\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{graphicx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{enumitem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-text,pst-eucl,pst-node,pst-circ,pst-coil,pst-func,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {BTS groupement B}, pdftitle = {4 novembre 2019}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Brevet de technicien supérieur} \lfoot{\small{Nouvelle Calédonie Groupe B2}} \rfoot{\small{4 novembre 2019}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} {\Large\textbf{Brevet de technicien supérieur Nouvelle Calédonie\\[5pt] 4 novembre 2019 - groupement B\footnote{Assistance technique d'ingénieur, Batîment, Études et économie de la construction, Maintenance des systèmes}}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 10 points} \medskip \parbox{0.6\linewidth}{Dans cet exercice, on modélise le système de suspension d'une voiture radiocommandée par le schéma ci-contre. Le masse $m$ repose au sol à l'aide d'une suspension amortie. On désigne par $f(t)$ la hauteur, en dm, par rapport au sol de la massa $m$ à l'instant $t$ en seconde. On suppose que $f$ est une fonction de la variable réelle $t$ définie et deux fois dérivable sur $[0~;~+ \infty[$.}\hfill \parbox{0.3\linewidth}{\psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(4,6) %\psgrid \psline(3.7,0) \psframe[fillstyle=hlines](0.2,4.2)(1.9,5.2) \uput[u](1.05,5.2){$m$} \psline(1.05,4.2)(1.05,3.6) \psline(2.1,1.5)(2.1,3.6)(0.05,3.6)(0.05,3.1) \psline(0.05,0.4)(0.05,0) \psline(1.6,2)(1.6,0.6)(2.6,0.6)(2.6,2) \psline(1.6,1.5)(2.6,1.5) \psline[linewidth=0.5pt,arrowsize=2pt 4]{<->}(3.1,0)(3.1,4.2) \uput[r](3.1,2.1){$f(t)$} \pszigzag[coilarmA=0.3cm,coilarmB=0.3cm,coilwidth=0.25](0.05,0.4)(0.05,3.2) \psline[linestyle=dashed](3.1,4.2)(1.9,4.2) \end{pspicture}} \begin{center} \textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.} \end{center} \textbf{A. Résolution d'une équatIon différentielle} \medskip Une étude mécanique montre que la fonction $f$ est solution de l'équation différentielle $(E)$ : \[y'' + 10 y' + 25 y = 20,\] où $y$ est une fonction inconnue de la variable réelle $t$, définie et deux fois dérivable sur $[0~;~ + \infty[$, $y'$ la fonction dérivée de $y$ et $y''$ sa fonction dérivée seconde. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Résoudre dans $\R$ l'équation $r^2 + 10 r + 25 = 0$. \item En déduire les solutions, définies sur $[0~;~ + \infty[$ de l'équation différentielle $\left(E_0\right)$ : \[y'' + 10y' + 25 y = 0.\] On fournit les formules suivantes : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|m{6cm}|X|}\hline \centering Équations &\multicolumn{1}{|c|}{ Solutions sur un intervalle $I$}\\\hline ~&Si $\Delta > 0$,\: $y(t) = \lambda \text{e}^{r_1 t} + \mu \text{e}^{r_2 t}$ où $r_1$ et $r_2$ sont les racines de l'équation caractéristique.\\ Équation différentielle : $a y'' + b y' + cy = 0$.& Si $\Delta = 0$,\: $y(t) = (\lambda t+ \mu)\text{e}^{rt}$ où $r$ est la racine double de l'équation caractéristique.\\ Équation caractéristique : $a r^2 + br + c = 0$ de discriminant $\Delta$& Si $\Delta < 0$,\: $y(t) = [\lambda \cos(\beta t) + \mu \sin (\beta t)]\text{e}^{\alpha t}$ où $r_1 = \alpha + \text{i}\beta$ et $r_2 = \alpha - \text{i}\beta$ sont les racines complexes conjuguées de l'équation caractéristique.\\\hline \end{tabularx} \end{center} \end{enumerate} \item \emph{Cette question est une question à choix multiples. Une seule réponse est exacte.\\ Recopier sur la copie la réponse qui vous parait exacte. On ne demande aucune justification.\\ La réponse juste rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.