\documentclass[11pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{graphicx} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{enumitem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo} %Tapuscrit : Denis Vergès %Relecture : \usepackage{pst-plot,pst-text,pst-node,pst-tree,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\barre}[1]{\overline{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {BTS}, pdftitle = {Métropole 15 mai 2023}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage[french]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Brevet de technicien supérieur Métropole} \lfoot{\small{Groupement B1}} \rfoot{\small{15 mai 2023}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~BTS Métropole 15 mai 2023~\decofourright\\[7pt]Groupement B1}\footnote{ Aéronautique, Assistance technique d'ingénieur,Bâtiment, Conception et réalisation de carrosseries, Conception et réalisation des systèmes automatiques, Enveloppe des bâtiments : conception et réalisation, Environnement nucléaire, Fluides - énergies - domotique (3 options), Maintenance des systèmes (3 options), Traitement des matériaux (2 options), Travaux publics}} \vspace{0,25cm} \textbf{L'usage de calculatrice avec mode examen actif est autorisé} \textbf{L'usage de calculatrice sans mémoire \og type collège \fg{} est autorisé} \textbf{Durée : 2 heures} \end{center} \smallskip \textbf{Exercice 1 \hfill 10 points} \begin{center} \psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture}(8.2,1.6) \pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.2,0)(7.9,0)(7.9,1.3)(7.6,1.3)(7.6,1)(2.4,1)(2.4,0.15)(0.2,0.15) \psline(0,0.15)(8,0.15) \psdots(0.2,0.15)(2.4,0.15) \uput[u](0.2,0.15){O}\uput[ur](2.4,0.15){M} \psline[linewidth=0.6pt]{<->}(0.2,1.5)(2.4,1.5)\uput[d](1.3,1.5){$f(t)$} \end{pspicture} \end{center} \smallskip Lorsqu'un tiroir se referme, le fond du tiroir, marqué par le point M, se rapproche du fond du meuble, marqué par le point O (voir croquis ci-dessus). On note $f(t)$, la distance entre le point O et le point M, à l'instant $t$. $f(t)$ est exprimée en centimètres et $t$ est exprimée en seconde. L'instant $t = 0$ correspond au moment où l'utilisateur pousse le tiroir pour le fermer. \medskip \emph{Les deux parties peuvent être traitées de façon indépendante} \medskip \textbf{Partie A. Résolution d'une équation différentielle} \medskip On admet que la fonction $f$ est solution de l'équation différentielle : \[\left(E_0\right) :\: y'' + 5y' + 4y = 0,\] où $y$ est une fonction inconnue de la variable réelle $t$, définie et deux fois dérivable sur $[0~;~ + \infty[$, et où $y'$ est la dérivée de $y$ , et $y''$ la dérivée seconde de $y$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Résoudre l'équation: $r^2 + 5r + 4 = 0$. \item Résoudre l'équation différentielle $\left(E_0\right)$. On fournit le tableau suivant : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline &Équation caractéristique:&Équation différentielle:\\ &$ar^2 + br + c = 0.$& $ay'' + by' + cy = 0$.\\ \hline $\Delta > 0$&2 solutions réelles distinctes: $r_1$ et $r_2$.&$y(t) = C_1\text{e}^{r_1 t} + C_2\text{e}^{r_2 t}.$\\ \hline $\Delta = 0$&1 solution réelle: $r_0$.&$y(t) = \left(C_1 + C_2 t\right)\text{e}^{r_0 t}$.\\ \hline $\Delta < 0$&\small 2 solutions complexes conjuguées. $r_1 = \alpha + \text{i}\beta$ et $r_2 = \alpha - \text{i}\beta$&\small $y(t) = \left[C_1 \cos(\beta t) + C_2 \sin (\beta t)\right]\text{e}^{\alpha t}$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \end{enumerate} \item On suppose qu'à l'instant $t = 0$, la situation est la suivante : \begin{itemize} \item[$\bullet~~$] le point M est situé à $20$~cm du point O. \item[$\bullet~~$] le point M se déplace vers le point O avec une vitesse négative égale à $- 10$ cm·s$^{-1}$. \end{itemize} \begin{enumerate} \item En déduire la valeur de $f(0)$ et celle de $f'(0)$. \item On admet que : \[f(t) = \dfrac{70}{3} \text{e}^{-t} - \dfrac{10}{3} \text{e}^{-4t}.