\documentclass[a4paper,11pt]{article}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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%Tapuscrit : Frédéric Pitoun & François Hache
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\theoremstyle{definition}
\newtheorem{exercise}{Exercice}
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\Bef #1: #2 & \rightarrow & \R \\
x & \mapsto & #3
v\Eef
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\date{}

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{\color{colth}
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{\color{black}
\begin{minipage}[c]{1\textwidth}
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#1
\end{theorem}
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 #1
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\Newassociation{sol}{Solution}{test}
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    #1
  \end{matrix}
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\left\{
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    #1
  \end{matrix}
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%\fancyfoot[R]{Exercices}
%\fancyfoot[L]{Lycée Vincent Auriol, $BTS-2B$}
%\fancyfoot[C]{Etude de fonctions.}
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\pagestyle{fancy}
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}
\setlength\parindent{0mm}
\setlength\parskip{3pt}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur }
\lfoot{\small{Groupement C1}}
\rfoot{\small{16 mai 2022}}
\pagestyle{fancy}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\Opensolutionfile{test}[big_sol]

%\begin{tcolorbox}

%\begin{flushleft}
%{\bf BTS-DRB2 \hfill 5/09/2022}
%\end{flushleft}
%\tcblower
\begin{center}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de Technicien Supérieur -- Métropole}~\decofourright\\[7pt] 16 mai 2022 -- Groupement C1 -- Durée : 2 heures}

\end{center}

%\rule{5cm}{2pt}\\
\end{center}
%\end{tcolorbox}

\bigskip

%\begin{exercise}
\textbf{Exercice 1 \hfill 9 points}

\medskip

Une entreprise réalise par tournage des pieds de lit en bois. La hauteur du pied est de 13 cm et sa base a pour diamètre 4 cm.

\begin{center}
\psset{algebraic=true}
\scalebox{0.85}{
\begin{pspicture}*(-5,-1)(5,13.5)
\psaxes[Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-4.99,-2)(5,13.5)
%\psgrid[subgriddiv=2,subgriddots=2,griddots=2]
%\parametricplot{0}{10}{t t 1 add}
%\parametricplot{0}{8}{2 t mul 2 add 2.718 -0.25 t mul exp mul  t}
%\parametricplot{0}{8}{2 t mul 2 add 2.718 -0.25 t mul exp mul  neg t}
\parametricplot{0}{13}{(2*t+2)*2.718^(-0.25*t) | t}
\parametricplot{0}{13}{-(2*t+2)*2.718^(-0.25*t) | t}
\multido{\i=0+1}{14}{
\FPeval{a}{(2*\i+2)*2.718^(-0.25*\i)}
\FPeval{b}{\a*1/6}
\psellipticarc[showpoints=False](0,\i)(\a,\b){180}{360}
\psellipticarc[showpoints=False,linestyle=dashed](0,\i)(\a,\b){0}{180}
}
\end{pspicture}
}%%% fin du scalebox
\end{center}

\textbf{Les trois parties sont indépendantes.}

\begin{center}
 \textbf{Partie A:  Résolution d'une équation différentielle}
\end{center}

\textbf{Rappels}

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\begin{tabular}{| p{4.2cm} | p{9cm} |}
\hline
\textbf{Équations} & \textbf{Solutions sur un intervalle $I$}\\
 \hline
 Équation différentielle: \newline $ay''+by'+cy=0$ 
 & Si $\Delta>0$: $y(t)=  \lambda \e^{r_1t} + \mu \e^{r_2 t}$ où $r_1$ et $r_2$ sont les solutions de l'équation caractéristique.\\
 Équation caractéristique: \newline $ar^2+br+c=0$ \newline de discriminant $\Delta$.
 & Si $\Delta=0$: $y(t)=(\lambda t + \mu)\e^{rt}$ où $r$ est la solution double de l'équation caractéristique. \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

On considère l'équation différentielle $(E)$:
\[16y''+8y'+ y = 0\]
où $y$ désigne une fonction de la variable $x$ définie et dérivable deux fois sur $\R$.

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation $16r^2+8r+1 = 0$.
\item Résoudre l'équation différentielle  $(E)$: $16y''+8y'+ y = 0$.
\item Déterminer la fonction $g$ solution de $(E)$ qui vérifie  $g(0)=2$ et $g'(0)=1.5$.
\end{enumerate}

\begin{center}
 \textbf{Partie B:  Étude de fonction}
\end{center}

Pour modéliser ce pied de lit, on effectue la rotation autour de l'axe des abscisse sur l'intervalle $[0~;~13]$ de la courbe représentative d'une fonction $f$ définie par 
\[f(x)=(ax+b)\e^{-0,25x}\]
où $a$ et $b$ sont des nombres réels.

L'abscisse $x$ représente la hauteur à partir du sol en centimètre du pied de lit et l'image  $f(x)$  le rayon en centimètre du pied de lit à la hauteur $x$. 

Pour assurer la stabilité du lit, on a les contraintes suivantes :
\begin{itemize}
\item La courbe, notée $C_f$, passe par le point A\,$(0~;~2)$.
\item Le coefficient directeur de la tangente à la courbe en A doit être égal à 1,5
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Justifier que $b = 2$.
\item Donner l'expression de $f'(x)$ en fonction de $a$ et de $x$.
\item Déterminer la valeur de $a$.

