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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Groupement A}}
\rfoot{\small{4 novembre 2019}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{Brevet de technicien supérieur session 4 novembre 2019\\[5pt]Groupement A -- Nouvelle Calédonie}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Spécialités :}
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item Électrotechnique
\item Systèmes phoniques
\item Techniques physiques pour l'industrie et le laboratoire
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\bigskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 3 points}

\medskip

\begin{center}\textbf{Les deux questions de cet exercice sont indépendantes}
\end{center}

Une usine produit des bobines électriques.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 3\,\% des bobines produites sont défectueuses. On constitue un échantillon de $100$ bobines prises au hasard dans la production. Cette production est suffisamment importante pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de $100$ bobines.

On modélise le nombre de bobines défectueuses contenues dans un échantillon de 
$100$ bobines par une variable aléatoire $X$.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire $X$ ? On ne demande pas de justifications.
		\item  Quelle est la probabilité qu'un échantillon de $100$ bobines contienne au plus 3 bobines défectueuses ? Arrondir au centième.
 	\end{enumerate}
\item Une des chaînes de fabrication de l'usine doit répondre à une commande spécifique.
	
On modélise l'inductance, exprimée en henry (H) d'une bobine par une variable aléatoire $Y$.
	
On admet que $Y$ suit la loi normale de moyenne $m = 1$ et d'écart type $\sigma = 0,02$.
	
Quelle est la probabilité qu'une bobine prise au hasard dans la production ait une inductance comprise entre 0,96 H et $1,04$ H ? Arrondir au centième.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 \hfill 11 points}

\medskip

On considère un circuit composé d'une résistance et d'une bobine en série.

On note :

\quad$\bullet~~$ $R$ la valeur de la résistance, en ohm ($\Omega$),

\quad$\bullet~~$ $L$ l'inductance de la bobine en henry (H),

\quad$\bullet~~$ $e(t)$ la tension aux bornes du circuit. exprimée en volt (V), à l'instant $t$ exprimé en seconde~(s).

\quad$\bullet~~$ $i(t)$ l'intensité dans le circuit. exprimée en ampère (A), à l'instant $t$ (en seconde).

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.6cm}
\begin{pspicture}(6,5)
\pnode(1.5,4){A}\pnode(4,4){B}\pnode(5,4){C}\pnode(5,0){D}
\coil[dipolestyle=elektorcurved](D)(C){$L$}
\resistor(A)(B){$R$}
\psline{->}(0.5,0)(0.5,4)\uput[l](0.5,2){$e(t)$}
\psline{->}(0,4)(1.75,4)\uput[d](1.75,4){$i(t)$}
\psline(4,4)(5,4)
\psline(0,0)(5,0)
\end{pspicture}
\end{center}

On rappelle que la fonction échelon unité est la fonction définie pour tout réel $t$ par :

\[U(t) = \left\{\begin{array}{l c l}
0& \text{si} &t < 0 \\
1 & \text{si} &t \geqslant 0
\end{array}\right.\]

\textbf{Le formulaire ci-dessous peut être utilisé pour la partie A de l'exercice.}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{6.5cm}|X|}\hline
\textbf{Équations différentielles}&\textbf{Solutions sur un intervalle $I$}\\ \hline
\centering $ay'(t) + by(t) = 0$ où $a$ et $b$ sont des constantes
réelles, $a$ étant non nulle.&$y(t) = k\e^{- \frac{b}{a}t}$, où $k$ désigne une constante réelle.\\ \hline
\textbf{Fonction}&\textbf{Dérivée}\\ \hline
$t \longmapsto \e^{at}$, avec $a$ constante réelle.&$t \longmapsto a\e^{at}$.\\ \hline
\end{tabularx}

\bigskip

\textbf{Partie A: Réponse échelon du circuit}

\medskip

Dans cette partie, on prend $R=1 \Omega$, $L=0,2$ H et on étudie le comportement du circuit lorsqu'on applique soudainement une tension continue modélisée. pour tout réel $t$, par $e(t) = 10\mathcal{U}(t)$.

