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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur }
\lfoot{\small{Groupement D}}
\rfoot{\small{16 mai 2022}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~BTS Groupement D2\footnote{Métiers de l'eau} -- 16 mai 2022~\decofourright\\[6pt]Métropole -- Antilles--Guyane -- Polynésie}

\medskip

Durée : 2 heures

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{EXERCICE 1 \hfill 10 points}

\medskip

On s'intéresse dans cet exercice à l'évolution, dans un  pays de 60 millions d'habitants, du nombre de personnes équipées d'un certain implant médical. On exploitera deux modèles distincts.

\medskip

\begin{center}\textbf{Les parties A et B peuvent être traitées de manière indépendante}\end{center}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Le tableau ci-dessous indique le nombre de personnes de ce pays équipées de l'implant médical depuis 2013.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.75cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année &2013 &2014 &2015 &2016 &2017 &2018 &2019 &2020 &2021\\ \hline
Rang de l'année $k_i$& 0 &1& 2 &3 &4 &5 &6 &7 &8\\ \hline
\small Nombre de personnes
$N_i$ (en milliers) équipées de l'implant&56,25 &58,1 &60,5 &63 &65,8 &68,7 &72 &75,5 &79,3\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

On décide de modéliser cette évolution par une fonction exponentielle et pour cela on effectue le
changement de variable $y = \ln (N - 30)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Compléter le tableau donné en \textbf{annexe à rendre avec la copie}. On arrondira les valeurs au
millième.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d'ajustement du nuage de points $M_i\left(k_i~;~Y_i\right)$ par la méthode des moindres carrés. 
		
On écrira cette équation sous la forme
$y = ak + b$ où $a$ et $b$ sont des coefficients que l'on arrondira au centième.
		\item En utilisant cette équation de droite, déduire que le nombre de personnes (en milliers) équipées de l'implant médical dans ce pays, en fonction du rang $k$, peut être modélisé par la fonction $N$ d'expression :
\[N(k) = 30 + 26,05\text{e}^{0,08k}.\]
	\end{enumerate}
\item On formule l'hypothèse que le modèle proposé reste valide plusieurs années encore.
	\begin{enumerate}
		\item Quel devrait être le nombre de personnes, au millier près, équipées de l'implant médical dans ce pays en 2026 ?
		\item Si on suppose que le nombre d'habitants du pays reste stable sur le long terme, le modèle étudié reste-t-il valide sur le long terme ? Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par: 
\[f(t) = \dfrac{450}{1 + 7\text{e}^{-0,05t}}.\]

On admet que cette fonction permet de modéliser l'évolution du nombre de personnes équipées l'implant médical dans ce pays.

Plus précisément, $f(t)$ représente le nombre de personnes, exprimé en milliers, équipées de l'implant médical dans ce pays, en fonction du temps $t$ mesuré en années depuis 2013.

Par exemple, $f(1)$ représente le nombre de personnes équipées de l'implant médical en 2014.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer, selon ce modèle, combien de personnes, au millier près, seront équipées de l'implant médical en 2026.
\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
\item À l'aide d'un logiciel de calcul formel, on a obtenu l'expression suivante :

\[f'(t) = \dfrac{315\text{e}^{-0,05t}}{2\left(1 + 7\text{e}^{-0,05t}\right)^2}\]

	\begin{enumerate}
		\item En déduire le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
		\item Interpréter le sens de variation de la fonction $f$ dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\item Déterminer à partir de quelle année le nombre de personnes de ce pays équipées de cet implant
médical dépassera \np{120000}, c'est-à-dire $120$~milliers. 

On expliquera la méthode employée.
\item Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par $g(t) = \dfrac{450}{1 + 21\text{e}^{-0,1t}}$.

On admet que cette fonction permet de modéliser l'évolution du nombre de personnes équipées 
d'un modèle d'implant concurrent dans ce même pays.

Plus précisément, $g(t)$ représente le nombre de personnes, exprimé en milliers, équipées de cet implant médical concurrent, dans ce pays,en fonction du temps $t$ mesuré en années depuis 2013.

