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%Merci à Jacques Nguyen et à Karine Dulhoste  de nous avoir communiqué ce sujet 
%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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pdftitle = {Nouvelle Calédonie  2013},
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\begin{document}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Nouvelle--Calédonie Groupe A}}
\rfoot{\small{novembre 2013}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}

\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur  novembre 2013~\decofourright\\ groupement A Nouvelle-Calédonie}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 11 points}

\medskip

\textbf{Les trois parties peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre.}

\medskip
 
\section{Partie A}
 
Soit l'équation différentielle :
 
\[y'' + 40y' + \np{2000}y = 0 \hfill (1)\] 

dans laquelle $y$ est une fonction de la variable réelle $t$, définie et deux fois dérivable sur l'ensemble des nombres réels.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la solution générale de l'équation différentielle (1). 
\item On considère la fonction $f$, définie sur l'ensemble des nombres réels par 

\[f(t) = \text{e}^{- 20t} \sin (40t).\]
 
La courbe représentative $\Gamma$ de la fonction $f$ figure sur le document réponse \no 1.
 
On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. On admet que, pour tout nombre réel $t$,
 
\[f'(t) = \text{e}^{- 20t}[40 \cos (40t) - 20 \sin (40t)].\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que la fonction $f$ est une solution de l'équation différentielle (1) puis que $f(0) = 0$ et $f'(0) = 40$. 
		\item Le développement limité, à l'ordre 2 au voisinage de $0$, de la fonction $f$ s'écrit sous la forme
		 
\[f(t) = 40t - 800t^2 + t^2 \epsilon(t),\quad  \text{avec }\: \displaystyle\lim_{t \to 0}  \,\epsilon(t) = 0.\] 

		\begin{enumerate}
			\item Donner une équation de la tangente $T$ à la courbe $\Gamma$ au point d'abscisse $0$. 
			\item Étudier la position relative de la courbe $\Gamma$ par rapport à la tangente $T$ au voisinage de $0$. 
			\item Sur le document réponse \no 1, tracer la droite $T$.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\section{Partie B}
 
On désigne par $U$ la fonction échelon unité, définie pour tout nombre réel $t$ par :
 
\[\left\{\begin{array}{l c l }
U(t) &=& 0\quad  \text{si}\: t < 0\\
U(t)&=&1\quad  \text{si}\: t \geqslant 0
\end{array}\right.\] 

On considère le filtre suivant :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3.25)
\psline(0,0)(8,0)
\psline[arrowsize=3pt 2]{->}(8,0.1)(8,2.5)
\psline[arrowsize=3pt 2]{->}(0,0.1)(0,2.5)
\psline[arrowsize=3pt 2]{->}(4,2.5)(8,2.5)
\pnode(0,2.5){A}\pnode(2.5,2.5){B}\pnode(4,2.5){C}
\pnode(4,0){D}
\resistor(C)(D){$R$}
\capacitor(B)(C){$C$}
\coil[dipolestyle=elektorcurved](A)(B){$L$}
\uput[l](0,1.5){$e(t)$}
\uput[r](8,1.5){$s(t)$}
\uput[u](7.6,2.5){$i_{s} = 0$}
\end{pspicture}
\end{center}

Les constantes $R, L$ et $C$ sont des réels strictement positifs caractéristiques du circuit. 

À l'entrée de ce filtre, on applique une tension modélisée par une fonction $e$.
 
En sortie, on recueille une tension modélisée par une fonction $s$.
 
Les éléments du circuit sont traversés par un même courant et l'intensité à la sortie, notée $i_{s}$, est nulle.
 
On suppose que les deux fonctions $e$ et $s$ sont nulles pour tout nombre réel $t$ strictement négatif et qu'elles admettent des transformées de Laplace notées respectivement $E$ et $S$.
 
