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%Tapuscrit : Denis Vergès
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{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{A. P. M. E. P.}
\rhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Groupe A1}}
\rfoot{\small{12 mai 2010}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du brevet de technicien supérieur~\decofourright\\Métropole - session 2010 - groupement A1 \& A2}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1}

\begin{center}
\textbf{Spécialités CIRA, Électrotechnique, Génie optique, Systèmes
électroniques, TPIL}
\end{center}


\textbf{Partie A}
\begin{enumerate}
\item Voir figure \ref{fig3} du document réponse 1.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On a
\begin{align*}
 a_0&=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} f(t)\dd t\\
&=\frac{1}{2\pi}\int_0^\tau 1 \dd t\\
&=\frac{1}{2\pi}\cro{t}_0^\tau\\
&=\frac{\tau}{2\pi}
\end{align*}
		\item On a, pour $n\geq 1$ :
\begin{align*}
\int_0^\tau\cos(nt)\dd t&=\cro{\frac{\sin(nt)}{n}}_0^\tau\\
&=\frac1n\sin(n\tau)
\end{align*}
et
\begin{align*}
 a_n&=\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi} f(t)\cos(nt)\dd t\\
&=\frac{1}{\pi}\int_0^\tau \cos(nt)\dd t\\
&=\frac{1}{n\pi}\sin(n\tau)
\end{align*}
		\item On a aussi, pour $n\geq 1$ :
\begin{align*}
 b_n&=\frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi} f(t)\sin(nt)\dd t\\
&=\frac{1}{\pi}\int_0^\tau \sin(nt)\dd t\\
&=\frac{1}{\pi}\cro{-\frac{\cos(nt)}{n}}_0^\tau\\
&=\frac{1}{n\pi}\pa{1-\cos(n\tau)}
\end{align*}
	\end{enumerate}
\item À l'aide de la question précédente, on a :
\[A_0=a_0=\frac{\tau}{2\pi}\]
et pour $n\geq 1$,
\begin{align*}
 a_n^2+b_n^2&=\cro{\frac{1}{n\pi}\sin(n\tau)}^2+\cro{\frac{1}{n\pi}\pa{
1-\cos(n\tau)}}^2\\
&=\cro{\frac{1}{n\pi}}^2\times\cro{\sin^2(n\tau)+1-2\cos(n\tau)+\cos^2(n\tau)}\\
&=\cro{\frac{1}{n\pi}}^2\times 2\times \cro{1-\cos(n\tau)}
\end{align*}
d'où

\[\frac{a_n^2+b_n^2}{2}=\cro{\frac{1}{n\pi}}^2\times  \cro{1-\cos(n\tau)}\]

alors

\[\text{pour }n\geq 1,\,A_n=\frac{1}{n\pi}\sqrt{1-\cos(n\tau)}\]

\item Voir tableau \ref{tab1} du document réponse 2.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On a
\begin{align*}
 h_{eff}^2&=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\cro{h(t)}^2\dd t\\
&=\frac{1}{2\pi}\int_0^\tau 1^2 \dd t\\
&=\frac{1}{2\pi}\cro{t}_0^\tau \\
&=\frac{\tau}{2\pi}\\
&=\frac18
\end{align*}
		\item À l'aide du tableau, on obtient

\[P\approx 0,0898\]

		\item De même,

\[\frac{P}{h_{eff}^2}\approx 0,72\]

	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On a
\begin{align*}
 r(\omega)&=\abs{H(\jj \omega)}\\
&=\abs{\frac{3}{3+2\jj\omega}}\\
&=\frac{3}{\abs{3+2\jj\omega}}\\
&=\frac{3}{\sqrt{9+4\omega^2}}
\end{align*}
\item Voir tableau \ref{tab2} du document réponse 2.
\item Voir figure \ref{fig5} du document réponse 2.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide du tableau, on obtient
\[Q\approx 0,0491\]
		\item On obtient
\[\frac{Q}{k_{eff}^2}\approx 0,95\]
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% annexe IRIS
%\setcounter{figure}{0}
%\setcounter{table}{0}

\begin{center}
  \textbf{Document réponse 1 de l'exercice,\\
spécialités CIRA, Électrotechnique,
Génie optique, Systèmes électroniques, TPIL}
\end{center}