À l'instant $t= 0$ le courant dans le circuit est nul.

On admet que la fonction $i$ est solution sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ de l'équation différentielle

\[(E) :\qquad  Ly' + Ry = e(t)\]

d'inconnue $y$, où $y$ est une fonction dérivable de la variable $t$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{Dans cette question, ou cherche une expression de $i(t)$ pour $t \in  [0~;~+\infty[$}.

	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'équation différentielle $\left(E_0\right)$ : $0,2y' + y = 0$.
		\item Déterminer une fonction constante $g : t \longmapsto c$, avec $c$ constante réelle, solution de l'équation différentielle $(E) : 0,2y' + y = 10$.
		\item En déduire les solutions de l'équation $(E)$.
		\item Justifier que pour tout réel positif ou nul $t$: $i(t) = 10 - 10\e^{- 5t}$.
	\end{enumerate}
\item  On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction $i$ sur $[0~;~+\infty[$.

\begin{center}
\psset{xunit=7cm,yunit=0.6cm,comma=true}
\begin{pspicture}(0,-1)(1.6,11)
\multido{\n=0.0+0.1}{16}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,11)}
\multido{\n=0+2}{6}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(1.6,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.1,Dy=2]{->}(0,0)(0,0)(1.6,11)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{1.6}{1 2.71828 5 x mul neg exp sub 10 mul}
\end{pspicture}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item On admet que le développement limité d' ordre 2 de la fonction $i$ au voisinage de 0 est
		
\[i(t)= 50t - 125t^2 + t^2\varepsilon (t) \: \text{ où }\:\displaystyle\lim_{t \to 0} \varepsilon(t) = 0.\]

En déduire l'équation de la tangente $T$ à la courbe représentative de la fonction $i$ au point d'abscisse $0$. Puis tracer cette tangente \textbf{sur la figure 1 du document réponse}.
		\item Déterminer graphiquement l'intensité $i_s$ vers laquelle le courant $i$ se stabilise dans le circuit et l'abscisse $\tau$ du point de la tangente $T$ dont l'ordonnée vaut $i_S$.
 
\emph{Cette valeur $\tau$ est une constante de temps caractéristique du circuit. On considère qu'à $5\tau$ le circuit est passé du régime transitoire au régime permanent.}

On note $u_L(t)$ la tension aux bornes de la bobine exprimée en volt, à l'instant $t$ (en seconde). On admet que pour tout  réel $t \geqslant 0$ : $u_L(t) = L\dfrac{\text{d}i}{\text{d}t}$ ou encore $u_L(t) = Li'(t)$.

Calculer $u_L(t)$ pour tout réel $t \geqslant 0$.
\item L'énergie, exprimée en joule (J), stockée par la bobine pendant la phase transitoire est donnée par $E_L = 100\displaystyle\int_0^1 u_L(t)i(t)\:\text{d}t$.

On admet que: $E_L = 100\displaystyle\int_0^1\left(\text{e}^{-5t} - \text{e}^{-10t}\right)\:\text{d}t$.

Calculer la valeur exacte de $E_L$ puis donner sa valeur arrondie à $10^{-2}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\medskip

\textbf{Le formulaire ci-dessous peut être utilisé pour la partie B de l'exercice}

\begin{center}
\renewcommand\arraystretch{1.7}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\textbf{Fonction causale}&\textbf{Transformée de Laplace}\\ \hline
$t \longmapsto \mathcal{U}(t)$&$p \longmapsto \dfrac{1}{p}$\\ \hline
$t \longmapsto \mathcal{U}(t - a)$,\:avec  $a$ constante réelle&$p \longmapsto \dfrac{1}{p} \text{e}^{- ap}$\\ \hline
$t \longmapsto \text{e}^{- at}\mathcal{U}(t)$,\:avec  $a$ constante réelle&$p \longmapsto \dfrac{1}{p+a}$\\ \hline
\multicolumn{2}{|l|}{$f$ étant une fonction causale et $F$ sa transformée de Laplace, on a aussi:}\\ \hline
$t \longmapsto f(t) \mathcal{U}(t)$&$p \longmapsto F(p)$\\ \hline
$t \longmapsto f(t-\alpha)\mathcal{U}(t-\alpha)$,\:avec  $\alpha$ constante réelle&$p \longmapsto F(p)\text{e}^{- ap}$\\ \hline
$t \longmapsto f'(t)\mathcal{U}(t)$&$p \longmapsto pF(p) - f\left(0^+\right)$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\renewcommand\arraystretch{1}