Les fonctions $e$ et $s$ sont telles que, pour tout nombre réel $t$ strictement positif, 

\[\dfrac{\text{d}s}{\text{d}t} + \dfrac{R}{L}s(t) + \dfrac{1}{LC}\displaystyle\int_{0}^t s(u)\text{d}u = \dfrac{R}{L}e(t). \qquad (2)\]
 
De plus, $s(0) = 0$. On suppose que 

\[R = 20~\Omega,\quad  L = 0,5~\text{H}\quad  \text{et}\quad  C = 0,001~\text{F}.\]
 
\begin{enumerate}
\item La fonction $e$ est définie, pour tout nombre réel $t$, par 

\[e(t) = U(t).\]
 
Déterminer $E(p)$. 
\item En appliquant la transformation de Laplace aux deux membres de la relation (2), déterminer une expression de $S(p)$. 
\item Vérifier que 
 
\[S(p) = \dfrac{40}{(p + 20)^2 + 40^2}.\]


\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'original  de $\dfrac{40}{p^2 + 40^2}$. 
		\item En déduire l'expression de $s(t)$ pour tout nombre réel $t$ positif ou nul. 
		\item La courbe représentative de la fonction $s$ est tracée sur l'annexe \no 1.
		 
Déterminer graphiquement une valeur approchée à $0,01$~près du nombre réel $t_{1}$ à partir duquel la valeur absolue de $s(t)$ est strictement inférieure à $0,05$, c'est-à-dire à partir duquel, pour tout réel $t > t_{1}$, $|s (t)| \leqslant  0,05$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 9 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
Un signal est modélisé par la fonction $f$, paire et périodique de période $2\pi$, définie pour tout nombre réel $t$ par :

\[\left\{\begin{array}{l c l c l} 
f(t) &=& \dfrac{\pi}{2} - t	&\text{si}& t \in  \left[0~;~\frac{\pi}{2}\right[\\ 
f(t) &=& 0					&\text{si}& t \in \left[\frac{\pi}{2}~;~\pi\right]
\end{array}\right.\]
 
\begin{enumerate}
\item Représenter graphiquement la fonction $f$ sur l'intervalle $[- 2\pi~;~4\pi]$ sur la figure 1 du document réponse \no 2. 
\item On admet que la fonction $f$ est développable en série de Fourier.
 
Dans la suite de l'exercice, $a_{0},\: a_{n}$ et $b_{n}$ désignent les coefficients du développement en série de Fourier de la fonction $f$, avec les notations du formulaire. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $a_{0} = \dfrac{\pi}{8}$. 
		\item Justifier que $b_{n} = 0$ pour tout nombre entier $n$ supérieur ou égal à 1. 
		\item À l'aide d'une intégration par parties, montrer que 

\[\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \left(\dfrac{\pi}{2} - t\right) \cos(t) \text{d}t = 1.\]
 
		\item En déduire la valeur exacte de $a_{1}$.
	\end{enumerate} 
\item On pose $A_{0} = a_{0}$. Pour tout nombre entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, on note $A_{n}$ l'amplitude de l'harmonique de rang $n$. On rappelle que 

$A_{n} = \sqrt{a_{n}^2 + b_{n}^2}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Sur la figure 1 de l'annexe \no 2, on a construit le diagramme en bâtons donnant $A_{n}^2$ en fonction de $n$ jusqu'à $n = 5$. 

Pour tout nombre entier $n \geqslant 5$, l'amplitude $A_{n}$ est négligeable. 

À l'aide de ce diagramme, compléter le tableau 1 du document réponse \no 2 avec des valeurs approchées à $10^{-2}$ près. 
		\item On note $P$ la puissance moyenne du signal modélisé par la fonction $f$, exprimée en fonction de ses coefficients de Fourier. D'après la formule de Bessel-Parseval, on a 
 
\[P = a_{0}^2 + \dfrac{1}{2}\displaystyle\sum_{n=1}^{+ \infty} \left(a_{n}^2 + b_{n}^2\right).\]
 