\begin{figure}[!h]
\centering
\caption{Courbe représentative de la fonction $f$}
\label{fig1}
\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(-9.5,-2)(9.5,5) 
  \def\psPi{3.1415926}
  \def\psPiH{1.570796327} 
  \def\psPiQuatre{0.7853981625}
  \psset{trigLabels=true,xunit=\psPi,yunit=2cm} 
  \psaxes%
  [%
  Dx=1,%
  Dy=1,%
  ysubticks=2,%
  xsubticks=4,%
  %labelsep=-0.5cm,%
  %xlabelPos=axis,%
  %ylabelPos=axis,%
  subticksize=1,%
  xticksize=-0.5 1.5,%
  yticksize=-3 3,%
  axesstyle=frame,%
  tickcolor=lightgray,%
  linecolor=black,%
  linewidth=1.5pt,%
   ]%
  {->}(0,0)(-3,-0.5)(3,1.5)
  \psclip%
  {\psframe[linestyle=none](-3,-1)(3,1.5)}%
  {%
    % \pscustom
    % Aire sous une courbe 
    %[%
    % fillstyle=solid,%
    % fillcolor=SandyBrown,%
    % ]%
    % {%
    % \psplot[plotpoints=250]{}{}{}%
    % \psline(,)(,)
    % }%
    \psplot[plotpoints=2,linecolor=red,linewidth=2pt]{-3}{3}{1}%
  }%
  \endpsclip%
 \end{pspicture}
\end{figure} 

\begin{figure}[!h]
\centering
\caption{Courbe représentative de la fonction $g$}
\label{fig2}
\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(-9.5,-2)(9.5,5) 
  \def\psPi{3.1415926}
  \def\psPiH{1.570796327} 
  \def\psPiQuatre{0.7853981625}
  \psset{trigLabels=true,xunit=\psPi,yunit=2cm} 
  \psaxes%
  [%
  Dx=1,%
  Dy=1,%
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  xsubticks=4,%
  %labelsep=-0.5cm,%
  %xlabelPos=axis,%
  %ylabelPos=axis,%
  subticksize=1,%
  xticksize=-0.5 1.5,%
  yticksize=-3 3,%
  axesstyle=frame,%
  tickcolor=lightgray,%
  linecolor=black,%
  linewidth=1.5pt,%
   ]%
  {->}(0,0)(-3,-0.5)(3,1.5)
  \psclip%
  {\psframe[linestyle=none](-3,-1)(3,1.5)}%
  {%
    % \pscustom
    % Aire sous une courbe 
    %[%
    % fillstyle=solid,%
    % fillcolor=SandyBrown,%
    % ]%
    % {%
    % \psplot[plotpoints=250]{}{}{}%
    % \psline(,)(,)
    % }%
    \psset%
    {%
   linecolor=red,linewidth=2pt,%
    }% 
    \psline[arrows=-(](-3,1)(-2,1)%
    \psline[arrows=*-(](-1.75,1)(0,1)
    \psline[arrows=*-(](0.25,1)(2,1)
    \psline[arrows=*](2.25,1)(3,1) 
    \psline[arrows=*-(](-2,0)(-1.75,0)
     \psline[arrows=*-(](0,0)(0.25,0)
     \psline[arrows=*-(](2,0)(2.25,0)
  }%
  \endpsclip%
 \end{pspicture}
\end{figure} 

