\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage[dvips]{graphicx} \usepackage{tabularx} \usepackage{enumitem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo} \usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-slpe,pstricks-add}% %Tapuscrit : Denis Vergès %Relecture : François Hache \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \usepackage{fancyhdr} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {BTS Groupement C2}, pdftitle = {15 mai 2023}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[frenchb]{babel} \DecimalMathComma \usepackage[np]{numprint} \newcommand{\e}{\,\text{e}}%%% le e de l'exponentielle \renewcommand{\d}{\,\text d}%%% le d de l'intégration \renewcommand{\i}{\,\text{i}\,}%%% le i des complexes \newcommand{\ds}{\displaystyle} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} %\setlength\parskip{4pt} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Brevet de technicien supérieur} \lfoot{\small{Groupement C2}} \rfoot{\small{15 mai 2023}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur Métropole\footnote{Métiers de la mode}~\decofourright\\[7pt]15 mai 2023 - Groupement C2}} \medskip \textbf{Durée : 2 heures} \end{center} \vspace{0.4cm} \textbf{\large Exercice 1 \hfill 11 points} \bigskip L'apparition des fibres de carbone a révolutionné le monde des équipements sportifs. Leur diversité a permis de multiples applications. \bigskip \textbf{Partie A : deux exemples} \medskip Une société produit sept types de fibres de carbone catalogués selon deux caractéristiques: \begin{itemize} \item leur rigidité, graduée sur une échelle de 1 (le moins rigide) à \np{1000} (le plus rigide), \item leur résistance à la rupture, graduée sur une échelle de 1 (le moins résistant) à 5 (le plus résistant). \end{itemize} \bigskip Le graphique suivant positionne les types de fibres fabriqués par cette société selon leurs caractéristiques. \begin{center} \psset{xunit=2.5cm,yunit=0.004cm,arrowsize=2pt 3,comma} \begin{pspicture}(-0.7,-300)(6,1350) \psaxes[linewidth=1.25pt,Ox=1,Dy=200,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(0,0)(4.2,1200) \multido{\n=0+1}{5}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,1200)} \multido{\n=0+200}{7}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(4,\n)} \uput[d](3,-200){Résistance à la rupture} \rput{90}(-0.6,600){Rigidité} \uput[u](2,1300){Caractéristique des fibres de carbone} \psdots(1,1000)(1.4,800)(1.8,770)(2.2,500)(2.5,400)(2.9,260)(3.5,245) \uput[r](1,1000){A}\uput[r](2.2,500){B}\uput[r](3.5,215){C} \end{pspicture} \end{center} Les deux questions suivantes sont des questionnaires à choix multiple. Une seule réponse est correcte. Indiquer sur la copie la réponse correcte. On ne demande aucune justification. La réponse correcte rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. \medskip \begin{enumerate} \item Cette société est sollicitée pour la fabrication d'un cadre de vélo de route très rigide destiné à la compétition de haut niveau. Parmi les trois types de fibres suivants, positionnés sur le graphique, quel est le type de fibre à privilégier pour cette commande ? \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{a.} Type A&\textbf{b.} Type B&\textbf{c.} Type C \end{tabularx} \end{center} \item Quel est le type de fibres à choisir si la demande concerne la fabrication d'une canne à pêche destinée aux poissons très combatifs pour lesquels la canne ne doit pas rompre ? \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} \textbf{a.} Type A&\textbf{b.} Type B&\textbf{c.