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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Relecture : 
% Merci à Philippe Vercruysse et Ronan Charpentier pour le sujet
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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%\DecimalMathComma
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\newcommand{\e}{\,\text{e}}%%%               le e de l'exponentielle
\renewcommand{\d}{\,\text d}%%%              le d de l'intégration
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\begin{document}
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\setlength\parskip{4pt}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Groupement B}}
\rfoot{\small{septembre 2020}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur Métropole~\decofourright\\[5pt]septembre 2020 - Groupement B}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\large Exercice 1 \hfill 10 points}

\bigskip

\begin{minipage}{0.75\linewidth}
Un jouet pour enfant prévu pour être utilisé en extérieur, est un bonhomme de neige monté sur un ressort. Le principe de fonctionnement est le suivant : on comprime le jouet au sol et une fois relâché, celui-ci est propulsé dans les airs à une certaine hauteur et retombe ensuite au sol. On suppose que le mouvement du jouet est vertical.\\

On souhaite étudier la hauteur atteinte par le jouet en fonction du nombre d'années
d'utilisation.
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}{0.18\linewidth}
\includegraphics[scale=0.35]{BTS_B_2020}
\end{minipage}

\medskip

On modélise la hauteur que peut atteindre le jouet par une solution de l'équation différentielle $(E)$:

\hfill $y''+2y'+y=3$; \hfill\,

$y$ est une fonction de la variable réelle $x$, définie et deux fois dérivable sur $\left [0~;\,+\infty\strut\right [$;\\
$x$ représente la durée d'utilisation, exprimée en années ;

$y'$ désigne la fonction dérivée de $y$ et $y''$ désigne la fonction dérivée seconde de $y$.

\bigskip

\textbf{Partie A: Résolution de l'équation différentielle}

\medskip

On fournit les formules suivantes:

\begin{center}
\begin{tabular}{|p{0.38\linewidth}|p{0.55\linewidth}|}
\hline
\centering\arraybackslash\textbf{Équations} & \centering\arraybackslash\textbf{Solutions sur un intervalle \emph{I}}\\
\hline
&\\
 Équation différentielle:\newline $ay''+by'+cy=0$ & 
 Si $\Delta >0$, $f(x)=\lambda \e^{r_1 x} + \mu \e^{r_2 x}$ où $r_1$ et $r_2$ sont les\newline  solutions de l'équation caractéristique.\newline\\
 & Si $\Delta=0$, $f(x) = (\lambda x + \mu)\e^{rx}$ où $r$ est la solution double de l'équation caractéristique.\\
 Équation caractéristique:\newline $ar^2+br+c=0$ de discriminant $\Delta$. &
\ \newline  Si $\Delta < 0$, $f(x)= \left [ \lambda \cos (\beta x) +\mu \sin(\beta x)\right ]\e^{\alpha x}$ \newline  où $r_1 = \alpha + \i\beta$ et $r_2=\alpha - \i\beta$ sont les solutions complexes conjuguées de l'équation caractéristique.\\
 & \\
 \hline
 \end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans $\R$, l'équation différentielle $(E_0)$: $y''+2y'+y=0$.

\item Soit un nombre réel $k$, on définit sur $\R$ la fonction constante $g$ telle que $g(x)=k$.\\
Déterminer la valeur de $k$ pour que la fonction $g$ soit une solution de l'équation différentielle $(E)$.

\item En déduire les solutions de l'équation différentielle $(E)$.

\item Déterminer la fonction $f$, solution de l'équation différentielle $(E)$ vérifiant les conditions suivantes: $f(0)=4$ et $f(2)=5\e^{-2}+3$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B: Étude de la fonction $\boldsymbol f$}

\medskip

La hauteur exprimée en décimètres que peut atteindre le jouet après $x$ années d'utilisation est donnée par la fonction $f$ définie sur l'intervalle $\left [0~;\,+\infty\strut\right [$ par 

\[f(x) = (2x+1)\e^{-x}+3.\]

On note $\mathcal C$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthonormé \Oij{}  d'unité graphique 2~cm donnée en \textbf{Annexe}.
%%% C'est 1 cm sur l'original en contradiction avec le graphique fourni

\begin{enumerate}
\item Quelle hauteur en décimètres peut atteindre le jouet lors de la toute première utilisation, c'est- à-dire pour $x=0$?