\bigskip

\textbf{Partie B : Réponse impulsionnelle du circuit}

\medskip

Dons cette partie, on prend $R = 1\Omega$,\: $L= 1$H et la tension $e$ aux bornes du circuit est définie sur $\R$ par

\[e(t) = 20U(t) - 20U(t - 10).\]

On note $s(t)$ la tension aux bornes de la résistance. exprimée en volt. à l'instant $t$ (en seconde).

On admet que $s(0) = 0$ et que  $\dfrac{L}{R}s'(t) + s(t) = e(t)$.

On note respectivement $S$ et $E$ les transformées de Laplace des fonctions $s$ et $e$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Tracer la courbe représentative de la fonction $e$ \textbf{sur la figure 2 du document réponse} sur laquelle est déjà représentée la fonction $s$.
\item Déterminer $E(p)$.
\item En appliquant la transformation de Laplace à l'égalité vérifiée par $s$ et $e$, montrer que

\[S(p)  = \dfrac{20}{p(p+1)} \left(1 -  \text{e}^{-10p}\right)\]

\item  \textbf{Détermination de $s(t)$ en fonction de $t$}
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que : $\dfrac{20}{p(p+1)} = \dfrac{20}{p} - \dfrac{20}{p+1}$.
		\item Donner les originaux de $p \to \dfrac{20}{p}$, \:$p \to \dfrac{20}{p+1}$,\:$p \to \dfrac{20}{p}\text{e}^{-10p}$ et $p \to \dfrac{20}{p+1}\text{e}^{-10p}$.
		\item En déduire $s(t)$
		\item Vérifier que pour $t \in  [10~;~+ \infty[$,\:$s(t) = 20\left(\text{e}^{10}- 1\right)\text{e}^{-t}$.
	\end{enumerate}
	
\emph{On peut remarquer que \og la réponse suit l'entrée \fg{}, mais avec un certain retard. Ce délai est dû à la bobine, un composant qui emmagasine de l'énergie.}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{EXERCICE 3 \quad (6 points)}
\end{center}

\smallskip

Dans cet exercice on compare le redressement mono-alternance et le redressement double-alter\-nance d'une tension alternative monophasée sinusoïdale $u(t)$ de fréquence $50$~hertz (Hz), représentée ci-dessous et donnée par: 
$u(t) = 325\sin(100\pi t)$ pour tout réel $t$.

\begin{center}
\psset{xunit=225cm,yunit=0.008cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.015,-320)(0.045,320)
\multido{\n=-0.010+0.005}{12}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,-320)(\n,320)}
\multido{\n=-300+100}{7}{\psline[linewidth=0.2pt](-0.015,\n)(0.045,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.005,Dy=100,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-0.015,-320)(0.045,320)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.015}{0.045}{3.14159 x mul 5760 mul sin 325 mul}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
\\
On rappelle que\\
\quad$\bullet~~$lorsque une fonction périodique $f$ de période $T$ et fréquence $F$, est développable en série de Fourier et que l'on note $S$ son développement en série de Fourier, on a : 

\[S(t) = a_0 + \displaystyle\sum_{n=1}^{+ \infty} \left(a_n\cos (n\omega t) + b_n\sin (n\omega t)\right),\]