\] Déterminer la valeur exacte de la distance OM, deux secondes après le début de la fermeture. Le tiroir est dit \emph{fermé} lorsque la distance OM est inférieure à 0,5~cm. Le constructeur affirme que le tiroir est \emph{fermé} en moins de $4$~secondes. A-t-il raison ? Justifier. \end{enumerate} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B. Étude de fonction} \medskip On considère à nouveau la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ par : \[f(t) = \dfrac{70}{3} \text{e}^{-t} - \dfrac{10}{3} \text{e}^{-4t}.\] On admet que la fonction $f$ est dérivable et on note $f'$ sa fonction dérivée. On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$. \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On rappelle que $\displaystyle\lim_{u \to + \infty} \text{e}^{-u} = 0$. Déterminer $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} f(t)$. \item En déduire que la courbe $\mathcal{C}$ possède une asymptote dont on donnera une équation. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer $f'(t)$ pour tout $t$ appartenant à $[0~;~ +\infty[$. \item On admet que sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ on a $f'(t) < 0$. En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$. \end{enumerate} \item On considère l'algorithme suivant : \begin{center} \begin{tabular}{|l|}\hline t $\gets$ 0\\ p $\gets$ 0,1\\ s $\gets$ 0,5\\ Tant que (70/3)* e \^\: (- t) - (10/3)*e \^\: (- 4t) $>$ s\\ \qquad \quad t $\gets$ t + p\\ Fin Tant que.\\ \hline \end{tabular} \end{center} \begin{enumerate} \item Recopier le tableau ci-dessous, au besoin en rajoutant des lignes, et compléter à partir de la ligne numéro 36 jusqu'a ce que l'algorithme s'arrête. \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|c|>{\small}m{3cm}|>{\small}X|}\hline ligne &t &Valeur de $f(t)$&Condition\\ &&arrondie à $10^{-2}$&(70/3)* e \textasciicircum (- t) - (10/3)* e\textasciicircum (- 4t) > s\\ \hline ligne numéro 0 &0 &20 &VRAIE\\ \hline ligne numéro 1 &0,1 &18,88 &VRAIE\\ \hline ligne numéro 2 &0,2 &17,61 &VRAIE\\ \hline & & &\\ \hline ligne numéro 36 &3,6 &\ldots &\ldots\\ \hline ligne numéro 37 &3,7 &\ldots &\ldots\\ \hline ligne numéro 38 &3,8 &\ldots &\ldots\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item Quelle est la valeur de la variable $t$ à la fin de l'exécution de l'algorithme ? Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice. \end{enumerate} \item On note $T$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$. Un logiciel de calcul formel donne la partie régulière du développement limité à l'ordre deux de la fonction $f$ au voisinage de zéro. \begin{center} $\begin{array}{|l|}\hline f(t)\\ \to \dfrac{70}{3}\text{e}^{-t} - \dfrac{10}{3}\text{e}^{-4t}\\ \text{PolynômeTaylor}(f(t), t, 0, 2)\\ \to 20 - 10t - 15t^2\\ \hline \end{array}$ \end{center} \begin{enumerate} \item Déterminer une équation de la tangente $T$. \end{enumerate} Les questions \textbf{b.} et \textbf{c.} sont des questions à choix multiples. Une seule réponse est exacte. Recopier sur la copie la réponse qui vous parait exacte. On ne demande aucune justification. Une réponse fausse, une réponse multiple ou une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point. \begin{enumerate}[resume] \item Le développement limité de $f$ à l'ordre deux au voisinage de zéro est : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\footnotesize}X|}}\hline $20 -10t - 15t^2 + t^2\epsilon(t)$&$20-10t - 18t^2 + t^2\epsilon(t)$&$20-10t - 15t^2\epsilon(t)$&$ - 15t^2 + t^2\epsilon(t)$\\ Avec $\displaystyle\lim_{t \to 0}\epsilon(t) = 0$&Avec $\displaystyle\lim_{t \to 0}\epsilon(t) = 0$&Avec $\displaystyle\lim_{t \to 0}\epsilon(t) = 0$&Avec $\displaystyle\lim_{t \to 0}\epsilon(t) = 0$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \item On s'intéresse à la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à la tangente $T$ au voisinage de $0$. On peut affirmer que: \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X|}\hline La courbe $\mathcal{C}$ est au-dessus de la tangente $T$&La courbe $\mathcal{C}$ est en dessous de la tangente $T$.