\item Quelle hauteur en décimètres peut atteindre le jouet après 6 mois d'utilisation?\\
\emph{Donner la valeur exacte puis la valeur arrondie à $10^{-2}$.}

\item On admet que $\ds\lim_{x\to +\infty} x\e^{-x}=0$ et que $f(x)=2x\e^{-x}+ \e^{-x}+3$.

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
\item En déduire que la courbe $\mathcal{C}$ admet une asymptote $\mathcal{D}$, dont on donnera une équation puis tracer cette droite $\mathcal{D}$ sur le document fourni en \textbf{Annexe (à rendre avec la copie)}.
\item Interpréter cette limite dans le contexte de la situation étudiée.
\end{enumerate}

\item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
\begin{enumerate}
\item Justifier que pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $\left [0~;\,+\infty\strut\right [$, $f'(x)=(1-2x)\text{e}^{-x}$.
\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $\left [0~;\,+\infty\strut\right [$ et en déduire le tableau de variations de la fonction $f$.
\end{enumerate}

\item On admet que la fonction $F$ définie sur l'intervalle $\left [0~;\,+\infty\strut\right [$ par : $F(x)=(-2x-3)\e^{-x}+3x$ est une primitive de la fonction $f$.\\
Calculer l'aire $\mathcal{A}$ en cm$^2$, de la partie du plan limitée par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=2$.

\emph{Donner la valeur exacte puis la valeur arrondie à $10^{-2}$.}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\large Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

La fonction échelon unité $\mathcal{U}$ est définie sur $\R$ par 

\[\mathcal{U}(t) =0 \:\text{si }\: t < 0\quad  \text{et }\: \mathcal{U}(t) = 1 \:\:\text{si } t \geqslant 0.\]

On considère un système électrique entrée-sortie. On note $s$ le signal de sortie associé au signal d'entrée $e$. Les fonctions $e$ et $s$ sont des fonctions causales, c'est-à-dire qu'elles sont nulles pour $t < 0$. On admet que les fonctions $e$ et $s$ admettent des transformées de Laplace notées respectivement $E$ et $S$. 

La fonction de transfert $H$ du système est définie par $S(p)= H(p) \times E(p)$.

\medskip

On considère le signal d'entrée $e$ définie sur $\R$ par $e(t) = \mathcal{U}(t) - 2\mathcal{U}(t - 1)$ et la fonction $H$ définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par $H(p) = \dfrac{1}{p+1}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $e(0,5)$ et $e(2)$.
		\item Tracer la courbe représentative de la fonction $e$ dans le repère orthonormé fourni en \textbf{Annexe 2 (à rendre avec la copie)}
		
\emph{Remarque} : on pourra calculer entre autres $e( -0,5)$, $e(0)$, $e(0,9)$, $e(1)$.
	\end{enumerate}
\item Pour tout $p > 0$, déterminer $E(p)$, $E$ étant la transformée de Laplace du signal $e$. (On pourra utiliser le formulaire donné).
\item
	\begin{enumerate}
		\item Donner alors l'expression de $S(p)$.
		\item Vérifier que pour tout $p > 0$,\:$\dfrac{1}{p(p+1)} = \dfrac{1}{p} - \dfrac{1}{p+1}$.
		\item Justifier alors que pour tout $p > 0$, \: $S(p) = \dfrac{1}{p} - \dfrac{1}{p+1} - 2 \times \dfrac{1}{p}\times \text{e}^{-p} + 2\times \dfrac{1}{p+1}\times \text{e}^{-p}$.
	\end{enumerate}
\item Compléter le tableau fourni en \textbf{Annexe 2}, avec l'original des fonctions suivantes :

\[p \longmapsto \dfrac{1}{p}\:;\:p \longmapsto \dfrac{1}{p+1}\:;\:p \longmapsto \dfrac{1}{p}\text{e}^{-p}\:;\:p \longmapsto \dfrac{1}{p+1}\text{e}^{-p}\]

