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%Tapuscrit : Denis Vergès relu par François Hache
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\footnotesize Brevet de technicien supérieur\\ Assistant technique d'ingénieur\\Bâtiment -- Maintenance des systèmes}
\lfoot{\small{Groupe B Nouvelle Calédonie}}
\rfoot{\small{novembre 2017}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center}
{\Large\textbf{Brevet de technicien supérieur Nouvelle Calédonie\\[4pt] novembre 2017 - groupement B}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante}

\medskip

\textbf{A. Résolution d'une équation différentielle}

\medskip

On considère l'équation différentielle $(E)$ :

\[y'' - y'- 2y = - 3\text{e}^{-x}\]

où $y$ est une fonction inconnue de la variable $x$, définie et deux fois dérivable sur $\R$, $y'$ la fonction dérivée de $y$ et $y''$ sa fonction dérivée seconde.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre dans $\R$ l'équation $r^2 - r - 2 = 0$.
		\item En déduire les solutions définies sur $\R$ de l'équation différentielle $\left(E_0\right)$ :
		
\[y'' - y' - 2y = 0.\]

On fournit les formules suivantes :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5cm}|X|}\hline
Équations &Solutions sur un intervalle $I$\\ \hline
Équation différentielle 

$ay'' + by' + c = 0$

Équation caractéristique :

$ar^2 + br + c = 0$ de discriminant $\Delta$.&Si $\Delta > 0$, \: $y(t) = \lambda \text{e}^{r_1 t} + \mu \text{e}^{r_2 t}$ où $r_1$ et $r_2$ sont les racines de l'équation caractéristique.

Si $\Delta = 0$, \: $y(t) = (\lambda t + \mu) \text{e}^{r t}$ où $r$ est la racine double de l'équation caractéristique.

Si $\Delta < 0$, \: 

$y(t) = [\lambda \cos (\beta t) + \mu \sin (\beta t)] \text{e}^{\alpha t}$ où $r_1 = \alpha + \text{i}\beta$ et \mbox{$r_2 = \alpha - \text{i}\beta$} sont les racines complexes conjuguées de l'équation caractéristique.\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
	\end{enumerate}
\item Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x) = x\text{e}^{-x}$.

Un logiciel de calcul formel permet d'obtenir les résultats suivants qui sont admis.


\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|m{1cm}|X|}\hline
\multicolumn{2}{|l|}{$\blacktriangleright$ Calcul formel}\\ \hline
1	&$g(x) = x*\text{exp} (- x)$\\
	&$\to g(x) := x \text{e}^{-x}$\\ \hline
2	&$g'(x) = \text{Dérivée}[g(x),\,x]$\\
	&$\to g'(x) ;= - x\text{e}^{- x} + \text{e}^{- x}$\\ \hline
3	&$g''(x) = \text{Dérivée}[g'(x), \, x]$\\
	&$\to g''(x) := x\text{e}^{-x} - 2\text{e}^{-x}$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Vérifier que la fonction $g$ est une solution de $(E)$.
\item En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E)$. 
\item \emph{Cette question est une question à choix multiples. Une seule réponse est exacte.\\
Recopier sur la copie la réponse qui vous paraît exacte. On ne demande aucune justification.\\
La réponse juste rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne
rapporte ni n'enlève de point.}

\medskip

Parmi les courbes ci-dessous, quelle est la courbe représentative de la fonction $f$, solution de l'équation différentielle (E) vérifiant les conditions initiales $f(0) = 1$ et $f'(0) = 0$ ?
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-3.5,-5)(7,6)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt](-4,-5)(7,6)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-3.5,-4.99)(7,6)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{-2}{7}{x 1 add 2.71828 x exp div}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-1.98}{0}{x  2.71828 x exp    div 1 add}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{2}{x  2.71828 x exp    mul  1 add}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{-2}{0}{x  2.71828 x exp    div 2 add }
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{0}{2}{x  2.71828 x exp    mul  2 add}
\end{pspicture*}
\end{center}

\medskip

\textbf{B. Étude d'une fonction}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par :

\[f(x) = \text{e}^{-x} + x \text{e}^{-x}.\]

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormal.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On admet le résultat suivant : $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x \text{e}^{- x} = 0$.
		
Calculer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$.
		\item Donner une interprétation graphique du résultat précédent.
	\end{enumerate}
\item  \emph{Cette question est une question à choix multiples. Une seule réponse est exacte.\\
Recopier sur la copie la réponse qui vous paraît exacte. On ne demande aucune justification.\\
La réponse juste rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne
rapporte ni n'enlève de point.}

\medskip

Une expression de $f'(x)$ est donnée par : 
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$f'(x) = (1 + x)\text{e}^{-x}$&$f'(x) = -(1 + x)\text{e}^{x}$&$f'(x) = - x\text{e}^{-x}$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Étudier sur $\R$  le signe de $f'(x)$.
		\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\bigskip

\textbf{C. 	Calcul intégral}

\medskip
On note $I = \displaystyle\int_0^{\ln 3} f(x)\:\text{d}x$ où $f$ est la fonction définie dans la partie B.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Vérifier que la fonction $F$ définie sur $\R$ par  

\[F(x) = (- 2 - x)\text{e}^{- x}\]

est une primitive de la fonction $f$. 
\item Montrer que $I = \dfrac{4 - \ln 3}{3}$.
\item Donner la valeur approchée de $I$ arrondie à $10^{- 3}$.
\item Donner une interprétation graphique du nombre $I$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\begin{center}

Les quatre parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.
Dans cet exercice, sauf mention du contraire, les résultats approchés
sont à arrondir à $10^{-4}$
\end{center}

\smallskip

\textbf{A. Loi exponentielle}

\medskip

Une étude statistique a permis d'estimer que pour un certain modèle d'amortisseur équipant
des véhicules, la durée de vie moyenne d'un amortisseur est \np{80000}~km.