} La fonction $g$ définie sur $[0~;~ + \infty[$ par l'expression suivante est solution de l'équation différentielle $(E)$ : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $g(t) = 0,8$& $g(t) = 20$& $g(t)= \text{e}^{-5t}$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item En déduire les solutions de l'équation différentielle $(E)$. \item Les conditions initiales du système mécanique conduisent à poser $f(0) = 0,4$ el $f'(0) = 0$. Un logiciel de calcul formel fournit l'expression suivante de la fonction $f$. \begin{center} \begin{tabularx}{0.63\linewidth}{|l X|}\hline &RésolEquaDiff$\left(y'' + 10 y' + 25 y = 20,\: y,\: t,\: (0,0.4), (0,0)\right)$\\ \small 1 &\\ &$\to y = -2 t\text{e}^{-5t} - \dfrac{2}{5}\text{e}^{-5t} + \dfrac{4}{5}$\rule[-3mm]{9mm}{0mm}\\ \hline \end{tabularx} \end{center} Quelle est la hauteur de la masse, en dm, au bout d'une seconde ? Arrondir à $10^{-2}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{B Étude de la fonction} \boldmath $f$ \unboldmath \medskip La fonction $f$ est définie sur $[0~;~+ \infty[$ par \[f(t) = - 2t\text{e}^{-5t} - 0,4\text{e}^{-5t} + 0,8.\] Sa courbe représentative $\mathcal{C}$ dans un repère orthogonal est donnée ci-dessous, \psset{unit=5cm,comma=true} \begin{center} \begin{pspicture}(-0.5,-0.1)(1.45,1.05) \multido{\n=0.0+0.2}{8}{\psline(\n,0)(\n,1.)} \multido{\n=0.0+0.2}{6}{\psline(0,\n)(1.4,\n)} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.2,Dy=0.2](0,0)(0,0)(1.4,1.1) \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1.4}{0.8 2 x mul 0.4 add 2.71828 x 5 mul exp div sub} \uput[d](1.3,0.79){\blue $\mathcal{C}$} \end{pspicture} \end{center} \begin{enumerate} \item On admet le résultat suivant : $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} t\text{e}^{- 5t} = 0$. \begin{enumerate} \item Calculer $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} f(t)$. \item En déduire que la courbe $\mathcal{C}$ admet une droite asymptote dont on donnera une équation. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout $t$ de l'intervalle $[0~;~+ \infty[$, $f'(t) = 10t \text{e}^{-5t}$. \item Étudier le signe de $f'(t)$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$, \item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ \end{enumerate} \item Un logiciel de calcul formel affiche la partie régulière du développement limité à l'ordre 2 de la fonction $f$ au voisinage de zéro. \begin{center} \begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|X|}\hline PolynômeTaylor$\left(- 2t\text{e}^{-5t} - \dfrac{2}{5}\text{e}^{-5t} + \dfrac{4}{5},\:t,\:0,\:2\right)$\rule[5mm]{8mm}{0mm}\\ \small 2\\ $\to \dfrac{2}{5} + 5 t^2$\rule[-3mm]{9mm}{0mm}\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \begin{enumerate} \item Donner une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$. \item Étudier la position relative de la tangente $T$ par rapport à la courbe $\mathcal{C}$ au voisinage de zéro. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{C. Dépassement d'un seuil et algorithmique} \medskip On considère l'algorithme suivant. \begin{center} \begin{tabular}{l} $t \leftarrow 1,6$\\ $y \leftarrow (-2t- 0,4)\text{e}^{-5t}+0,8$\\ Tant que $0,8 - y > 10^{-3}$ \\ \hspace{0.4cm} $t \leftarrow t + 0,01$\\ \hspace{0.4cm} $y \leftarrow (- 2t- 0,4)\text{e}^{-5t} + 0,8$\\ Fin de Tant que\\ \end{tabular} \end{center} \emph{Remarque: dans cet algorithme $t \leftarrow 1,6$ signifie que $t$ prend la valeur} 1,6. \medskip \begin{enumerate} \item Faire tourner cet algorithme \og à la main\fg{} jusqu'a son arrêt, en complétant le tableau ci-dessous que l'on recopiera sur la copie. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $t$&1,6&1,61&&&&\\ \hline $y \approx $&\np{0,79879}&&&&&\\ \hline $0,8 - y > 10^{-3}$&VRAI&&&&&\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item Quelle est la valeur de la variable $t$ a la fin de l'algorithme ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 10 points} \medskip Une machine à commande numérique permet de fabriquer des panneaux en MDF (panneaux de fibre de bois de moyenne densité) de 40~mm d'épaisseur. \begin{center} \textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.