En déduire l'expression de $s(t)$ sur l'intervalle [0~;~1[.
\item  On admet que l'expression de la fonction $s$ sur $[1~;~+\infty[$ est : $s(t) = (2\text{e} 1)\text{e}^{-t} - 1$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $s(1)$.
		\item Compléter la courbe représentative de la fonction $s$ dans le repère orthonormé fourni dans l'\textbf{Annexe 2}.
		\item Donner la limite de la fonction $s$ en $+\infty$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{On pourra utiliser le formulaire suivant :}
\end{center}

\begin{center}
	% tableau 5, lignes 3 colones
	\begin{tabular}{ccc}
	%\hline
	% ligne 1 
	 & $\mathcal{L}$ &  \\ 
	% ligne 2
	\multicolumn{3}{c}{% dessin fleche 1
			\psset{xunit=1.2cm , yunit=1cm}
				\rput(0,.15){
					\begin{pspicture*}(-0.5,-0.3)(2.7,0.7)
						\def\xmin{-0.1} \def\xmax{2.5} \def\ymin{-0.1} \def\ymax{0.5}
					
						\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
						% variables
						\def \x0{0} \def \y0{0}
						
						\definecolor{mongris}{gray}{0.85}
						% flèche talon à gauche
						\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=mongris]
						{
						\pscurve(\x0,\y0)(0.1,0.15)(1.1,.4)
						\pscurve(.26,0.08)(0.22,0)
						\psline(0.22,0)(\x0,\y0)
						}
						
						% flèche pointe à  droite
						\pscurve(1.1,.4)(2.1,.3)(2.2,.2)
						\pscurve(1.1,.4)(1.9,.3)(2.,.2)
						\psline(2.,.2)(1.8,.2)(2.09,0)(2.35,.2)(2.2,.2)
					
					\end{pspicture*}
			}
	} \\ 
	% ligne 3 
		$f(t) \mathcal{U}(t)$ &  & $F(p)$ \\ 
	% ligne 4 
		\multicolumn{3}{c}{% dessin fleche 2
			\psset{xunit=1.2cm , yunit=1cm}
			\rput{180}(0,0.1){
				\begin{pspicture*}(-0.5,-0.3)(2.7,.7)
			
					\psset{linecolor=black, linewidth=.5pt, arrowsize=2pt 4}
					% variables
					\def \x0{0} \def \y0{0}
					
					\definecolor{mongris}{gray}{0.85}
					% flèche talon à gauche
					\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=mongris]
					{
					\pscurve(\x0,\y0)(0.1,0.15)(1.1,.4)
					\pscurve(.26,0.08)(0.22,0)
					\psline(0.22,0)(\x0,\y0)
					}
					
					% flèche pointe à  droite
					\pscurve(1.1,.4)(2.1,.3)(2.2,.2)
					\pscurve(1.1,.4)(1.9,.3)(2.,.2)
					\psline(2.,.2)(1.8,.2)(2.09,0)(2.35,.2)(2.2,.2)
				
					\end{pspicture*}	
			} % rotation à 180
		
		} \\ 
	% ligne 5
	 & $\mathcal{L}^{-1}$ &  \\ 
	%\hline 
	\end{tabular}

\end{center}

\begin{flushleft}
On rappelle les formules suivantes sur la transformation de Laplace.
	% linéarité
	\[ \mathcal{L}[ \lambda f + \mu g ] = \lambda \, \mathcal{L}[f] + \mu \, \mathcal{L}[g]. \]
	% Transformée de U(t)
	\[ \mathcal{L}[ \mathcal{U}(t)] = \dfrac{1}{p}. \]
	% Transformée d'exponentielle
	\[ \mathcal{L}[ \mathrm{e}^{-a t} \mathcal{U}(t)] = \dfrac{1}{p+a}. \]

Plus généralement, si on note $ \mathcal{L}[ f(t) \mathcal{U}(t)] = F(p) $ alors,
	% Transformée du retard
	\[ \mathcal{L}[ f(t - \tau) \mathcal{U}(t - \tau)] = F(p) \, \mathrm{e}^{- \tau p} ;\]
	% Transformée d'un produit par une exponentielle
	\[ \mathcal{L}[ f(t) \, \mathrm{e}^{-a t} \mathcal{U}(t)] = F(p+a) ;\]
	% Transformée d'une dérivée
	\[ \mathcal{L}[ f'(t) \mathcal{U}(t)] = p\,F(p) - f(0^{+}) ;\]
	% Transformée d'une dérivée seconde
	\[ \mathcal{L}[ f''(t) \mathcal{U}(t)] = p^{2}\,F(p) - p\,f(0^{+}) - f'(0^{+}) .\]
\end{flushleft}