} Type C \end{tabularx} \end{center} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : création d'une nouvelle fibre de type intermédiaire} \medskip On veut produire de nouveaux types de fibres aux qualités intermédiaires offrant un compromis entre les deux caractéristiques. Le tableau suivant donne les caractéristiques des différents types de fibres fabriqués jusqu'à présent par cette société : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Résistance à la rupture $x_i$& 2 &2,2 &2,8 &3,2 &3,5 &3,9 &4,5\\ \hline Rigidité $y_i$ &\np{1000} &800 &750 &500 &400 &280 &250\\ \hline \end{tabularx} \end{center} On réalise un ajustement affine du nuage de points associé à la série statistique $\left(x_i~;~ y_i\right)$. \medskip \begin{enumerate} \item À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite de régression de $y$ en $x$ ainsi que le coefficient de corrélation linéaire associé. Les résultats seront arrondis à $0,01$ près. \item On admet que l'ajustement affine de $y$ en $x$ est donné par l'équation : $y = - 306,4x + \np{1536,1}$. \begin{enumerate} \item Quelle valeur de rigidité, arrondie à l'entier près, cet ajustement affine permet-il de prévoir pour une résistance à la rupture égale à $3$ ? \item Quelle résistance à la rupture, arrondie à $0,1$ près, correspondrait à une rigidité égale à 650 ? \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C : fabrication d'un cadre} \medskip La fabrication d'un cadre de vélo de compétition nécessite la cuisson d'un mélange composé d'une fibre de carbone et d'un polymère. Le mélange est porté à une température de $120~\degres$C pendant 1 heure. On laisse ensuite refroidir l'ensemble à une température ambiante de $22~\degres$C. On appelle $f$ la fonction, définie sur $[0~;~+\infty[$. donnant la température en degré Celsius ($\degres$C) du mélange en fonction du temps $t$ exprimé en minute à partir de la mise à température ambiante. On suppose que, pour tout $t \in [0~;~+\infty[$, on a \[f(t)= k\text{e}^{-at} + 22\] où $a$ et $k$ sont des réels. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer le réel $k$ sachant que $f(0) = 120$. \item Après 10 minutes de refroidissement, la température du mélange est de $66~\degres$C. Montrer que \np{0,0801} est une valeur arrondie à $10^{-4}$ près de $a$. \end{enumerate} Dans la suite de l'exercice on considère que, pour tout $t \in [0~;~+\infty[$, \: \[f(t) = 98\text{e}^{-0,08t} +22.\] \begin{enumerate}[resume] \item Calculer la température, arrondie au degré près, après $15$~minutes de refroidissement. \item \begin{enumerate} \item Montrer que, pour tout $t \in [0~;~+\infty[$, \:$f'(t) = - 7,84\text{e}^{-0,08t}$. \item Déterminer le signe de $f'(t)$ pour tout $t \in [0~;~+\infty[$. En déduire le sens de variation de $f$. Vérifier la cohérence du résultat avec le contexte de l'exercice. \end{enumerate} \end{enumerate} Un logiciel de calcul formel donne le résultat suivant que l'on admet et qui pourra être exploité dans la question 5 : \begin{center} \renewcommand{\arraystretch}{1.5} \begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|X|} \hline $\quad f(t): = 98 *\text{exp}(-0.08*t) + 22$\\ \hline $\hspace*{3cm}t \mapsto 98\text{e}^{-0,08t} +22$\\ \hline $\quad \text{Intégrer}(f(t), t)$\\ \hline $\hspace*{3cm}t \mapsto -\np{1225}\text{e}^{-0,08t} + 22t$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} %\begin{center} %\begin{pspicture}(12,2) %\psframe(12,2) %\psline(0,0.5)(12,0.5)\psline(0,1)(12,1)\psline(0,1.5)(12,1.5) %\rput(3.5,1.75){$f(t): = 98 *\text{exp}(-0.08*t) + 22$} %\rput(6,1.2){$t \mapsto 98\text{e}^{-0,08t} +22$} %\rput(3.5,0.7){Intégrer($f(t), t$)} %\rput(6,0.25){$t \mapsto -\np{1225}\text{e}^{-0,08t} + 22t$} %\end{pspicture} %\end{center} \begin{enumerate}[resume] \item Calculer la température moyenne $T_m$ arrondie au degré près, du mélange durant les $20$ premières minutes de refroidissement. On rappelle que la valeur moyenne d'une fonction $h$ sur un intervalle $[a~;~b]$ est $\dfrac{1}{b - a} \displaystyle\int_a^b h(t)\:\text{d}t$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{\large Exercice 2 \hfill 9 points} \bigskip Lors de la conception d'un vélo destiné à la performance, la qualité des roulements à billes intervenant au niveau des moyeux et du pédalier est primordiale. L'apparition des roulements à billes en céramique a permis d'offrir un coefficient de friction réduit et une masse globale plus faible par rapport à des roulements en acier. Leur fragilité, cependant, n'est pas compatible avec la pratique cycliste. Ceci amène finalement à utiliser des roulements hybrides avec des billes en céramique et des bagues en