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%Merci à Jacques Nguyen   de nous avoir communiqué ce sujet 
%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Nouvelle--Calédonie Groupe A}}
\rfoot{\small{novembre 2012}}
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\pagestyle{fancy}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
 {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\ novembre 2012 - groupement A Nouvelle-Calédonie}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

Une entreprise fabrique des appareils électroniques en grande série. En vue d'améliorer sa production, elle effectue une étude. La partie A de cet exercice s'intéresse à la phase de fabrication de ce produit ; la partie B, au temps de bon fonctionnement d'un produit ne présentant pas de défaut de fonctionnement en fin de fabrication.

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment. 

Les résultats seront arrondis à $10^{-2}$ près.

\bigskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
Un composant électronique entrant dans la fabrication de ce type d'appareil peut se révéler défectueux et induire un défaut de fonctionnement de cet appareil.
 
On prélève 50 appareils dans la production d'un jour donné. La production est assez importante pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise.
 
On note $E$ l'évènement : \og Un appareil présente un défaut de fonctionnement \fg.  

On admet que $P(E) = 0,016$.
 
On considère la variable aléatoire X qui, à tout prélèvement de 50 appareils, associe le nombre d'appareils présentant un défaut de fonctionnement.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On admet que la variable aléatoire X suit une loi binomiale. Préciser les paramètres de cette loi. 
\item Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, il n'y ait aucun appareil présentant un défaut de fonctionnement. 
\item Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, il y ait au plus deux appareils présentant un défaut de fonctionnement.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
Le but de cette partie est de trouver une solution particulière, notée $F$, de l'équation différentielle $(E)$ suivante : 

\[10^4 y' + 4y = 4.\]

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle sans second membre 

\[10^4 y' + 4y = 0.\]

\item Montrer que la fonction $h$, définie pour tout réel $t$, par $h(t) = 1$ est solution de l'équation 	différentielle $(E)$. 
\item Exprimer les solutions de l'équation différentielle $(E)$. 
\item En déduire la solution particulière $F$ telle que $F(0) = 0$.
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip
 
Dans cette partie, on s'intéresse aux appareils ne présentant pas de défaut en fin de fabrication et à leur durée de bon fonctionnement. On considère cette durée, exprimée en heures, comme une variable aléatoire $T$ prenant des valeurs positives ou nulles.
 
On admet que pour tout nombre réel $t$ positif ou nul, on a : 

\[P(T \leqslant t) = 1 - \text{e}^{\np{-0,0004}t}.\]
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité 

\[P (T \leqslant 600).\]
 
		\item En déduire la probabilité qu'un appareil fonctionne encore après $600$~heures d'utilisation.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le plus grand nombre entier $t_{0}$ tel que 

\[P(T > t_{0}) \geqslant 0,95.\]
 
		\item L'emballage de cet appareil porte la mention \og durée de fonctionnement supérieure à $100$~heures \fg. Pour un appareil choisi au hasard, la probabilité que cette mention soit fausse est-elle inférieure à $0,05$ ?
	\end{enumerate} 
\item On admet que la moyenne de temps de bon fonctionnement d'un appareil électronique est définie par : 

\[E(T) = \np{0,0004}\int_{0}^{+ \infty}   	t\text{e}^{-\np{0,0004}t}\: \text{d}t.\]
 
On pose : 

\[I(\alpha) = \np{0,0004}\int_{0}^{\alpha} t\text{e}^{-\np{0,0004}t}\: \text{d}t.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide d'une intégration par parties, montrer que : 

\[I(\alpha) = - \alpha \text{e}^{-\np{0,0004}\alpha} - \dfrac{1}{\np{0,0004}}\text{e}^{-\np{0,0004}\alpha} + \dfrac{1}{\np{0,0004}}.\] 
 	 
		\item Donner la limite de $I(\alpha)$ lorsque $\alpha$ tend vers $+ \infty$. On rappelle que 
		
$\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x \text{e}^x = 0.$ 
		\item En déduire la valeur de $E(T)$ exprimée en heures. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

Dans cet exercice, on étudie un filtre passe haut dont le schéma est représenté ci-dessous. 


\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6,2.5)
\pnode(0,0){A}\pnode(6,0){B}\pnode(0,2){C}\pnode(6,2){D}
\pnode(3,0){E}\pnode(3,2){F}\resistor(E)(F){$R$}\pnode(2,2){G}
\psline(2,2)(6,2) \psline(0,0)(6,0)
\capacitor(C)(G){$C$}
\end{pspicture}
\end{center}

$R, C$ et $\omega$ désignent des nombres réels strictement positifs.
 
La transmitance isochrone de ce filtre a pour expression $T(\text{j} \omega) = 	\dfrac{R}{R + \frac{1}{C \omega \text{j}}}$ où j désigne le  nombre complexe de module 1 et d'argument $\frac{\pi}{2}$.

\bigskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que 
		 
\[T(\text{j}w) = \dfrac{RC \omega}{RC \omega - \text{j}}.\]
 
		\item On pose $x = RC \omega$.
		 
Montrer que le module du nombre complexe $T(\text{j}w)$ est : 


\[|T(\text{j}w)| = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}.\]

	\end{enumerate} 
\item Le gain en puissance, $G_{\text{db}}$ exprimé en décibels (db) est défini par la relation
 
\[G_{\text{db}}(x) = 20 \log \left(\dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}\right)\]
 
où log désigne la fonction logarithme décimal. 

La courbe représentative de la fonction $G_{\text{db}}$ est donnée à l'annexe 1.
 
