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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Relecture : 
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\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur Métropole}
\lfoot{\small{Groupement B2}}
\rfoot{\small{15 mai 2023}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~BTS Métropole 15 mai 2023~\decofourright\\[7pt]Groupement B2\footnote{Conception et industrialisation en microtechniques -- Électrotechnique}\\[7pt] Durée : 2 heures}}

\vspace{0,25cm}

\textbf{L'usage de calculatrice avec mode examen actif est autorisé}

\textbf{L'usage de calculatrice sans mémoire \og type collège \fg{} est autorisé}

\end{center}

\smallskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(8.2,1.6)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.2,0)(7.9,0)(7.9,1.3)(7.6,1.3)(7.6,1)(2.4,1)(2.4,0.15)(0.2,0.15)
\psline(0,0.15)(8,0.15)
\psdots(0.2,0.15)(2.4,0.15)
\uput[u](0.2,0.15){O}\uput[ur](2.4,0.15){M}
\psline[linewidth=0.6pt]{<->}(0.2,1.5)(2.4,1.5)\uput[d](1.3,1.5){$f(t)$}
\end{pspicture}
\end{center}

\smallskip

Lorsqu'un tiroir se referme, le fond du tiroir, marqué par le point M, se rapproche du
fond du meuble, marqué par le point O (voir croquis ci-dessus).

On note $f(t)$, la distance entre le point O et le point M, à l'instant $t$.

$f(t)$ est exprimée en centimètres et $t$ est exprimée en seconde.

L'instant $t = 0$ correspond au moment où l'utilisateur pousse le tiroir pour le fermer.

\medskip

\emph{Les deux parties peuvent être traitées de façon indépendante}

\medskip

\textbf{Partie A. Résolution d'une équation différentielle}

\medskip

On admet que la fonction $f$ est solution de l'équation différentielle :
\[\left(E_0\right) :\: y'' + 5y' + 4y = 0,\]
où $y$ est une fonction inconnue de la variable réelle $t$, définie et deux fois dérivable sur $[0~;~ + \infty[$, et où $y'$ est la dérivée de $y$ , et $y''$ la dérivée seconde de $y$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'équation: $r^2 + 5r + 4 = 0$.
		\item Résoudre l'équation différentielle $\left(E_0\right)$.
		
On fournit le tableau suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&Équation caractéristique:&Équation différentielle:\\
&$ar^2 + br + c = 0.$& $ay'' + by' + cy = 0$.\\ \hline
$\Delta > 0$&2 solutions réelles distinctes:

$r_1$ et $r_2$.&$y(t) = C_1\text{e}^{r_1 t}  + C_2\text{e}^{r_2 t}.$\\ \hline
$\Delta = 0$&1 solution réelle:

$r_0$.&$y(t) = \left(C_1 + C_2 t\right)\text{e}^{r_0 t}$.\\ \hline
$\Delta < 0$&\small 2 solutions complexes conjuguées.

$r_1 = \alpha + \text{i}\beta$ et $r_2 =  \alpha - \text{i}\beta$&\small $y(t) = \left[C_1 \cos(\beta t) + C_2 \sin (\beta t)\right]\text{e}^{\alpha t}$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}
\item On suppose qu'à l'instant $t = 0$, la situation est la suivante :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] le point M est situé à $20$~cm du point O.
\item[$\bullet~~$] le point M se déplace vers le point O avec une vitesse négative égale
à $- 10$ cm·s$^{-1}$.
\end{itemize}

	\begin{enumerate}
		\item En déduire la valeur de $f(0)$ et celle de $f'(0)$.
		\item On admet que :
\[f(t) = \dfrac{70}{3} \text{e}^{-t} - \dfrac{10}{3} \text{e}^{-4t}.\]

Déterminer la valeur exacte de la distance OM, deux secondes après le début de la fermeture.

		\item Le tiroir est dit \emph{fermé} lorsque la distance OM est inférieure à 0,5~cm.

Le constructeur affirme que le tiroir est \emph{fermé} en moins de $4$~secondes.

A-t-il raison ? Justifier.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B. Étude de fonction}

\medskip

On considère à nouveau la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ par :
\[f(t) = \dfrac{70}{3} \text{e}^{-t} - \dfrac{10}{3} \text{e}^{-4t}.\]

On admet que la fonction $f$ est dérivable et on note $f'$ sa fonction dérivée.

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On rappelle que $\displaystyle\lim_{u \to + \infty} \text{e}^{-u} = 0$. Déterminer $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} f(t)$.
		\item En déduire que la courbe $\mathcal{C}$ possède une asymptote dont on donnera une équation.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $f'(t)$ pour tout $t$ appartenant à $[0~;~ +\infty[$.
		\item On admet que sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ on a $f'(t) < 0$.