\begin{figure}[!h]
\centering
\caption{Courbe représentative de la fonction $h$}
\label{fig3}
\psset{unit=.8cm}
\begin{pspicture}(-9.5,-2)(9.5,5) 
  \def\psPi{3.1415926}
  \def\psPiH{1.570796327} 
  \def\psPiQuatre{0.7853981625}
  \psset{trigLabels=true,xunit=\psPi,yunit=2cm} 
  \psaxes%
  [%
  Dx=1,%
  Dy=1,%
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  xsubticks=4,%
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  axesstyle=frame,%
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   ]%
  {->}(0,0)(-3,-0.5)(3,1.5)
  \psclip%
  {\psframe[linestyle=none](-3,-1)(3,1.5)}%
  {%
    % \pscustom
    % Aire sous une courbe 
    %[%
    % fillstyle=solid,%
    % fillcolor=SandyBrown,%
    % ]%
    % {%
    % \psplot[plotpoints=250]{}{}{}%
    % \psline(,)(,)
    % }%
    \psset%
    {%
   linecolor=red,linewidth=2pt,%
    }
    \psline[arrows=-(](-3,0)(-2,0)%
    \psline[arrows=*-(](-1.75,0)(0,0)
    \psline[arrows=*-(](0.25,0)(2,0)
    \psline[arrows=*](2.25,0)(3,0) 
    \psline[arrows=*-(](-2,1)(-1.75,1)
     \psline[arrows=*-(](0,1)(0.25,1)
     \psline[arrows=*-(](2,1)(2.25,1)% 
  }%
  \endpsclip%
\end{pspicture}
\end{figure}

\newpage

\begin{center}
  \textbf{Document réponse 1 de l'exercice,\\
spécialités CIRA, Électrotechnique,
Génie optique, Systèmes électroniques, TPIL}
\end{center}

\begin{table}[!ht]
\caption{Tableau 1}
\label{tab1}
\medskip

\begin{tabularx}{14cm}{|*{9}{>{\centering\arraybackslash $}X <{$}|}}
\hline
n&0&1&2&3&4&5&6&7\\
\hline
A_n&0,12500&0,17227& 0,15915& 0,13863 & 0,11254& 0,08318&0,05305&0,02461\\
\hline
n&8&9&10&11&12&13&14&15\\
\hline
A_n&0 &0,01914 & 0,03183 & 0,03781 &0,03751 &0,03199&0,02274&0,01148\\
\hline
\end{tabularx}
\end{table}

\begin{table}[!ht]
\caption{Tableau 2}
\label{tab2}
\medskip

\begin{tabularx}{14cm}{|*{9}{>{\centering\arraybackslash $}X <{$}|}}
\hline
n&0&1&2&3&4&5&6&7\\
\hline
B_n& 0,12500& 0,14334 & 0,09549& 0,06200 & 0,03952 & 0,02390 & 0,01287 &
0,00516\\
\hline
n&8&9&10&11&12&13&14&15\\
\hline
B_n& 0,00000 & 0,00315 & 0,00472 & 0,00511 & 0,00465 & 0,00367 & 0,00242 &
0,00114\\
\hline
\end{tabularx}
\end{table}

\begin{figure}[!h]
    \caption{}\label{fig4}
    % fichier de données
    \def\data
{0 0.12500
1 0.17227
2 0.15915
3 0.13863
4 0.11254
5 0.08318
6 0.05305
7 0.02461
8 0
9 0.01914
10 0.03183
11 0.03781
12 0.03757
13 0.03199
14 0.02274
15 0.01148
}%
% Calcul sous forme postcript
% \pstScalePoints(1,1){ }{ } 
\centering 
\psset{%
xAxisLabel={},%
yAxisLabel={},%
llx=-1cm,%
lly=-1cm,%
urx=1cm,%
ury=1cm,%
labelsep=0.6cm,%
comma%
}
\begin{psgraph}%
[%
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Ox=0,%
Oy=0,%
ysubticks=1,%
xsubticks=2,%
subticksize=1,%
xticksize=-0.005 0,%
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axesstyle=frame,%
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]%
(0,0)(-0.5,0)(15.5,0.2){13cm}{4.5cm} 
\listplot[
plotstyle=bar,%
barwidth=0.25cm,%
fillcolor=red,%
fillstyle=solid,%
]{\data}
\end{psgraph}
\end{figure}