La fréquence de coupure du circuit est la fréquence pour laquelle le gain en puissance est égal à $- 3$~db. 
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant la courbe de l'annexe 1, déterminer graphiquement la valeur de $x$ pour laquelle le gain est égal à $- 3$~db. 
		\item On rappelle que la fréquence $f$ vérifie la relation $\omega = 2\pi f$. À l'aide de la valeur de $x$ trouvée précédemment, exprimer la fréquence de coupure en fonction de $R$ et $C$. 
	\end{enumerate} 
\item On pose $h(x) = \dfrac{x}{x - \text{j}}$ pour tout nombre réel $x$ strictement positif.  
	\begin{enumerate}
		\item On admet que l'ensemble des points $M$ d'affixe $h(x)$ lorsque $x$ décrit l'ensemble des nombres réels strictement positifs, est le demi-cercle $C$ de diamètre [OA] représenté sur le document réponse 1.
		 
Le nombre complexe $h\left(\sqrt{3}\right)$ est l'affixe d'un point $M_{0}$ du demi-cercle $C$.
 
Calculer le nombre complexe $h\left(\sqrt{3}\right)$, puis placer sur le document réponse 1 le point $M_{0}$. 
		\item Sur le demi-cercle $C$, on a placé le point $M_{1}$.
		 
Déterminer la valeur du nombre réel $x$ pour lequel le nombre complexe $h(x)$ est l'affixe du point $M_{1}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
Pour la suite, on suppose que $R = 200$ ohms et $C = 0,01$ farads.
 
Le signal d'entrée du circuit est une tension $e$ et le signal de sortie est une tension $s$.
 
Les fonctions $e$ et $s$ sont des fonctions causales, c'est-à-dire que pour tout nombre réel $t$ strictement négatif on a $e(t) = s(t) = 0$.
 
Les fonctions $e$ et $s$ admettent des transformées de Laplace respectives $E$ et $S$ vérifiant :
 
\[S(p) = H(p) \times E(p)\quad \text{où} \quad  H(p) = \dfrac{2p}{2p + 1}.\]
 
\begin{enumerate}
\item On désigne par $\mathcal{U}$ la fonction échelon unité définie par $\mathcal{U}(t) = 0$ pour tout nombre réel $t$ strictement négatif et par $\mathcal{U}(t) = 1$ pour tout nombre réel $t$ positif ou nul.
 
Le signal d'entrée $e$ est tel que, pour tout nombre réel $t$ : 

\[e(t) = \mathcal{U}(t) - \mathcal{U}(t - 1).\]
 
Déterminer la transformée de Laplace $E(p)$ de la fonction $e$. 
\item Prouver que $S(p) = \dfrac{1}{p + 0,5} - \dfrac{\text{e}^{- p}}{p + 0,5 }$. 
		 	
\item
	\begin{enumerate}
		\item En déduire $s(t)$ pour tout réel $t$. 
		\item Donner une expression simplifiée de $s(t)$ pour tout réel $t$ de l'intervalle [0~;~1[.
		 
Cette expression est-elle en concordance avec le graphique du document réponse 2 ? 
		\item Vérifier que $s(t) = \left(1 - \text{e}^{0,5}\right)\text{e}^{- 0,5t}$ pour tout réel $t$ supérieur ou égal à 1. 
		\item Compléter le graphe de la fonction $s$ sur le document réponse 2, pour $t$ appartenant à l'intervalle [1~;~3]. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}{\large \textbf{Annexe 1}}

\vspace{2cm}

\psset{xunit=1cm,yunit=2cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-6,-1)(16,6)
\rput{90}(0,0){\begin{pspicture}(-2,-6)(16,0.1)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=20,Dy=20]{->}(0,0)(-1,-6)(16,1)
\multido{\n=0+-1}{7}{\rput(-0.3,\n){$\n$}}
\multido{\n=0+-1}{7}{\psline(0,\n)(0.2,\n)}
\multido{\n=0+1}{16}{\rput(\n,0.2){$\n$}}
\multido{\n=0+1}{16}{\psline(\n,0)(\n,-0.1)}
\uput[dl](0,0){O}\rput(16,0.2){$x$}\rput(-0.2,1){$y$}
\psplot[plotpoints=6000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.58}{16}{x x 2 exp 1 add sqrt div log 20 mul}
\end{pspicture}}
\end{pspicture}
 
\end{center}
\newpage
\begin{center}{\large \textbf{Document réponse 1}}

\vspace{5cm}

\psset{unit=8cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.1,-0.05)(1.1,0.625)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.25,Dy=0.2](0,0)(-0.1,-0.05)(1.1,0.625)
\psdots[dotscale=1.5](0,0)(1,0)(0.5,0.5)(0.5,0)
\psarc[linewidth=1.5pt](0.5,0){0.5}{0}{180}
\uput[dl](0,0){O}\uput[ur](1,0){A}\uput[u](0.5,0.5){$M_{1}$}\uput[ur](0.5,0){$\Omega$}
\end{pspicture} 
\end{center}
\newpage

\begin{center}
{\large \textbf{Document réponse 2}}

\vspace{4cm}

\psset{unit=2.7cm,comma=true}
\def\pshlabel#1{\footnotesize $#1$}
\def\psvlabel#1{\footnotesize $#1$}
\begin{pspicture*}(-0.6,-1.1)(3.9,1.25)
\psgrid[gridlabels=0pt,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange,subgridwidth=0.2pt,subgridcolor=orange](-0.6,-1.1)(3.9,1.2)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.2,Dy=0.2](0,0)(-0.6,-1.1)(3.9,1.2)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{2.71828 0.5 x mul neg exp}
\end{pspicture*}
\end{center}


















\newpage

\end{document}