avec $\omega = \dfrac{2\pi}{T}$, $a_0 = \dfrac{1}{T}\displaystyle\int_0^T f(t)\:\text{d}t$,\\
et, pour $n \geqslant 1$,\: $a_n = \dfrac{2}{T}\displaystyle\int_0^T f(t) \cos (n\omega t)\:\text{d}t$  et $b_n = \dfrac{2}{T}\displaystyle\int_0^T f(t) \sin (n\omega t)\:\text{d}t$.\\
\quad$\bullet~~$ l'amplitude de la composante continue du développement est $A_0 = \left|a_0 \right|$.\\
\quad$\bullet~~$ pour $n \geqslant 1$ l'harmonique de rang $n$ a pour fréquence $\dfrac{n\omega}{2\pi}$, soit $nF$, et pour amplitude
\[A_n = \sqrt{a_n^2 + b_n^2}.\]\\ \hline
\end{tabularx}

\bigskip

\textbf{Partie A : Redressement mono-alternance}

\medskip

Avec un redresseur mono-alternance on obtient, à partir de $u(t)$, la tension $u_1(t)$ représentée ci- dessous.

\begin{center}
\psset{xunit=225cm,yunit=0.008cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.015,-100)(0.045,330)
\multido{\n=-0.010+0.005}{12}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,-100)(\n,320)}
\multido{\n=-100+100}{5}{\psline[linewidth=0.2pt](-0.015,\n)(0.045,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.005,Dy=100,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-0.015,-100)(0.045,320)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.015}{-0.010}{3.14159  x mul 5760 mul sin 325 mul}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{0.010}{3.14159  x mul 5760 mul sin 325 mul}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.02}{0.03}{3.14159  x mul 5730 mul sin 325 mul}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.04}{0.045}{3.14159  x mul 5730 mul sin 325 mul}
\psline[linecolor=blue,linewidth=1.25pt](-0.01,0)(0,0)
\psline[linecolor=blue,linewidth=1.25pt](0.01,0)(0.02,0)
\psline[linecolor=blue,linewidth=1.25pt](0.03,0)(0.04,0)
\end{pspicture}
\end{center}

On a $u_1(t) = \left\{\begin{array}{l c l}
u(t)&\text{si}&0 \leqslant t \leqslant0,01\\
0 &\text{si}&0,01 \leqslant t \leqslant 0,02
\end{array}\right.$

\medskip

\begin{enumerate}
\item On admet que la fonction $u_1$ est périodique. Déterminer graphiquement sa période $T$.
\item Calculer la valeur moyenne $a_0$ de la fonction $u_1$. Écrire sur la copie les étapes du calcul.
\item On admet que la fonction $u_1$ est développable en série de Fourier et que son développement en série de Fourier est:

\[S_1(t) = \dfrac{325}{\pi} + \dfrac{325}{2} \sin (100\pi t) + \displaystyle\sum_{n=2}^{+ \infty} a_n \cos (100n\pi t)\]

\[\text{avec,\: pour } n \geqslant 1,\:a_n = 0 \:\text{si } n  \: \text{est impair et}\:a_n = \dfrac{- 650}{\pi\left(n^2 - 1\right)}\:\text{si}\: n \: \text{est pair}.\]

Compléter le \textbf{tableau 1 du document-réponse} dans lequel figurent les valeurs, arrondies à $10^{-1}$, des coefficients de Fourier $a_n$ et $b_n$ associés à la fonction $u_1$ et des amplitudes $A_n$ de sa composante continue et de ses harmoniques.

À partir de ce tableau, on obtient le spectre du signal $u_1$:

\begin{center}
\psset{unit=0.025cm}
\begin{pspicture}(-5,-15)(420,225)
\multido{\n=0+50}{5}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(420,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=50,Dy=50]{->}(0,0)(0,0)(420,225)
\psline[linewidth=2pt](0,0)(0,105)
\psline[linewidth=2pt](50,0)(50,165)
\psline[linewidth=2pt](100,0)(100,70)
\psline[linewidth=2pt](200,0)(200,20)
\psline[linewidth=2pt](300,0)(300,10)
\psline[linewidth=2pt](400,0)(400,8)
\uput[u](410,0){Hz}
\uput[l](0,215){$V$}
\end{pspicture}
\end{center}

\item On note $u_{1, e}$ la valeur efficace de la tension $u_1$ exprimée en volt.