\begin{figure}[!h]
\caption{}\label{fig5}
% fichier de données
\def\data
{
0 0.12500
1 0.14334
2 0.09549
3 0.06200
4 0.03952
5 0.02390
6 0.01287
7 0.00516
8 0
9 0.00315
10 0.00472
11 0.00511
12 0.00465
13 0.00367
14 0.00242
15 0.00114
}
% Calcul sous forme postcript
% \pstScalePoints(1,1){ }{ } 
\centering 
\psset{%
xAxisLabel={},%
yAxisLabel={},%
llx=-1cm,%
lly=-1cm,%
urx=1cm,%
ury=1cm,%
labelsep=0.6cm,%
comma%
}
\begin{psgraph}%
[%
Dx=1,%
Dy=0.02,%
Ox=0,%
Oy=0,%
ysubticks=1,%
xsubticks=2,%
subticksize=1,%
xticksize=-0.005 0,%
yticksize=-.50 15.5,%
axesstyle=frame,%
tickcolor=gray,%
]%
(0,0)(-0.5,0)(15.5,0.16){13cm}{4.5cm} 
\listplot[
plotstyle=bar,%
barwidth=0.25cm,%
fillcolor=red,%
fillstyle=solid,%
]{\data}
\end{psgraph}
\end{figure}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Spécialité IRIS

\textbf{Exercice }

\begin{center}
\textbf{Spécialité IRIS}
\end{center}

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On a
\begin{align*}
 \B_{2,3}(t)&=\coeff{3}{2}t^2(1-t)^{3-2}\\
&=3t^2(1-t)\\
&=-3t^3+3t^2
\end{align*}
\item Le point $M(t)$ est défini par :
\begin{align*}
 \V{OM(t)}&=\B_{0,3}(t)\V{OA}+\B_{1,3}(t)\V{OS}+\B_{2,3}(t)\V{OR}+\B_{3,3}(t)\V{
OO}\\
&=(-t^3+3t^2-3t+1)\binom{4}{0}+(3t^3-6t^2+3t)\binom{12}{6}+(-3t^3+3t^2)\binom{0}
{6} +t^3\binom{0}{0}
\end{align*}
d'où

\begin{align*}
 x&=(-t^3+3t^2-3t+1)\times 4+ (3t^3-6t^2+3t)\times 12\\
&=32 t^3-60t^2+24t+4\\
&=f_1(t)
\end{align*}
et
\begin{align*}
 y&= (3t^3-6t^2+3t)\times 6 +(-3t^3+3t^2)\times 6\\
&=-18t^2+18t\\
&=g_1(t)
\end{align*}
\item Voir tableau \ref{tv1} du document réponse.
\item On a 
\begin{align*}
 g_1(t)&=18(-t^2+t)\\
g'_1(t)&=18(-2t+1)
\end{align*}
 On a $g'_1(t)=0 \Longleftrightarrow t_1=\frac12$ et d'après la question
précédente, on a bien un maximum pour l'ordonnée de $M(t)$.
\item On a de même : 
\begin{align*}
 f_1(t)&=4\cro{8t^3-15t^2+6t+1}\\
f'_1(t)&=4\cro{24t^2-30t +6}\\
&=4\times 6\cro{4t^2-5t+1}
\end{align*}
 On a $f'_1(t)=0 \Longleftrightarrow t_0=\frac14$ ou $t_2=1$. D'après la
question 3, on a bien un maximum en $t_0=\frac14$ pour l'abscisse de
$M(t)$.
\item À $t=0$, le point $M(0)$ est le point $A$.

Le vecteur tangent $\V{V_1(0)}$ à la courbe $\courbec_1$ au point $A$ est le
vecteur dérivé pour $t=0$. 

On a $\V{V_1(0)}\coord{24}{18}$. 

On a aussi : $\V{AS}\coord{8}{6}$.

D'où $\V{V_1(0)}=3\V{AS}$ : le vecteur tangent à la courbe $\courbec_1$ au point
$A$ est alors le vecteur $\V{AS}$.
\end{enumerate}

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On veut alors 
$\begin{cases}
f_2\pa{\frac12}=1\\
g_2\pa{\frac12}=-\frac32
\end{cases}$
d'où
\begin{align*}
 3(a+2)\pa{\frac12}^3-6(a+1)\pa{\frac12}^2+3a\times\frac12&=-\frac32\\
3(a+2)-12(a+1)+12a&=-12 \\
3a+6&=0\\
a&=-2
\end{align*}
\item Pour $t=\frac12$, il faut alors tracer les milieux respectifs des
différents segments pour l'algorithme de De Casteljau.