On modélise la durée de vie, exprimée en  kilomètre, d'un amortisseur de ce type par une
variable aléatoire $T$ de loi exponentielle de paramètre $\lambda$.

On rappelle que :

\setlength\parindent{10mm}
\begin{itemize}
\item  pour tout nombre réel positif $t$, on a $P(T \leqslant t) = 1 - \text{e}^{ - \lambda t}$ ;
\item l'espérance $E(T)$ de la variable aléatoire $T$ est égale à $E(T) = \dfrac{1}{\lambda}$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que $\lambda = \np{0,0000125}$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $P(T \leqslant \np{30000})$.
		\item Interpréter le résultat précédent dans le contexte.
	\end{enumerate}
\item Déterminer la probabilité qu'un amortisseur de ce type fonctionne correctement après \np{120000}~km.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{B. Loi uniforme}

\medskip

Un client doit déposer son véhicule dans un centre de contrôle technique entre 8~h et 9~h.

On modélise l'heure d'arrivée de ce client, exprimée en heure, par une variable aléatoire $X$ de loi uniforme sur l'intervalle [8~;~9].

\medskip

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $P(X \leqslant 8,75)$.
		\item Interpréter le résultat dans le contexte
	\end{enumerate}
\item Calculer $E(X)$.	 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{C. Loi binomiale et algorithme}

\medskip

Une étude nationale menée en 2015 a montré que 18,11\,\% des véhicules particuliers ayant subi un contrôle technique ont fait l'objet d'une contre-visite.

Une grande société spécialisée dans la réalisation des contrôles techniques a constaté que, parmi les contrôles qu'elle a réalisés en 2015, le pourcentage de ceux qui ont donné lieu à une contre-visite était exactement le même que le pourcentage national, soit 18,11\,\%.

Le responsable de cette société choisit au hasard 50 fiches-clients. Chaque fiche correspond à un contrôle technique réalisé. La fiche indique si le contrôle a été suivi d'une contre-visite ou non.

Le nombre de fiches-clients est suffisamment important pour que l'on puisse assimiler ces prélèvements à des tirages avec remise.

On considère la variable aléatoire$Y$ qui, à tout prélèvement de 50 fiches-clients, associe le nombre de contre-visites.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que $Y$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
\item Calculer la probabilité d'avoir, dans un tel prélèvement, exactement 10~contre-visites.
\item On considère l'algorithme suivant où binomiale$(n~;~p~;~k)$ désigne $P(Y = k)$ dans le cas où $Y$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|X|}\hline
\textbf{Initialisation}\\
$k$ prend la valeur $0$\\
$S$ prend la valeur binomiale$(50~;~\np{0,1811}~;~0)$\\
\textbf{Traitement}\\
Tant que $S < 0,95$\\
\hspace{1cm}$k$ prend la valeur $k + 1$\\
\hspace{1cm}$S$ prend la valeur $S + \text{binomiale}(50~;~0,1811~;~k)$\\
Fin de Tant que\\
\textbf{Affichage}\\
Afficher $k$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Faire tourner cet algorithme \og à la main \fg en recopiant sur la copie et en complétant, à partir de $k = 12$, le tableau ci-dessous.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
Valeur de $k$& Valeur de $S$ arrondie à $10^{-4}$&Condition $S < 0,95$\\ 
\hline
0&0&VRAIE\\ 
\hline
1&\np{0,0006}&VRAIE\\ 
\hline
2 &\np{0,0033}&VRAIE\\ 
\hline
\ldots&\ldots&\ldots\\ 
\hline
11&\np{0,8177}&VRAIE\\ 
\hline
12&&\\ 
\hline
&&\\ 
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Quelle est la valeur numérique affichée par l'algorithme ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{D. Loi normale et test d'hypothèse d'une proportion}

\medskip

Dans cette partie, on considère un réseau de centres de contrôles techniques. On se propose de construire un test d'hypothèse bilatéral pour contrôler si la proportion de véhicules soumis à une contre-visite dans ce réseau est la même que la proportion nationale en 2015, à savoir 18,11\,\%.

On note $p$ la proportion inconnue de véhicules soumis à une contre-visite dans ce réseau.

On note $F$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de $100$ véhicules prélevé au hasard parmi les véhicules contrôlés dans le réseau, associe la fréquence de ceux soumis à une contre-visite. 

On admet que $F$ suit la loi normale de moyenne $p$ et d'écart type $\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{100}}$.

L'hypothèse nulle $H_0$ est : \og $p = \np{0,1811}$ \fg.

L'hypothèse alternative est : \og $p \neq \np{0,1811}$ \fg.

Le seuil de signification du test est fixé à 5\,\%.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On admet que sous l'hypothèse $H_0$, la variable aléatoire $F$ suit la loi normale de moyenne \np{0,1811} et d'écart type \np{0,0385}.

Calculer, sous l'hypothèse $H_0,\: P(\np{0,1056} \leqslant F \leqslant \np{0,2566})$. Arrondir à $10^{-2}$.
\item Énoncer la règle de décision du test.
\item On observe que sur un échantillon aléatoire de $100$ véhicules de ce réseau, $21$ véhicules ont été soumis à une contre-visite. 

Donner la conclusion du test.
\end{enumerate}

\end{document}