\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \end{enumerate} \end{enumerate} \newpage \textbf{Exercice 2 \hfill 10 points} \medskip \begin{center}\emph{Les trois parties peuvent être traitées de façon indépendante}\end{center} \smallskip On s'intéresse à un magasin de vélos. \bigskip \textbf{Partie A. Probabilités conditionnelles} \medskip Le magasin décide de prêter gratuitement pendant un jour des vélos à des clients dans l'espoir que cela débouche sur une vente. \begin{itemize} \item[$\bullet~~$]80\,\% des vélos prêtés sont des vélos électriques. $\to $ Cela débouche sur une vente dans 60\,\% des cas. \item[$\bullet~~$]20\,\% des vélos prêtés sont des vélos mécaniques. $\to $ Cela débouche sur une vente dans 70\,\% des cas. \end{itemize} \medskip On choisit au hasard l'un des vélos prêtés. On considère les évènements suivants : \begin{description} \item[ ] $E$ : \og il s'agit d'un vélo électrique \fg \item[ ] $V$ : \og le prêt débouche sur une vente\fg. \end{description} \medskip \begin{minipage}{0.48\linewidth} \begin{enumerate} \item Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-contre décrivant la situation. \item Déterminer la probabilité $p(E \cap V)$. \item Démontrer que la probabilité que le prêt débouche sur une vente est égale à $0,62$. \item On considère un vélo pour lequel le prêt a débouché sur une vente. Quelle est la probabilité qu'il s'agisse d'un vélo électrique ? Arrondir à $10^{-3}$. \end{enumerate} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.48\linewidth} \begin{center} \pstree[treemode=R,nodesepB=3pt,levelsep=2.75cm]{\TR{}} {\pstree{\TR{$E$~~}\naput{0,8}} {\TR{$V$}\naput{\ldots} \TR{$\overline{V}$}\nbput{\ldots} } \pstree{\TR{$\overline{E}$~~}\nbput{\ldots}} {\TR{$V$}\naput{\ldots} \TR{$\overline{V}$}\nbput{\ldots} } } \end{center} \end{minipage} \bigskip \textbf{Partie B. Loi binomiale} \medskip Le magasin assure aussi la réparation de vélos. On sait que, dans $62$\,\% des cas, la réparation d'un vélo nécessite moins d'une heure de main-d'œuvre. On considère un échantillon aléatoire de $80$ vélos réparés. On note $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de ceux dont la réparation a nécessité moins d'une heure de main-d'œuvre. \medskip \begin{enumerate} \item On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Donner ses paramètres. \item Déterminer la probabilité $P(X = 40)$. Arrondir à $10^{-3}$. \item Déterminer la probabilité que, dans l'échantillon, le nombre de vélos nécessitant moins d'une heure de main d'œuvre soit strictement supérieur au nombre de vélos nécessitant plus d'une heure de main d'œuvre. Arrondir à $10^{-3}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C. Intervalle de confiance} \medskip Le magasin souhaite estimer la proportion $p$ des clients susceptibles d'acheter un modèle haut de gamme. Pour cela, on prélève un échantillon aléatoire de $90$ clients. Ce prélèvement peut être assimilé à un tirage au sort avec remise. On constate que, sur les $90$ clients de l'échantillon, $54$ sont susceptibles d'acheter le modèle haut de gamme. \medskip \begin{enumerate} \item Donner une estimation ponctuelle $f$ de la proportion inconnue $p$ des clients susceptibles d'acheter le modèle haut de gamme. \item Soit $F$ la variable aléatoire, qui, à tout échantillon aléatoire de $90$ clients, associe la fréquence des clients susceptibles d'acheter le modèle haut de gamme. On suppose que la variable aléatoire $F$ suit une loi normale de moyenne inconnue $p$ et d'écart-type $\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}$. On fournit la formule ci-dessous: \begin{center} \renewcommand\arraystretch{2.2} \begin{tabular}{|c|}\hline Intervalle de confiance d'une proportion à $95$\,\%\\ \hline $\left[f - 1,96\sqrt{\dfrac{f(1 - f)}{n}}~;~f + 1,96\sqrt{\dfrac{f(1 - f)}{n}}\right]$\rule[-5mm]{0mm}{10mm}\\ \hline \end{tabular} \end{center} \begin{enumerate} \item Déterminer un intervalle de confiance, au niveau de confiance de 95\,\%, de la proportion $p$. \item Est-on certain que la proportion $p$ appartienne à cet intervalle de confiance ? \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}