En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$.
	\end{enumerate}
\item On considère l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
t $\gets$ 0\\
p $\gets$ 0,1\\
s $\gets$ 0,5\\
Tant que  $(70/3)\* \text{e} \hat \:(- t) - (10/3) * \text{e} \hat \:(- 4t) > s$\\
\qquad \quad t $\gets$ t + p\\
Fin Tant que.\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Recopier le tableau ci-dessous, au besoin en rajoutant des lignes, et compléter à partir de la ligne numéro 36 jusqu'a ce que l'algorithme s'arrête.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|c|>{\small}m{3cm}|>{\small}X|}\hline
ligne			&t		&Valeur de $f(t)$&Condition\\
 &&arrondie à $10^{-2}$&(70/3)* e \textasciicircum	 (- t) - (10/3)* e\textasciicircum	 (- 4t) > s\\ \hline
ligne numéro 0	&0		&20		&VRAIE\\ \hline
ligne numéro 1	&0,1	&18,88	&VRAIE\\ \hline
ligne numéro 2	&0,2	&17,61	&VRAIE\\ \hline
				&		&		&\\ \hline
ligne numéro 36	&3,6	&\ldots	&\ldots\\ \hline
ligne numéro 37	&3,7	&\ldots	&\ldots\\ \hline
ligne numéro 38	&3,8	&\ldots	&\ldots\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\item Quelle est la valeur de la variable $t$ à la fin de l'exécution de l'algorithme ?
		
Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

%\item On note $T$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$.
%
%Un logiciel de calcul formel donne la partie régulière du développement limité à l'ordre deux de la fonction $f$ au voisinage de zéro.
%
%\begin{center}
%$\begin{array}{|l|}\hline
%f(t)\\
%\to \dfrac{70}{3}\text{e}^{-t} - \dfrac{10}{3}\text{e}^{-4t}\\
%\text{PolynômeTaylor}(f(t), t, 0, 2)\\
%\to 20 - 10t - 15t^2\\ \hline
%\end{array}$
%\end{center}
	\end{enumerate}
\item On définit $m$ la position moyenne du tiroir par:

\[m = \dfrac14\displaystyle\int_0^4 f(t)\:\text{d}t.\]

Démontrer que : $m = \dfrac{45}{8} - \dfrac{35}{6}\text{e}^{-4} + \dfrac{5}{24}\text{e}^{-16}$.
%	\begin{enumerate}
%		\item Déterminer une équation de la tangente $T$.
%	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%Les questions \textbf{b.} et \textbf{c.} sont des questions à choix multiples.
%
%Une seule  réponse est exacte.
%
%Recopier sur la copie la réponse qui vous parait exacte.
%
%On ne demande aucune justification.
%
%Une réponse fausse, une réponse multiple ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.
%
%	\begin{enumerate}[resume]
%		\item Le développement limité de $f$ à l'ordre deux au voisinage de zéro est :
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\footnotesize}X|}}\hline
%$20 -10t - 15t^2 + t^2\epsilon(t)$&$20-10t - 18t^2 + t^2\epsilon(t)$&$20-10t - 15t^2\epsilon(t)$&$ - 15t^2 + t^2\epsilon(t)$\\
%Avec $\displaystyle\lim_{t \to 0}\epsilon(t) = 0$&Avec $\displaystyle\lim_{t \to 0}\epsilon(t) = 0$&Avec $\displaystyle\lim_{t \to 0}\epsilon(t) = 0$&Avec $\displaystyle\lim_{t \to 0}\epsilon(t) = 0$\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}

%		\item On s'intéresse à la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à la tangente $T$ au
%voisinage de $0$.
%
%On peut affirmer que:
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X|}\hline
%La courbe $\mathcal{C}$ est au-dessus de la tangente $T$&La courbe $\mathcal{C}$ est en dessous de la tangente $T$.\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
%	\end{enumerate}
%\end{enumerate}

\bigskip

\newpage

\textbf{Exercice 2 \hfill 9 points}

\medskip

\begin{center}\emph{Un formulaire sur les séries de Fourier est placé à la fin de l'exercice.}\end{center}

\medskip

On considère une fonction $f$ pour laquelle on dispose des informations suivantes :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $f$ est périodique de période $T = 2 \pi$ ;
\item[$\bullet~~$] $f$ est paire.
\item[$\bullet~~$] $f(t) = \left\{\begin{array}{l c l}\dfrac{\pi}{2}&; &\text{si}\:\: 0 \leqslant t \leqslant \dfrac{\pi}{2}\\
\pi - t&;&\text{si}\:\: \dfrac{\pi}{2}\leqslant t \leqslant \pi
\end{array}\right.$
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{Sur le document-réponse}, tracer la représentation graphique de la fonction $f$ sur l'intervalle $[-2\pi~;~2\pi]$.
\item Démontrer que, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 1, on a : $b_n = 0$.
\item On note $\omega$ la pulsation associée à la fonction $f$. 