\begin{itemize}
\item  Première étape : construction des points $g_1,\,g_2$ et $g_3$ milieux
respectifs des segments $[OE],\,[EF]$ et $[FA]$ ;
\item Seconde étape : construction des points $G_1$ et $G2$ milieux
respectifs des segments $[g_1g_2]$ et $[g_2g_3]$ ;
\item Dernière étape : construction du point $G$ milieu du segment $[G_1G_2]$.
\end{itemize}

Construction : voir figure \ref{bez1} du document réponse.
\item Tracé de la courbe $\courbec_2$ : voir figure \ref{bez1} du document
réponse.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%  annexe IRIST

\begin{center}
  \textbf{Document réponse de l'exercice, spécialité IRIS}
\end{center}

\psset%
{%
xunit=1.6,%
yunit=1.6,%
PointSymbol=+,%
algebraic,%
}% 

%\psset{unit=1.6cm}
\begin{figure}[!ht]
\caption{Représentation graphique des courbes de Bézier}
\label{bez1}
\begin{pspicture}(-2,-3)(9,6.5)
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%        repère       %%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\psaxes%
[%
Dx=1,%
Dy=1,%
ysubticks=5,%
xsubticks=5,%
subticksize=1,%
tickcolor=black,%
]%
{-}(0,0)(-2,-3)(8,6)
	
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1](0,0)(-2,-3)(8,6)
\pstGeonode[PointSymbol=none,PosAngle=-135](0,0){O}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%% COURBE 1
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\parametricplot[plotpoints=250,linecolor=red,linewidth=2pt]{0}{1}%
{%
32*t^3-60*t^2+24*t+4|
-18*t^2+18*t
}%
\rput(3.2,3.8){$\courbec_1$}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%% COURBE 2
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%  Points de controle
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\pstGeonode[PosAngle=-135](0,-2){E}
\pstGeonode[PosAngle=-45](1.333,-2){F}
\pstGeonode[PosAngle=-45](4,0){A}

\pstLineAB[linecolor=blue]{O}{E}
\pstLineAB[linecolor=blue]{E}{F}
\pstLineAB[linecolor=blue]{F}{A}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% algorithme de De Casteljau
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%  premier niveau 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\pstMiddleAB[PosAngle=135]{O}{E}{g_1}
\pstMiddleAB[PosAngle=-90]{E}{F}{g_2}
\pstMiddleAB[PosAngle=-45]{F}{A}{g_3}

\pstLineAB[linecolor=red]{g_1}{g_2}
\pstLineAB[linecolor=red]{g_2}{g_3}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%  second niveau 
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\pstMiddleAB[PosAngle=-135]{g_1}{g_2}{G_1}
\pstMiddleAB[PosAngle=-110]{g_2}{g_3}{G_2}

\pstLineAB[linecolor=green]{G_1}{G_2}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% dernier niveau
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\pstMiddleAB[PosAngle=-135]{G_1}{G_2}{G}
\parametricplot[plotpoints=250,linecolor=green,linewidth=2pt]{0}{1}%
{%
4*t^2|
6*t^2-6*t
}%

\rput(3.5,-.7){$\courbec_2$}
\end{pspicture}
\end{figure}

\begin{table}[!ht]
\caption{Tableau des variations conjointes}
\label{tv1}
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,6)
\psframe(7,6)\psline(0,4)(7,4)
\psline(0,4.5)(7,4.5)
\psline(0,5)(7,5)\psline(0,2)(7,2)
\psline(1,0)(1,6)
\uput[u](0.5,5){$x$} \uput[u](1.15,5){$0$} \uput[u](3,5){$\frac{1}{4}$} \uput[u](5,5){$\frac{1}{2}$} \uput[u](6.8,5){$1$} 
\uput[u](0.5,4.4){$f'_{1}(t)$} \uput[u](1.2,4.5){$24$} \uput[u](2,4.5){$+$} \uput[u](3,4.5){$0$} 
\uput[u](4,4.5){$-$} \uput[u](5,4.5){$- 12 $} \uput[u](6,4.5){$-$} \uput[u](6.9,4.5){$0$} 
\uput[u](0.5,3.9){$g'_{1}(t)$}   \uput[u](1.2,4){$18$}   \uput[u](2,4){$+$}   \uput[u](3,4){$9$}   
\uput[u](4,4){$+$}   \uput[u](5,4){$0$}   \uput[u](6,4){$-$}   \uput[u](6.7,4){$- 18$}
\rput(0.5,3){$f_{1}$}\rput(0.5,1){$g_{1}$}
\uput[u](1.15,2){4}\uput[d](3,4){$\frac{27}{4}$}\rput(5,3){5}\uput[u](6.85,2){0}
\uput[u](1.15,0){0} \uput[d](5,2){$\frac{9}{2}$}\rput(3,1){$\frac{27}{8}$}
\uput[u](6.85,0){$0$}
\psline{->}(1.5,2.5)(2.5,3.5) \psline{->}(3.5,3.5)(4.5,3.2) \psline{->}(5.5,2.8)(6.5,2.5) 
\psline{->}(1.5,0.5)(2.5,0.8) \psline{->}(3.5,1.2)(4.5,1.5) \psline{->}(5.5,1.5)(6.5,0.5)    
\end{pspicture}
\end{center}
\end{table}