} \end{center} \medskip \textbf{A. Loi normale} \medskip Un panneau est considéré comme \og acceptable\fg{} si son épaisseur est comprise entre $39,78$~mm et $40,22$~mm. S'il n'est pas considéré comme acceptable, il sera renvoyé au recyclage. On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque panneau fabriqué par la machine, associe son épaisseur en mm. On admet que la variable aléatoire $X$ suit la loi normale de moyenne $\mu = 40$ et d'écart type $\sigma$ inconnu. \medskip \begin{enumerate} \item En utilisant la capture d'écran ci-dessous, expliquer pourquoi on peut approcher la valeur de $\sigma$ par $0,1$. \begin{center} \psset{xunit=15cm,yunit=0.75cm,comma=true} \begin{pspicture}(-0.4,-2.2)(0.4,4) \psaxes[Ox=40,Dx=0.1,Dy=10](0,0)(-0.4,0)(0.4,3) \rput(0,-1.2){$P(39,8 \leqslant X \leqslant 40,2) = 0,95$} \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{ \psGauss[mue=0,sigma=0.1,linewidth=1.25pt,linecolor=lightgray]{-0.2}{0.2} \psline(0.2,0)(-0.2,0)(-0.2,0.55)} \psGauss[mue=0,sigma=0.1,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.4}{0.4} \end{pspicture} \end{center} \item On admet que $\sigma = 0,1$. \begin{enumerate} \item Donner la probabilité, arrondie à $10^{- 3}$, qu'un panneau, prélevé au hasard dans la production de la machine, soit considéré comme acceptable. b) En déduire la probabilité, arrondie à $10^{- 3}$, qu'un panneau, prélevé au hasard dans la production de la machine, soit envoyé au recyclage. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{B. Loi binomiale et loi de Poisson} \medskip Un grossiste commande un lot de 200~panneaux en MDF. On admet que la probabilité qu'un panneau prélevé au hasard dans la production soit envoyé au recyclage est $0,03$. La production est suffisamment importante pour assimiler un lot de $200$~panneaux comme résultant d'un tirage au hasard avec remise dans la production. On note $Y$ la variable aléatoire qui, à tout lot de $200$~panneaux ainsi prélevé, associe le nombre de panneaux à envoyer au recyclage. \medskip \begin{enumerate} \item Justifier que la variable aléatoire $Y$ suit une loi binomiale et préciser ses paramètres. \item Calculer $E(Y)$ et interpréter le résultat. \item Donner la probabilité, arrondie à $10^{-3}$, d'avoir dans un lot de $200$~panneaux, au plus deux panneaux à envoyer au recyclage. \item On approche la loi de la variable aléatoire $Y$ par une loi de Poisson de paramètre $\lambda$. Soit $Z$ une variable aléatoire qui suit cette loi de Poisson. \begin{enumerate} \item Justifier que $\lambda = 6$. \item Donner la valeur arrondie à $10^{-3}$ de $P(Z \leqslant 2)$. \item Calculer l'écart entre les résultats des questions \textbf{3.} et \textbf{4. b}. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{C. Test d'hypothèse} \medskip L'entreprise veut vérifier que la proportion de panneaux présentant un défaut d'épaisseur est $p = 0,03$. Pour cela, elle réalise un test d'hypothèse bilatéral au seuil de signification de 5\,\% sur un échantillon aléatoire de $400$ panneaux prélevés dans le stock. Le stock est suffisamment important pour assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise. On note $F$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon aléatoire de $400$ panneaux, associe la fréquence des panneaux présentant un défaut d'épaisseur. On suppose que $F$ suit la loi normale de moyenne $p$ inconnue et d'écart type $\sqrt{\dfrac{p(1- p)}{400}}$. L'hypothèse nulle $H_0$ est: \og $p = 0,03$ \fg. L'hypothèse alternative $H_1$ est : \og $p \ne 0,03$ \fg. \medskip \begin{enumerate} \item Justifier que sous l'hypothèse $H_0$ l'écart type de la variable aléatoire $F$ est environ $0,009$. \item \emph{Cette question est une question à choix multiples. Une seule réponse est exacte. Recopier sur la copie la réponse qui vous parait exacte. On ne demande aucune justification. La réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point}. Soit $a$ le réel positif, tel que, sous l'hypothèse $H_0$, $P(0,03 - a \leqslant F\leqslant 0,03 + a) = 0,95$. Une valeur approchée de $a$ à $10^{-3}$ près est: \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 0,009& 0,017& 0,023 \\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item Énoncer la règle de décision du test. \item Sur l'échantillon aléatoire de $400$~panneaux prélevés, on a relevé $18$ panneaux ayant un défaut d'épaisseur. Quelle est la conclusion du test ? \end{enumerate} \end{document}