Déduire de la question précédente une valeur approchée de $P$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
On considère la fonction $g$, définie pour tout nombre réel $t$ par 

\[g(t) = \dfrac{\pi}{8} + \dfrac{2}{\pi} \cos (t) + \dfrac{1}{\pi} \cos (2t) + \dfrac{2}{9\pi} \cos (3t).\]
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la dérivée $g'$ de la fonction $g$.  
		\item Calculer la valeur exacte de $g'\left(\dfrac{k\pi}{3}\right)$ pour tout entier $k$ compris entre $0$ et $3$.
	\end{enumerate} 
\item Sur la figure 2 de l'annexe \no 2, on a représenté graphiquement la fonction $g'$. 

À l'aide de ce graphique et de la question 1, compléter le tableau de variation de la  fonction $g$ sur le document réponse \no 2. On pourra donner une valeur approchées à $10^{-2}$  près de l'extremum. 
\item Construire sur la figure \no 1 du document réponse \no 2 la courbe représentative de la fonction $g$ sur $[- 2\pi~;~4\pi]$. 
\item Un étudiant se propose d'afficher sur sa calculatrice la représentation graphique de la fonction $g$. Parmi les trois réglages suivants de la fenêtre de sa calculatrice, lequel vous semble le plus adapté ? Justifier.
\end{enumerate}
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
		&Rep 1 	&Rep 2 	&Rep 3\\ \hline \hline 
X min	& 0		&0		& 0\\ \hline 
X max	&$\pi$	&$\pi$	&$\pi$\\ \hline 
Y min	& $- 2$ & 0		& $- 0,1$\\ \hline 
Y max	& 2 	&2		& 1,5\\ \hline
\end{tabularx} 

\end{center}

\newpage
\begin{center}
\textbf{Document réponse \no 1 à rendre avec la copie}

\vspace{3cm}
 
La courbe $\Gamma$ 

\bigskip

\psset{xunit=35cm,yunit=8cm,comma=true}
\begin{pspicture*}(-0.03,-0.35)(0.33,1.25)
\multido{\n=-0.03+0.01}{37}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.4pt](\n,-0.35)(\n,1.25)}
\multido{\n=-0.35+0.05}{33}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.4pt](-0.03,\n)(0.33,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.1]{->}(0,0)(-0.03,-0.35)(0.33,1.25)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.1}{0.33}{x 7200 mul 3.1412965 div sin 2.71828 20 x mul exp div}
\uput[dl](0,0){0}
\end{pspicture*} 
\end{center}

\newpage

\begin{center}

\textbf{Document réponse \no 1 à rendre avec la copie}

\bigskip


\vspace{2cm}
 
Courbe représentative de la fonction  $s$ 

\bigskip

\psset{xunit=35cm,yunit=8cm,comma=true}
\begin{pspicture*}(-0.03,-0.4)(0.33,1.1)
%\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=50](-0.03,-0.4)(0.33,1.1)
\multido{\n=-0.03+0.01}{37}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.4pt](\n,-0.35)(\n,1.25)}
\multido{\n=-0.35+0.05}{33}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.4pt](-0.03,\n)(0.33,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.1]{->}(0,0)(-0.03,-0.4)(0.33,1.1)
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{0.33}{x 7200 mul 3.1412965 div sin 2.71828 20 x mul exp div}
\end{pspicture*} 
\end{center}

\newpage

\begin{center}

\textbf{Annexe \no 2}

\vspace{2cm}
 
\textbf{Figure 1 }

\bigskip

\psset{xunit=1cm,yunit=6cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.04)(7.5,0.45)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=0.1]{->}(0,0)(-0.5,-0.04)(7.5,0.45)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=0.1](0,0)(-0.5,-0.04)(7.5,0.45)
\psline[linewidth=1.25pt](1,0)(1,0.15)
\psline[linewidth=1.25pt](2,0)(2,0.4)
\psline[linewidth=1.25pt](3,0)(3,0.1)
\multido{\n=1+1,\na=0+1}{5}{\uput[d](\n,0){\na}}
\uput[d](7,0){$n$}
\end{pspicture}

