!ht] \caption{Tableau des variations conjointes} \label{tv1} \begin{center} \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(7,6) \psframe(7,6)\psline(0,4)(7,4) \psline(0,4.5)(7,4.5) \psline(0,5)(7,5)\psline(0,2)(7,2) \psline(1,0)(1,6) \uput[u](0.5,5){$x$} \uput[u](1.15,5){$0$} \uput[u](3,5){$\frac{1}{4}$} \uput[u](5,5){$\frac{1}{2}$} \uput[u](6.8,5){$1$} \uput[u](0.5,4.4){$f'_{1}(t)$} \uput[u](1.2,4.5){$24$} \uput[u](2,4.5){$+$} \uput[u](3,4.5){$0$} \uput[u](4,4.5){$-$} \uput[u](5,4.5){$- 12 $} \uput[u](6,4.5){$-$} \uput[u](6.9,4.5){$0$} \uput[u](0.5,3.9){$g'_{1}(t)$} \uput[u](1.2,4){$18$} \uput[u](2,4){$+$} \uput[u](3,4){$9$} \uput[u](4,4){$+$} \uput[u](5,4){$0$} \uput[u](6,4){$-$} \uput[u](6.7,4){$- 18$} \rput(0.5,3){$f_{1}$}\rput(0.5,1){$g_{1}$} \uput[u](1.15,2){4}\uput[d](3,4){$\frac{27}{4}$}\rput(5,3){5}\uput[u](6.85,2){0} \uput[u](1.15,0){0} \uput[d](5,2){$\frac{9}{2}$}\rput(3,1){$\frac{27}{8}$} \uput[u](6.85,0){$0$} \psline{->}(1.5,2.5)(2.5,3.5) \psline{->}(3.5,3.5)(4.5,3.2) \psline{->}(5.5,2.8)(6.5,2.5) \psline{->}(1.5,0.5)(2.5,0.8) \psline{->}(3.5,1.2)(4.5,1.5) \psline{->}(5.5,1.5)(6.5,0.5) \end{pspicture} \end{center} \end{table} %\begin{table}[!ht] %\caption{Tableau des variations conjointes} %\label{tv1} %\begin{TVP*}{10} %TVP([0,1],[[],[]],["f_1","g_1"],"t",[32*x^3-60*x^2+24*x+4,-18*x^2+18*x],1,n,\tv) %\end{TVP*} %\end{table} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %% Toutes spécialités \texbf{Exercice} \begin{center} \textbf{Toutes spécialités} \end{center} \texbf{Partie A} \medskip \begin{enumerate} \item On recherche une solution particulière sous la forme d'une constante, alors on pose $y(t)=\alpha$ d'où $y'(t)=y''(t)=0$. En remplaçant dans $(2)$, il vient $0+4\alpha=20$ d'où $\alpha=5$. $y(t)=5$ est une solution particulière de $(2)$. \item \begin{itemize} \item Il faut tout d'abord résoudre l'équation homogène associée qui s'écrit \[y''(t)+4y(t)=0\] L'équation caractéristique associée est \[r^2+4=0,\] équation qui admet $r_1=2\ii$ et $r_2=-2\ii$ comme racines. La solution générale de l'équation homogène est alors \[y(t)=\lambda\cos(2t)+\mu\sin(2t)\quad\text{avec }\lambda \text{ et }\mu \text{ deux réels}\] \item La solution générale de l'équation différentielle $(2)$ s'obtient en ajoutant la solution générale de l'équation homogène avec une solution particulière. On obtient alors la solution générale sous la forme : \[y(t)=\lambda\cos(2t)+\mu\sin(2t)+5 \quad\text{avec }\lambda \text{ et }\mu \text{ deux réels}\] \end{itemize} \item La fonction $f$ cherchée est de la forme \[f(t)=\lambda\cos(2t)+\mu\sin(2t)+5\] \begin{itemize} \item On veut $f(0)=0$ d'où $\lambda+5=0$ c'est à dire $\lambda=-5$. D'où $f(t)=-5\cos(2t)+\mu\sin(2t)+5$. \item On obtient alors $f'(t)=10\sin(2t)+2\mu\cos(2t)$. Or, on veut $f'(0)=0$ d'où $2\mu=0$ c'est à dire $\mu=0$. \end{itemize} On a alors \[f(t) =5 \pa{1-\cos(2t)}\] \end{enumerate} \textbf{Partie B} \medskip \begin{enumerate} \item À l'aide de la table des transformées, on obtient directement : \begin{align*} E(p)&=8\cro{\frac{1}{p^2}-\frac{1}{p^2}\e^{-p\tau}}\\ &=\frac{8}{p^2}\pa{1-\e^{-p\tau}} \end{align*} \item On a \begin{align*} \laplace{g''(t)}&=p^2 G(p)-pg(0)-g'(0)\\ &=p^2 G(p) \text{ car } g(0)=0\text{ et } g'(0)=0 \end{align*} d’où, en prenant la transformée de Laplace de l’équation différentielle, \begin{align*} p^2G(p)+4G(p)&=E(p)\\ (p^2+4)G(p)&=E(p)\\ G(p)&=\frac{E(p)}{p^2+4}\\ G(p)&=\frac{8}{p^2(p^2+4)}\pa{1-\e^{-p\tau}} \end{align*} \item On a, en réduisant au même dénominateur : \begin{align*} \frac{A}{p^2}+\frac{B}{p^2+4}&=\frac{A(p^2+4)+Bp^2}{p^2(p^2+4)}\\ &=\frac{(A+B)p^2+4a}{p^2(p^2+4)} \end{align*} Par identification avec la relation demandée, on obtient le système \[\begin{cases} A+B=0\\ 4A=8 \end{cases}\] d'où $A=2$ et $B=-2$. On a alors \[\frac{8}{p^2(p^2+4)}=\frac{2}{p^2}-\frac{2}{p^2+4}\] \item On a \[\invlaplace{\frac{1}{p^2}}=t\U(t)\] et \[\invlaplace{\frac{2}{p^2+4}}=\sin(2t)\U(t)\] alors, \[\invlaplace{\frac{8}{p^2(p^2+4)}}=\pa{2t-\sin(2t)}\U(t)\] \item Avec les notations de l'énoncé, on obtient : \[\invlaplace{\frac{8}{p^2(p^2+4)}}=g_0(t)\] On a $G(p)=\frac{8}{p^2(p^2+4)}-\frac{8\e^{-p\tau}}{p^2(p^2+4)}$ d'où \[g(t)=g_0(t)-g_0(t-\tau)\] \item Pour $t\geq \tau$, on a $\begin{cases} \U(t)=1\\ \U(t-\tau)=1 \end{cases}$ d'où \begin{align*} g(t)&=2t-\sin(2t)-\cro{2(t-\tau)-\sin\pa{2(t-\tau)}}\\ &=2\tau-\sin(2t)+\sin(2t-2\tau) \end{align*} \item \begin{enumerate} \item Pour $\tau=\pi$ et $t\geq \tau$, on a \begin{align*} g(t)&=2\pi-\sin(2t)+\sin(2t-2\pi)\quad\text{ or }\sin(2t-2\pi)=\sin(2t)\\ &=2\pi-\sin(2t)+\sin(2t)\\ &=2\pi \end{align*} \item courbe : voir figure \ref{fig_ex2} du document réponse 2. \end{enumerate} \end{enumerate} %%%%%%%%%%%%%%% anexe toutes spécialités \begin{center} \textbf{Document réponse 2 de l'exercice 2,\\ toutes spécialités} \end{center} \begin{figure}[!ht] \centering \caption{Courbes représentatives des fonctions $e$ et $g$} \label{fig_ex2} \centering \psset{unit=1cm,algebraic} \begin{pspicture}(-4,-4)(10,13) \def\psPi{3.1415926} \psset{trigLabels=true,xunit=\psPi,yunit=1cm} \psaxes[ labels=x,% xsubticks=1, subticksize=1,% xticksize=-3 12,% yticksize=-1.1 3.1,% axesstyle=frame,% tickcolor=lightgray,% linecolor=black,% linewidth=1.5pt, ]{-}(0,0)(-1.1,-3)(3.1,12) \psline[linecolor=red,linewidth=2pt](-1.1,0)(0,0)(1,8)(3.1,8) \multido{\i=2+1}{10} { \pstGeonode[PosAngle=-180,PointSymbol=+,PointName=\i\pi](0,\i){alpha} } \pstGeonode[PosAngle=-180,PointSymbol=+,PointName={-2\pi,-\pi,\pi}](0,-2){pi2}(0 , -1) { pi1 } (0 , 1) { pi } \pstGeonode[PosAngle=-135,PointSymbol=none](0,0){0} \psplot[linecolor=blue,linewidth=2pt]{0}{1}{(2*x*\psPi-sin(2*x*\psPi))/\psPi} \psline[linecolor=blue,linewidth=2pt](-1.1,0)(0,0) \psline[linecolor=blue,linewidth=2pt](1,2)(3.1,2) \rput(2.5,2.5){$y=g(t)$} \rput(2.5,8.5){$y=e(t)$} \end{pspicture} \end{figure} \end{document}