\smallskip

On considère l'algorithme écrit en langage naturel ci-dessous :
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
$T$ prend la valeur 0 \\
Tant Que $g(T) < f(T)$\\
\qquad $T$ prend la valeur $T+1$\\ 
Fin Tant Que\\
Renvoyer $T$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Interpréter la valeur renvoyée dans le contexte de l'exercice.
		\item Proposer une démarche qui permet d'obtenir la valeur numérique renvoyée par cet algorithme. 
		\item Mettre en œuvre cette démarche et donner la valeur numérique renvoyée par cet algorithme.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{EXERCICE 2 \hfill 10 points}

\medskip

L\textbf{es trois parties de cet exercice sont indépendantes}

\medskip

Dans une usine, une machine à embouteiller est alimentée par un réservoir d'eau et par une ile d'entrée qui permet l'approvisionnement en bouteilles vides.

\bigskip

\textbf{Partie A - Défaut d'approvisionnement}

\medskip

On considère qu'il y a un défaut d'approvisionnement lorsqu'au moins un des deux cas suivants est réalisé :
\begin{itemize}
\item la file d'entrée des bouteilles est vide.
\item le réservoir est vide.
\end{itemize}

On choisit au hasard un jour d'activité de l'entreprise dans l'année. On note :

\begin{itemize}
\item $A$ l'évènement: \og la file d'entrée des bouteilles est vide au moins une fois dans la journée \fg
\item $B$ l'évènement: \og le réservoir est vide au moins une fois dans la journée \fg.
\end{itemize}

On admet que les évènements $A$ et $B$ sont indépendants.

Une étude statistique permet de dire que les probabilités des évènements $A$ et $B$ sont respectivement
données par $P(A) = 0,03$ et $P(B) = 0,02$.

\medskip

Chaque phrase du tableau de gauche est associée à une unique information correspondante dans le
tableau de droite.

Pour chacune des quatre réponses, écrire sur la copie le numéro de la phrase avec la lettre qui correspond à l'information associée.

Aucune justification n'est demandée.

\begin{minipage}{0.58\linewidth}
\begin{tabular}{|c|m{8cm}|}\hline
\textbf{1} &La probabilité de l'évènement : \og La file d'entrée ne se vide pas dans la journée. \fg\\ \hline
\textbf{2}&L'évènement : \og La file d'entrée est vide au moins une fois dans la journée mais pas le réservoir. \fg\\ \hline
\textbf{3}&La probabilité de l'évènement: \og La file d'entrée et le réservoir ont été tous les deux vides au moins une fois au cours de la journée. \fg\\ \hline
\textbf{4}&La probabilité de l'évènement: \og La machine a connu un défaut d'approvisionnement
dans la journée. \fg\\ \hline
\end{tabular}
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.3\linewidth}
\renewcommand\arraystretch{1.5}
\begin{tabular}{|c|c|}\hline
\textbf{A}& $\overline{A} \cap B$\\ \hline
\textbf{B}& $0,05$\\ \hline
\textbf{C}& $A \cap \overline{B}$\\ \hline
\textbf{D}& $\np{0,0494}$\\ \hline
\textbf{E}& $0,97$\\ \hline
\textbf{F}& $\np{0,0006}$\\ \hline
\end{tabular}
\end{minipage}

\bigskip

\textbf{Partie B - Pannes de la machine à embouteiller sur une durée de 200 jours}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Lorsque la machine tombe en panne, elle est immobilisée pour le reste de la journée et réparée pour le lendemain. La probabilité qu'elle tombe en panne un jour quelconque est égale à $0,025$.

On note $X$ la variable aléatoire qui, à toute période de 200 jours consécutifs choisie au hasard, associe le nombre de jours où la machine est tombée en panne. On considère que les jours où les pannes surviennent sont indépendants les uns des autres.

Donner, sans justifier, la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$. Préciser ses paramètres.

\item On admet que la loi de la variable aléatoire $X$ peut être approchée par une loi de Poisson de paramètre $\lambda$.