%\begin{table}[!ht]
%\caption{Tableau des variations conjointes}
%\label{tv1}
%\begin{TVP*}{10}
%TVP([0,1],[[],[]],["f_1","g_1"],"t",[32*x^3-60*x^2+24*x+4,-18*x^2+18*x],1,n,\tv)
%\end{TVP*}
%\end{table}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%  Toutes spécialités
\texbf{Exercice} 

\begin{center}
\textbf{Toutes spécialités}
\end{center}

\texbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On recherche une solution particulière sous la forme d'une constante,
alors on pose $y(t)=\alpha$ d'où $y'(t)=y''(t)=0$. 

En remplaçant dans $(2)$, il vient $0+4\alpha=20$ d'où $\alpha=5$.

$y(t)=5$ est une solution particulière de $(2)$.
\item 
\begin{itemize}
\item Il faut tout d'abord résoudre l'équation homogène associée qui s'écrit
\[y''(t)+4y(t)=0\]

L'équation caractéristique associée est
\[r^2+4=0,\]
équation qui admet $r_1=2\ii$ et $r_2=-2\ii$ comme racines.

La solution générale de l'équation homogène est alors
\[y(t)=\lambda\cos(2t)+\mu\sin(2t)\quad\text{avec }\lambda \text{ et }\mu
\text{ deux réels}\]
\item La solution générale de l'équation différentielle $(2)$ s'obtient en
ajoutant la solution générale de l'équation homogène avec une solution
particulière. 

On obtient alors la solution générale sous la forme : 
\[y(t)=\lambda\cos(2t)+\mu\sin(2t)+5 \quad\text{avec }\lambda \text{ et }\mu
\text{ deux réels}\]
\end{itemize}
\item La fonction $f$ cherchée est de la forme 
\[f(t)=\lambda\cos(2t)+\mu\sin(2t)+5\]
\begin{itemize}
\item On veut $f(0)=0$ d'où $\lambda+5=0$ c'est à dire $\lambda=-5$. 

D'où $f(t)=-5\cos(2t)+\mu\sin(2t)+5$.
\item On obtient alors $f'(t)=10\sin(2t)+2\mu\cos(2t)$.

Or, on veut $f'(0)=0$ d'où $2\mu=0$ c'est à dire $\mu=0$.
\end{itemize}
On a alors

\[f(t) =5 \pa{1-\cos(2t)}\]
\end{enumerate}

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item À l'aide de la table des transformées, on obtient directement :
\begin{align*}
 E(p)&=8\cro{\frac{1}{p^2}-\frac{1}{p^2}\e^{-p\tau}}\\
&=\frac{8}{p^2}\pa{1-\e^{-p\tau}}
\end{align*}
\item On a 
\begin{align*}
\laplace{g''(t)}&=p^2 G(p)-pg(0)-g'(0)\\
&=p^2 G(p) \text{ car } g(0)=0\text{ et } g'(0)=0
\end{align*}
d’où, en prenant la transformée de Laplace de l’équation différentielle,
\begin{align*}
p^2G(p)+4G(p)&=E(p)\\
(p^2+4)G(p)&=E(p)\\
G(p)&=\frac{E(p)}{p^2+4}\\
G(p)&=\frac{8}{p^2(p^2+4)}\pa{1-\e^{-p\tau}}
\end{align*}
\item On a, en réduisant au même dénominateur :
\begin{align*}
\frac{A}{p^2}+\frac{B}{p^2+4}&=\frac{A(p^2+4)+Bp^2}{p^2(p^2+4)}\\
&=\frac{(A+B)p^2+4a}{p^2(p^2+4)}
\end{align*}
Par identification avec la relation demandée, on obtient le système
\[\begin{cases}
A+B=0\\
4A=8
\end{cases}\]

d'où $A=2$ et $B=-2$.