Déterminer $\omega$.
\item Démontrer que $a_0 = \dfrac{3\pi}{8}$.
\item Démontrer que, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 1, on a :

\[a_n = \displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos (nt)\:\text{d}t + \dfrac{2}{\pi}\displaystyle\int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} (\pi - t)\cos (nt)\:\text{d}t.\]

\item On admet que l'on a :
\[a_n = \dfrac{2}{\pi n^2}\left[\cos \left(\dfrac{n \pi}{2}\right) - \cos (n \pi)\right].\]

 Déterminer les valeurs exactes de $a_1$,\: $a_2$. et $a_3$.
\item En déduire que l'on a :
\[s_3(t) = \dfrac{3\pi}{8} +  \dfrac{2}{\pi}\cos (t) - \dfrac{1}{\pi}\cos (2t) + \dfrac{2}{9\pi} \cos (3t).\]

\item Indiquer, sans justifier, quelle est, parmi les trois courbes ci-après, celle qui est associée à la fonction $s_3$.

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=3.14159cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-1.2,-1)(1.2,2)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle,Dx=5,xunit=3.14159](0,0)(-1.2,-0)(1.2,2)
\psline[linewidth=1.25pt](-2.2,1.5)(-1.5,1.5)(-1,0)(-0.5,1.5)(0.5,1.5)(1,0)(1.5,1.5)(2,1.5)
\rput(0,-0.8){Courbe \no 1}
\multido{\n=-2+1}{5}{\uput[d](\n,0){\n$\pi$}}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{center}
\psset{xunit=3.14159cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-2.2,-1)(2.2,2)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle,Dx=5,ticks=all,xunit=3.14159](0,0)(-2.2,-0)(2.2,2)
\rput(0,-0.8){Courbe \no 2}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{-2.2}{2.2}{x 3 mul RadtoDeg cos 0.5 mul 1.25 add}
\multido{\n=-2+1}{5}{\uput[d](\n,0){\n$\pi$}}
\end{pspicture}
\end{center}
%
\begin{center}
\psset{xunit=3.14159cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-2.2,-1)(2.2,2)
\multido{\n=-2+1}{5}{\uput[d](\n,0){\n$\pi$}}
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle,Dx=5](0,0)(-2.2,-0)(2.2,2)
\psline[linewidth=1.25pt](-2.2,1.5)(-1.5,1.5)
\psline[linewidth=1.25pt](-0.5,1.5)(0.5,1.5)
\psline[linewidth=1.25pt](1.5,1.5)(2.2,1.5)
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{-1.5}{-0.5}{x 3 mul  RadtoDeg cos 0.2 add}
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-2.2}{2.2}{x RadtoDeg cos x 2 mul RadtoDeg cos 0.3183 mul sub x 3 mul RadtoDeg cos 0.0707 mul add 1.1781 add}
\pscurve[linewidth=1.25pt](-1.5,1.5)(-1.25,1.2)(-1,0.2)(-0.75,1.2)(-0.5,1.5)
\pscurve[linewidth=1.25pt](0.5,1.5)(0.75,1.2)(1,0.2)(1.25,1.2)(1.5,1.5)
\rput(0,-0.8){Courbe \no 3}
\end{pspicture}
\end{center}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item On note $P = \left(a_0\right)^2 + \dfrac12\left[\left(a_1\right)^2 + \left(a_2\right)^2 + \left(a_3\right)^2\right]$.

Donner une valeur approchée de $P$ à $10^{-4}$.
		\item  On note $F$ la valeur efficace de la fonction $f$.

On admet que $F^2 = \dfrac{\pi^2}{6}$.

On sait que $P$ constitue une approximation de $F^2$.

On cherche à déterminer le pourcentage d'erreur de cette approximation.