Soit $Y$ une variable aléatoire qui suit cette loi de Poisson.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $\lambda = 5$.
		\item Donner la valeur arrondie à $10^{-3}$ de la probabilité $P(Y \leqslant  10)$.
		\item On a représenté ci-dessous les valeurs de $P(Y = k)$ en fonction des premières valeurs de $k$ :
	\end{enumerate}
\begin{center}
\psset{unit=0.8cm,yunit=40cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-1,-0.02)(16,0.2)
\multido{\n=0+1}{17}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,0.2)}
\multido{\n=0.00+0.02}{11}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(16,\n)}
\psaxes[linewidth=2pt,labelFontSize=\scriptstyle,Dy=0.02]{->}(0,0)(0,0)(16,0.2)
\psline[linewidth=2pt](0,0)(0,0.008)
\psline[linewidth=2pt](1,0)(1,0.036)
\psline[linewidth=2pt](2,0)(2,0.084)
\psline[linewidth=2pt](3,0)(3,0.14)
\psline[linewidth=2pt](4,0)(4,0.178)
\psline[linewidth=2pt](5,0)(5,0.178)
\psline[linewidth=2pt](6,0)(6,0.144)
\psline[linewidth=2pt](7,0)(7,0.1)
\psline[linewidth=2pt](8,0)(8,0.08)
\psline[linewidth=2pt](9,0)(9,0.038)
\psline[linewidth=2pt](10,0)(10,0.019)
\psline[linewidth=2pt](11,0)(11,0.01)
\psline[linewidth=2pt](12,0)(12,0.007)
\psline[linewidth=2pt](13,0)(13,0.002)
\uput[u](15.5,0){$k$}\uput[r](0,0.195){$P(Y = k)$}
\end{pspicture}
\end{center}

Cette représentation graphique suggère que la probabilité $P(Y = 15)$ est égale à 0.

On admet que pour tout entier $k \geqslant 1$, on a :
\[P(Y = k) = \dfrac{5^k\text{e}^{-5}}{ 1 \times 2 \times \ldots \times k}\]

La conjecture \og $P(Y = 15)$ est égale à 0\fg{} est-elle vraie ou fausse ? Justifier.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C - Qualité de l'embouteillage}

\medskip

Un laboratoire analyse la qualité de l'embouteillage en sortie de machine.

La machine est correctement réglée quand une bouteille remplie contient un volume d'eau dont l'arrondi au centilitre est 75 cL.

On souhaite tester l'hypothèse \og La machine est correctement réglée\fg{} à l'aide d'un test bilatéral au seuil de confiance  de 95\,\%.

On note :
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $m$ la quantité moyenne d'eau en centilitres dans une bouteille remplie par la machine ;
\item[$\bullet~~$] $s$ l'écart type correspondant.
\end{itemize}

On réalise une mesure du volume d'eau arrondi au centilitre pour un échantillon de $100$~bouteilles remplies par la machine. Les résultats obtenus figurent dans le tableau ci-dessous:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Quantité d'eau contenue (cL)&73 &74 &75 &76 &77\\ \hline
Nombre de bouteilles& 17 &20 &43 &13 &7\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Déterminer, à l'aide de la calculatrice, la moyenne $\overline{x}$ et l'écart type $\sigma$ de cet échantillon.

On donnera la valeur arrondie de l'écart type à $10^{-2}$.
\item On souhaite réaliser le test bilatéral suivant au seuil de confiance de 95\,\% : 
\begin{center} $H_0 :\og m = 75$ \fg{} \quad et \quad $H_1 : \og m \ne 75$ \fg.\end{center}

On note $\overline{Z}$ la variable aléatoire qui à tout échantillon de $100$~bouteilles remplies par la machine associe la moyenne du volume d'eau contenue dans les bouteilles, mesuré en centilitres. On suppose que la variable aléatoire $\overline{Z}$ suit la loi normale d'espérance $m$ et d'écart type $s$.

Dans la suite, on remplace l'écart type $s$ des volumes d'eau contenue après remplissage par la machine par son estimateur 0,11.

Sous l'hypothèse $H_0,\: \overline{Z}$ suit donc la loi normale d'espérance $75$ et d'écart type $0,11$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer un nombre réel $h$ vérifiant $P\left(75 - h \leqslant \overline{Z} \leqslant 75 + h\right) \approx  0,95$ à $10^{-2}$ près.
		\item Énoncer la règle de décision du test.
		\item D'après les résultats de l'échantillon donné, peut-on accepter l'hypothèse $H_0 : \og m = 75 $\fg{} ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}\textbf{\large Annexe à rendre avec la copie }\end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice 1, partie A, question 1}

\medskip

Tableau à compléter.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.25cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Rang de l'année $k_i$& 0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8\\ \hline
\small Nombre de personnes $N_i$ (en milliers) équipées de l'implant&56,25 &58,1 &60,5&
63 &65,8 &68,7&72 &75,5 &79,3\\ \hline
$y_i = \ln \left(N_i - 30\right)$&&&&&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{document}