%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{center}
%\textbf{Les parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}
%\end{center}
%
%Dans le cadre du développement d'un de ses prototypes, une marque a demandé à ses équipementiers de développer des technologies et des composants l'aidant à créer un véhicule prototype consommant moins de 1 L au 100~km. Un équipementier a conçu des billes en céramique plus légères pour les roulements du prototype. Ces billes doivent avoir un diamètre de $12,7$~mm.
%
%\bigskip
%
%\textbf{Partie A: Loi normale}
%
%\medskip
%
%On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque bille en céramique produite par l'équipementier, associe son diamètre exprimé en mm. On admet que la variable aléatoire $X$ suit la loi normale de moyenne $\mu=12,7$ et d'écart-type $\sigma$.
%
%\begin{enumerate}
%\item \emph{Cette question est une question à choix multiples. Une seule réponse est exacte. Recopier sur la copie la réponse qui vous paraît exacte. On ne demande aucune justification. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de points.}
%
%On admet que:  $P(12,6 \leqslant X \leqslant 12,8) \approx 0,95$.
%
%La valeur de l'écart-type $\sigma$ est:
%
%\begin{center}
%{\renewcommand{\arraystretch}{2}
%\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*4{>{\centering\arraybackslash}X|}}
%\hline
%$0,05$ & $0,1$ & $0,15$ & $0,2$\\ 
%\hline
%\end{tabularx}
%}
%\end{center}
%
%\item Donner la probabilité, arrondie au centième, qu'une bille prélevée au hasard dans la
%production de l'équipementier ait un diamètre strictement supérieur à $12,8$~mm.
%\end{enumerate}
%
%\bigskip
%
%\textbf{Partie B: Probabilités conditionnelles}
%
%\medskip
%
%L'équipementier propose ses billes en céramique plus légères à deux marques automobiles A et B.\\
%On choisit au hasard une bille en céramique dans la production de l'équipementier.
%
%\begin{list}{\textbullet}{On  admet que:}
%\item La probabilité que la bille soit achetée par la marque A est $0,3$.
%\item La probabilité qu'elle soit achetée par la marque B est $0,7$.
%\item Sachant qu'elle a été achetée par la marque A, la probabilité que la bille soit utilisée dans le roulement d'un nouveau prototype est $0,75$.
%\end{list}
%
%\begin{list}{\textbullet}{On note:}
%\item L'évènement $A$: \og   La bille en céramique est achetée par la marque A \fg{}.
%\item L'évènement $B$: \og La bille en céramique est achetée par la marque B\fg{}.
%\item L'évènement $R$: \og la bille en céramique vendue par l'équipementier est utilisée dans le roulement d'un nouveau prototype\fg{}.
%\end{list}
%
%\emph{$E$ et $F$ étant des évènements d'une expérience aléatoire, on désigne par $P(E)$ la probabilité que l'évènement $E$ soit réalisé; on suppose que $P(F)\neq 0$ et on note par $P_F(E)$ la probabilité que l'évènement $E$ soit réalisé sachant $F$.}
%
%\begin{enumerate}
%\item 
%\begin{enumerate}
% \item Donner la valeur de $P_A(R)$.
%\item Démontrer que : $P(A\cap R)=0,225$.
% \end{enumerate}
% 
%\item On admet que la probabilité qu'une bille en céramique vendue par l'équipementier soit
%utilisée dans le roulement d'un nouveau prototype est : $P(R)=0,9$.
%\begin{enumerate}
%\item  Justifier que $P(B\cap R)=0,675$.
%\item En déduire la valeur arrondie au centième de $P_B(R)$.
%\end{enumerate}
%
%\item Calculer la probabilité qu'une bille en céramique ait été achetée par la marque A sachant qu'elle est utilisée dans le roulement d'un nouveau prototype.
%\end{enumerate}
%
%\bigskip
%
%\textbf{Partie C: Test d'hypothèse}
%
%\medskip
%
%L'équipementier veut vérifier que les billes en céramique ont un diamètre de $12,7$~mm avant de les proposer à une marque et il commande un test d'hypothèse bilatéral au seuil de signification de 5\,\%.\\
%On note $Y$ la variable aléatoire qui, à chaque bille céramique produite par l'équipementier, associe son diamètre exprimé en mm. La variable aléatoire $Y$ suit la loi normale de moyenne $\mu$ et d'écart-type $\sigma=0,045$.\\
%On prélève au hasard un échantillon de 200 billes en céramique dans la production de l'équipementier. Celle-ci est suffisamment grande pour assimiler ce prélèvement à un tirage
%successif avec remise de 200 billes.
%
%On rappelle que la variable aléatoire $\overline Y$ qui, à tout échantillon prélevé au hasard de $n$ billes en céramique dans la production de l'équipementier, associe la moyenne des diamètres des billes, suit la loi normale de moyenne $\mu$ et d'écart-type $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$.
%
%\begin{list}{\textbullet}{}
%\item L'hypothèse nulle du test est: $H_0\;:\;\mu=12,7$;
%\item l'hypothèse alternative est : $H_1\;:\;\mu\neq 12,7$.
%\end{list}
%
%\emph{Les résultats sont arrondis au millième.}
%
%\begin{enumerate}
%\item 
%\begin{enumerate}
% \item  Sous l'hypothèse $H_0$, justifier que la variable aléatoire $\overline{Y}$ suit la loi normale de paramètres $12,7$ et d'écart-type $0,003$.
%\item Calculer la valeur du réel $h$ tel que, sous l'hypothèse $H_0$, on ait:\\
%$P(12,7-h \leqslant \overline{Y} \leqslant 12,7+h) = 0,95$.
% \end{enumerate}
% 
%\item Énoncer la règle de décision du test.
%
%\item Sur un échantillon de 200 billes en céramique prélevé au hasard dans la production de
%l'équipementier, on a relevé un diamètre moyen de 12,71 mm.\\
%L'équipementier peut-il remettre en cause le diamètre annoncé des billes en céramique?\\
%Justifier la réponse.
%\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{\Large Annexe à rendre avec la copie}
\end{center}