\textbf{Cette question est une question à choix multiples.\\
Une seule réponse est exacte.\\
Recopier sur la copie la réponse qui vous parait exacte.\\
On ne demande aucune justification.}

Le pourcentage d'erreur de cette approximation est égal à :
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
0,1\,\%& 1\,\%& 10\,\%\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

%\textbf{Exercice 3 \hfill 3 points}
%
%\medskip
%
%On s'intéresse à un magasin de vélos.
%
%\bigskip
%
%Le magasin décide de prêter gratuitement pendant un jour des vélos à des clients dans l'espoir que cela débouche sur une vente.
%
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$]80\,\% des vélos prêtés sont des vélos électriques.
%
%$\to $ Cela débouche sur une vente dans 60\,\% des cas.
%\item[$\bullet~~$]20\,\% des vélos prêtés sont des vélos mécaniques.
%
%$\to $ Cela débouche sur une vente dans 70\,\ des cas.
%\end{itemize}
%
%\medskip
%
%On choisit au hasard l'un des vélos prêtés. On considère les évènements suivants : 
%
%\begin{description}
%\item[ ] $E$ : \og il s'agit d'un vélo électrique \fg
%\item[ ] $V$ : \og le prêt débouche sur une vente\fg.
%\end{description}
%
%\medskip
%
%\begin{minipage}{0.48\linewidth}
%\begin{enumerate}
%\item Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-contre décrivant la situation.
%\item Déterminer la probabilité $p(E \cap V)$.
%\item Démontrer que la probabilité que le prêt débouche sur une vente est égale à $0,62$.
%\item On considère un vélo pour lequel le prêt a débouché sur une vente.
%
%Quelle est la probabilité qu'il s'agisse d'un vélo électrique ? Arrondir à $10^{-3}$.
%\end{enumerate}
%\end{minipage}\hfill
%\begin{minipage}{0.48\linewidth}
%\begin{center}
%\pstree[treemode=R,nodesepB=3pt,levelsep=2.75cm]{\TR{}}
%{\pstree{\TR{$E$~~}\naput{0,8}}
%	{\TR{$V$}\naput{\ldots}
%	\TR{$\overline{V}$}\nbput{\ldots}
%	}
%\pstree{\TR{$\overline{E}$~~}\nbput{\ldots}}
%	{\TR{$V$}\naput{\ldots}
%	\TR{$\overline{V}$}\nbput{\ldots}
%	}
%}
%\end{center}
%\end{minipage}

\newpage

\begin{center}\textbf{Formulaire sur les séries de Fourier}
\end{center}

\bigskip

$f$ est une fonction périodique de période $T$ et de pulsation $\omega = \dfrac{2\pi}{T}$.

\bigskip

Développement en série de Fourier de la fonction $f$ :

\begin{center}
\[s(t) = a_0 + \displaystyle\sum_{n=1}^{+ \infty}\left[a_n \cos (n \omega t) + b_n \sin (n \omega t)\right].\]

\[s_n(t) = a_0 + \displaystyle\sum_{n=1}^{n}\left[a_n \cos (n \omega t) + b_n \sin (n \omega t) \right].\]

\[a_0 = \dfrac{1}{T}\displaystyle\int_0^T f(t)\:\text{d}t.\]

\[a_n = \dfrac{2}{T}\displaystyle\int_0^T f(t)\cos (n \omega t) \:\text{d}t\quad (n \geqslant 1).\]

\[b_n = \dfrac{2}{T}\displaystyle\int_0^T f(t)\sin (n \omega t) \:\text{d}t\quad (n \geqslant 1).\]

$\to$ Lorsque la fonction $f$ est paire, on a :

\[a_n = \dfrac{4}{T}\displaystyle\int_0^{\frac T2} f(t)\cos (n \omega t) \:\text{d}t\quad (n \geqslant 1).\]
\end{center}
\newpage

\begin{center}\textbf{DOCUMENT-RÉPONSE\\[10pt]
(À rendre avec la copie)}\end{center}

\bigskip

\textbf{EXERCICE 2}

\bigskip

\textbf{Question 1.}

\bigskip

\begin{center}
\psset{xunit=1.2570796cm,yunit=2cm}
\begin{pspicture}(-3.4,-1)(3.4,2)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle,Dx=5,Dy=3,xunit=1.570796,ticks=x](0,0)(-3.4,-1)(3.4,2)
%\multido{\n=-4+2}{5}{\uput[d](\n,0){\n$\pi$}}
%\multido{\n=-3+2.0}{4}{\uput[d](\n,0){\n$\frac{\pi}{2}$}}
\uput[l](0,1.5){$\frac{\pi}{2}$}
%\uput[l](0,-1.5){$-\frac{\pi}{2}$}
\uput[d](-3,0){$\frac{-3\pi}{2}$}\uput[d](-1,0){$\frac{-\pi}{2}$}
\uput[d](1,0){$\frac{\pi}{2}$}\uput[d](3,0){$\frac{3\pi}{2}$}
\uput[d](-4,0){\small $-2\pi$}\uput[d](-2,0){\small $-\pi$}
\uput[d](4,0){\small $2\pi$}\uput[d](2,0){\small $\pi$}
\multido{\n=-4+1}{9}{\psline(\n,-0.05)(\n,0.05)}
\psline(-0.1,1.5)(0.1,1.5)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}