acier. \psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3} \begin{center} \begin{pspicture}(-5,-3.2)(5,3.2) \pscircle[linewidth=1.25pt](0,0){1.4} \pscircle[linewidth=1pt](0,0){1.9} \pscircle[linewidth=1.25pt](0,0){2.4} \multido{\n=0+40}{9}{\rput(1.9;\n){\pscircle[fillstyle=slope](0,0){0.5}}} \psline{->}(2.8,1)(1.2,0.6)\rput(3.6,1.2){Bague intérieure} \psline{->}(-3,0.4)(-1.82,0)\rput(-3,0.6){Cage} \psline{->}(-2.6,-1.8)(-1,-1.7)\rput(-3,-2){Bille} \psline{->}(3.4,-1.6)(2.2,-0.9)\rput(3.4,-1.8){Bague extérieure} \end{pspicture} \end{center} \textbf{Partie A: fabrication des bagues} \medskip La fabrication des bagues en acier nécessite la production de pièces cylindriques. On admet que la variable aléatoire $D$ qui mesure le diamètre (en mm) des pièces destinées aux bagues extérieures suit la loi normale de moyenne $\mu = 42$ et d'écart-type $\sigma = 0,12$. Les résultats seront arrondis à $10^{-3}$ près. Le contrôle de la fabrication accepte uniquement les pièces dont le diamètre est compris entre $41 ,8$~mm et $42,2$~mm. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité qu'une pièce de la production tirée au hasard soit acceptée. \item On souhaite modifier le mode de fabrication pour améliorer le pourcentage de pièces acceptées en conservant la moyenne $\mu = 42$. Quelle valeur de $\sigma$ faudrait-il pour que la probabilité qu'une pièce soit acceptée soit égale à $0,95$ ? \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B : contrôle de la production des bagues} \medskip On suppose maintenant que 95\,\% des pièces sont acceptables. On prélève un échantillon de 50 pièces. La production est suffisamment grande pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 50 pièces. On considère la variable aléatoire $X$ qui, à tout prélèvement de $50$ pièces, associe le nombre de pièces non acceptables de l'échantillon. \medskip \begin{enumerate} \item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale de paramètres $n = 50$ et $p = 0,05$. \item Calculer la probabilité, arrondie à $10^{-3}$ près, qu'un échantillon de $50$~pièces ne contienne que des pièces acceptables. \item Calculer la probabilité, arrondie à $10^{-3}$ près, qu'un échantillon de $50$~pièces contienne au plus deux pièces non acceptables. \item Calculer l'espérance de la variable aléatoire $X$, puis en donner une interprétation dans le contexte de l'exercice. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C : contrôle de la production des billes} \medskip L'entreprise ne fabrique pas elle-même les billes mais passe commande chez un fournisseur. Pour ce type de roulements, l'entreprise a reçu une livraison d'un grand nombre de billes en nitrure de silicium (Si$_3$N$_4$) dont la masse moyenne annoncée par le fournisseur est de $1,2$~g. La responsable qualité souhaite contrôler la valeur de la masse moyenne des billes. Elle construit pour cela un test d'hypothèse bilatéral au seuil d'erreur de $5$\,\%. On désigne par $\overline M$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon aléatoire de $100$ billes prélevées dans la livraison, associe la masse moyenne en gramme des billes de cet échantillon. Le nombre de billes livrées est assez important pour que l'on puisse assimiler ces prélèvements à des tirages avec remise. On admet que $\overline M$ suit une loi normale de moyenne $m$ et d'écart-type $\sigma_0 = \dfrac{0,03}{\sqrt{100}} = 0,003$. La responsable choisit comme hypothèse nulle $H_0 : \og m = 1,2$ \fg. Les résultats seront arrondis à $10^{-4}$ près. \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer l'intervalle $I = [a~;~b]$ de centre $1,2$ tel que, sous l'hypothèse $H_0$ : \[P\left(a \leqslant \overline{M} \leqslant b\right) = 0,95.\] \item Donner l'hypothèse alternative $H_1$. \item Énoncer la règle de décision permettant d'utiliser ce test. \item On prélève un échantillon de $100$ billes et on observe que, pour cet échantillon, la masse moyenne est égale à \np{1,2034}~g. Peut-on, au seuil d'erreur de $5$\,\%, conclure que la masse moyenne des billes de cette livraison est conforme à l'annonce du fournisseur ? \end{enumerate} \end{document}