\item Pour sa production de pieds de lit, l'entreprise utilise comme modèle la courbe ci-dessous, représentative de la fonction $f$ définie par $f(x) = (2x + 2)\e^{-0,25x}$ sur l'intervalle $[0~;~13]$.

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}*(-0.8,-1)(15,5)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(0,0)(15,5)
\psaxes[linewidth=1.3pt]{->}(0,0)(0,0)(14.99,4.9)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{13}{2 x mul 2 add 2.718 -0.25 x mul exp mul}
\rput(12.5,0.5){Hauteur en centimètre}
\rput(2.5,4.5){Rayon en centimètre}
\end{pspicture}
\end{center}

Le rayon de la partie bombée correspond à la valeur maximale de la fonction $f$  sur l'intervalle $[0~;~13]$.

Peut on utiliser un morceau de bois de largeur $5$~cm, de longueur $15$~cm et de hauteur $7$~cm pour construire un pied de lit ?

Justifier la réponse à l'aide d'une lecture graphique. Puis à l'aide d'un calcul.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Partie C:  Calcul intégral}
\end{center}

Pour modéliser un pied de lit, on considère la fonction définie  par 
\begin{center}$f(x) = (2x + 2)\e^{- 0,25x}$\: sur l'intervalle\: $[0~;~13]$.\end{center}

On rappelle que le volume  du solide engendré par la rotation de la courbe $C_f$ autour de l'axe des abscisses sur l'intervalle  $[0~;~13]$ est donné, en cm$^3$, par la formule:

\[V = \int_0^{13} \pi \left [f(x)\strut \right ]^2\:\text{d}x.\]

À l'aide de la calculatrice, donner une valeur approchée du volume du pied de lit arrondi au dixième de cm$^3$.

\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 11 points}

\begin{center}
\textbf{Partie A :  probabilités conditionnelles}
\end{center}

Une entreprise réalise des pièces en bois avec deux machines, notées A et B, qui fabriquent respectivement $60\,\%$ et $40\,\%$ de toute la production.

On sait que 3\,\% des pièces produites par la machine A sont défectueuses, alors que seulement 2\,\% des pièces produites par la machine B sont défectueuses. On choisit au hasard une pièce dans la production.

\begin{list}{\textbullet}{On définit les évènements suivants:}
\item $A$: \og la pièce a été fabriquée par la machine A \fg,
\item $B$: \og la pièce a été fabriquée par la machine B \fg,
\item $D$: \og la pièce est défectueuse \fg.
\end{list}

\begin{enumerate}
\item Donner les probabilités $P_A(D)$ et $P_B(D)$.
\item Calculer la probabilité que la pièce soit défectueuse et ait été produite par la machine A.
\item Calculer la probabilité que la pièce soit défectueuse.
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{Partie B: lois de probabilités}
\end{center}

Un magasin commercialise ces pièces de bois fabriquées par l'entreprise. On admet que la probabilité qu'une pièce, prise au hasard dans la production, présente un défaut de fabrication est de $0,026$.

Le magasin commande un lot de $400$ pièces. La production de l'entreprise est suffisamment importante pour considérer ce lot comme un tirage successif avec remise de 400 pièces.

On note $X$ la variable aléatoire qui, à tout lot de $400$ pièces, associe le nombre de pièces présentant un défaut de fabrication.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$ ainsi que ses paramètres.

\item Calculer la valeur arrondie à $10^{-3}$ de la probabilité d'avoir, dans un lot, au plus 6 pièces présentant un défaut de fabrication.

\item Montrer que la probabilité d'avoir, dans un lot, au moins 7 pièces présentant un défaut de fabrication est  $0,896$ arrondie à $10^{-3}$.

\item On admet qu'on peut approcher la loi suivie par la variable  $X$ par une loi de Poisson de paramètre $\lambda$. On appelle $Y$ la variable qui suit cette loi de Poisson. Justifier que $\lambda=10,4$.

\item Déterminer la valeur arrondie à $10^{-3}$ de l'erreur commise par cette approximation sur le résultat obtenu à la question 3.
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{Partie C:  test d'hypothèse}
\end{center}

La scierie qui fournit l'entreprise en morceaux de bois affirme que 85\,\% de ceux-ci, pris au hasard dans la production, sont conformes en largeur et en longueur. L'entreprise doute de cette affirmation et commande un test d'hypothèse bilatéral au risque de 5\,\% pour vérifier si la proportion $p$ de morceaux de bois conformes est bien de $0,85$.

On note $(H_0)$: \og $p = 0,85$ \fg.

On note $F$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 100 morceaux de bois prélevés au hasard dans la production de la scierie, associe la fréquence de morceaux conformes en largeur et en hauteur. On admet que, sous  $H_0$, la variable aléatoire $F$ suit la loi normale de moyenne $0,85$ et d'écart-type $\sqrt{\frac{0,85 (1-0,85)}{100}}$.

\begin{enumerate}
\item Préciser l'hypothèse alternative $H_1$ du test.

\item Déterminer la zone d'acceptation du test. On arrondira les valeurs à $10^{-2}$.

\item Sur un échantillon de 100 morceaux de bois, on a, après mesures, compté $80$~morceaux conformes en largeur et en hauteur. En appliquant la règle de décision du test d'hypothèse, peut-on dire que l'entreprise a raison de douter de l'affirmation de la scierie?

\end{enumerate}
\end{document}