On a alors 

\[\frac{8}{p^2(p^2+4)}=\frac{2}{p^2}-\frac{2}{p^2+4}\]
\item On a 

\[\invlaplace{\frac{1}{p^2}}=t\U(t)\]
 et

\[\invlaplace{\frac{2}{p^2+4}}=\sin(2t)\U(t)\]
 alors, 

\[\invlaplace{\frac{8}{p^2(p^2+4)}}=\pa{2t-\sin(2t)}\U(t)\]
\item Avec les notations de l'énoncé, on obtient :

\[\invlaplace{\frac{8}{p^2(p^2+4)}}=g_0(t)\]

On a $G(p)=\frac{8}{p^2(p^2+4)}-\frac{8\e^{-p\tau}}{p^2(p^2+4)}$ d'où

\[g(t)=g_0(t)-g_0(t-\tau)\]
\item  Pour $t\geq \tau$, on a
$\begin{cases}
  \U(t)=1\\
\U(t-\tau)=1
 \end{cases}$ d'où

\begin{align*}
g(t)&=2t-\sin(2t)-\cro{2(t-\tau)-\sin\pa{2(t-\tau)}}\\
&=2\tau-\sin(2t)+\sin(2t-2\tau)
\end{align*}
\item 

	\begin{enumerate}
		\item Pour $\tau=\pi$ et $t\geq \tau$, on a 
\begin{align*}
 g(t)&=2\pi-\sin(2t)+\sin(2t-2\pi)\quad\text{ or }\sin(2t-2\pi)=\sin(2t)\\
&=2\pi-\sin(2t)+\sin(2t)\\
&=2\pi
\end{align*}
		\item courbe : voir figure \ref{fig_ex2} du document réponse 2.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%   anexe toutes spécialités

\begin{center}
  \textbf{Document réponse 2 de l'exercice 2,\\
toutes spécialités}
\end{center}

\begin{figure}[!ht]
\centering
\caption{Courbes représentatives des fonctions $e$ et $g$}
\label{fig_ex2}

\centering
\psset{unit=1cm,algebraic}
\begin{pspicture}(-4,-4)(10,13)
\def\psPi{3.1415926}
\psset{trigLabels=true,xunit=\psPi,yunit=1cm}
 \psaxes[
 labels=x,%
 xsubticks=1,
 subticksize=1,%
 xticksize=-3 12,%
 yticksize=-1.1 3.1,%
 axesstyle=frame,%
 tickcolor=lightgray,%
 linecolor=black,%
 linewidth=1.5pt,
   ]{-}(0,0)(-1.1,-3)(3.1,12)
\psline[linecolor=red,linewidth=2pt](-1.1,0)(0,0)(1,8)(3.1,8)
\multido{\i=2+1}{10}
	{
	\pstGeonode[PosAngle=-180,PointSymbol=+,PointName=\i\pi](0,\i){alpha}
	}
\pstGeonode[PosAngle=-180,PointSymbol=+,PointName={-2\pi,-\pi,\pi}](0,-2){pi2}(0
, -1) { pi1 } (0 , 1) { pi }
\pstGeonode[PosAngle=-135,PointSymbol=none](0,0){0}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=2pt]{0}{1}{(2*x*\psPi-sin(2*x*\psPi))/\psPi}
\psline[linecolor=blue,linewidth=2pt](-1.1,0)(0,0)
\psline[linecolor=blue,linewidth=2pt](1,2)(3.1,2)
\rput(2.5,2.5){$y=g(t)$}
\rput(2.5,8.5){$y=e(t)$}
\end{pspicture}
\end{figure}
\end{document}