\begin{center}
\textbf{\large Exercice 1. Partie B. Question 3.b.}
\end{center}

\bigskip

\begin{center}
\psset{xunit=2cm, yunit=2cm,comma}
\def\xmin {-0.5}   \def\xmax {5.5}
\def\ymin {-0.5}   \def\ymax {4.5}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[unit=1cm,subgriddiv=5,  gridlabels=0, gridcolor=gray](0,0)(11,9)
\psaxes[arrowsize=3pt 3,Dx=0.5,Dy=0.5]{->}(0,0)(0,0)(\xmax,\ymax) 
\def\f{2 x mul 1 add 2.71828 x neg exp mul 3 add}
\psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0}{\xmax}{\f}
\end{pspicture*}
\end{center}

\newpage
\begin{center}
\textbf{\Large Annexe 2 (Exercice 2) à rendre avec la copie}
\end{center}
\textbf{Question 1. b.} : Courbe du signal d'entrée $e$

\begin{center}
\psset{unit=1.25cm,comma=true}
\begin{pspicture*}(-4,-3)(1.5,2.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=10]
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=0.5,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-4,-3)(1.5,2.5)
\end{pspicture*}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 4} : Tableau à compléter

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Transformée \rule[-3mm]{0mm}{9mm}&$p \longmapsto \dfrac{1}{p}$&$p \longmapsto \dfrac{1}{p+1}$&$p \longmapsto \dfrac{1}{p}\text{e}^{-p}$&$p \longmapsto \dfrac{1}{p+1}\text{e}^{-p}$\\ \hline
Original&&&&$\text{e}^{-t(t-1)}\mathcal{U}(t - 1)$\rule[-4mm]{0mm}{9mm}\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Question 6} : Courbe du signal de sortie $s$

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1.6cm,comma=true}
\begin{pspicture*}(-3,-2)(6,2)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=10]
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=0.5,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-3,-2)(6,2)
\psline[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-3,0)(0,0)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{1 2.71828 x neg exp sub}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{document}