\vspace{1.5cm}

\textbf{Figure 2}

\bigskip
 
\psset{xunit=1.5cm,yunit=2cm,arrowsize=3pt 3}
\begin{pspicture}(-4,-1.5)(4,1.5)
\psaxes[trigLabels=true,trigLabelBase=2,dx=\psPiH,xunit=\psPi]{->}(0,0)(-1.1,-1.5)(1.1,1.5)
%\psgrid
\def\dg{-2 3.14159 div x 0.01745329252 div sin x 2 mul 0.01745329252 div sin add x 3 mul 0.01745329252 div sin 3 div add mul}
\psplot[linewidth=1.25pt,plotpoints=5000,linecolor=blue]{-3.2}{3.2}{\dg}
\end{pspicture}

\end{center}

\newpage
\begin{center}

\textbf{Document réponse \no 2 à rendre avec la copie}

\vspace{1cm}
 
\textbf{Figure 1}
 
\bigskip

\psset{unit=1.3cm}
\begin{pspicture}(-2.5,-1.5)(4.3,1.5)
\psaxes[unit=1.3,trigLabels,Dy=5]{->}(0,0)(-2.5,-1.5)(4.3,1.5)
\uput[l](0,1.5){$\pi$}\uput[l](0,-1.5){$- \pi$}\uput[u](5.45,0){$t$}
\psline(0,1.5)(0.1,1.5)\psline(0,-1.5)(0.1,-1.5)
\end{pspicture}

\vspace{1.5cm}
 
\textbf{Tableau 1}

\bigskip
 
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$n$								&0			&1		&2	&3	&4		&5\\ \hline 
\rule[-3mm]{0mm}{7mm} $A_{n}^2$	&$0,15$		&		&	&	&0,00	&0,00\\ \hline
\end{tabularx}
 
\vspace{1.5cm}

\textbf{Tableau de variation de la fonction } \boldmath $g$\unboldmath 

\bigskip

\begin{pspicture}(7,4)
\psframe(7,4) \psline(0,3)(7,3)\psline(0,3.5)(7,3.5)
\psline(1,0)(1,4)
\rput(0.5,3.7){$\omega$}\rput(1.15,3.7){$0$}\rput(6.85,3.7){$\pi$}
\rput(0.5,3.2){$0$}\rput(1.15,3.2){$0$}\rput(6.85,3.2){$0$}
\rput(0.5,1.5){$g(t)$}
\end{pspicture}
\end{center}

%\newpage
%
%\begin{center}
%
%\textbf{Document réponse \no 2 à rendre avec la copie}
%
%\vspace{1.5cm}
% 
%\textbf{Figure 1} 
%
%\psset{unit=0.6cm}
%\begin{pspicture}(-7,-3.5)(12.8,3.5)
%\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-7,-3.5)(12.8,3.5)
%\uput[d](12.7,0){$t$}
%\end{pspicture}
%
%\vspace{1cm} 
%
%\textbf{Tableau 1}
%
%\bigskip
% 
%\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
%$n$			&1		&2	&3	&4		&5\\ \hline 
%$A_{n}^2$	&$0,15$	&	&	&0,00	&0,00\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\bigskip
% 
%\textbf{Tableau de variation de la fonction } \boldmath $g$ \unboldmath 
%
%\bigskip
%
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(7,4)
%\psframe(7,4) \psline(0,3)(7,3)\psline(0,3.5)(7,3.5)
%\psline(1,0)(1,4)
%\rput(0.5,3.6){$\omega$}\rput(1.1,3.6){$0$}\rput(6.85,3.6){$\pi$}
%\rput(0.5,3.1){$g'(t)$}\rput(1.1,3.1){$0$}\rput(6.85,3.1){$0$}
%\rput(0.5,1.5){$g(t)$}
%\end{pspicture}
%\end{center}
\end{document}