On rappelle que, d'après la formule de Parseval, on a 

\[u_{1, e}^2 = a_0^2 + \dfrac{1}{2}\displaystyle\sum_{n=1}^{+ \infty}\left(a_n^2 +  b_n^2\right).\]

Déduire du \textbf{tableau 1} une valeur approchée de $u_{1, e}^2$, puis une valeur approchée de $u_{1, e}$ arrondie à l'unité.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Comparaison avec le redressement double-alternance}

\medskip

Avec un redresseur double-alternance on obtient à  partir de $u(t)$, la tension $u_2(t)$ représentée par la courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées partiellement donnée ci-dessous.

\begin{center}
\psset{xunit=225cm,yunit=0.008cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.015,-100)(0.045,320)
\multido{\n=-0.010+0.005}{12}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,-100)(\n,320)}
\multido{\n=-100+100}{5}{\psline[linewidth=0.2pt](-0.015,\n)(0.045,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.005,Dy=100,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-0.015,-100)(0.045,320)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.015}{-0.010}{3.14159  x mul 5760 mul sin 325 mul}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-0.010}{0}{3.14159  x mul 5760 mul sin 325 mul neg}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{0.010}{3.14159  x mul 5760 mul sin 325 mul}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.010}{0.020}{3.14159  x mul 5760 mul sin 325 mul neg}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.02}{0.03}{3.14159  x mul 5760 mul sin 325 mul}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.03}{0.04}{3.14159  x mul 5730 mul sin 325 mul neg}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.04}{0.045}{3.14159  x mul 5730 mul sin 325 mul}
\end{pspicture}
\end{center}

\smallskip

On a : $u_2(t) = \left\{\begin{array}{r c l}
u(t)&\text{si}&0 \leqslant t \leqslant 0,01\\
- u(t)&\text{si}&0,01 \leqslant t \leqslant 0,02
\end{array}\right.$

On admet que la fonction $u_2$ est périodique de période $T_2= 0,01$.

On admet aussi que la fonction $u_2$ est développable en série de Fourier et a pour développement :

\[S_2(t) = a'_0 + \displaystyle\sum_{n=1}^{+ \infty} \left(a'_n\cos(n \omega t) + b'_n \sin(n \omega t)\right),\:\text{avec } a'_0 = \dfrac{650}{\pi}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{Coefficients de Fourier de la fonction} \boldmath $u_2$ \unboldmath
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que, pour tout entier $n \geqslant 1$,\: $b'_n = 0$.
		\item À l'aide d'une calculatrice formelle, on a obtenu le résultat suivant:
		
\[\displaystyle\int_0^{0,01} 325\sin (100\pi t)\cos (200 \pi t) \: \text{d}t = \dfrac{- 65}{10\pi\left(4n^2 - 1\right)}.\]

En déduire que pour tout entier $n \geqslant 1$ : $a'_n = \dfrac{- \np{1300}}{\pi\left(4n^2 - 1 \right)}$.
	\end{enumerate}
\item  On donne, dans le \textbf{tableau 2} figurant dans le document réponse. les valeurs de $a'_n$ et $A'_n$ arrondies à l'unité.

À l'aide de ces valeurs, représenter sur \textbf{la figure 3} du document réponse. les harmoniques de rang $n = 1$ et $n = 2$ associés respectivement aux fréquences 100~Hz et 200~Hz.
\item  \textbf{Comparaison du redressement mono-alternance et du redressement double-alternance}
	\begin{enumerate}
		\item On admet que la valeur efficace $u_{2,~e}$ de la tension $u_2$ exprimée en volt. vaut environ 230 V.
		
En calculant $\dfrac{a_0^2}{u^2_{1,~e}}$ et $\dfrac{a'_0^2}{u^2_{1,~e}}$, déterminer dans quel redressement la part de la composante  continue est la plus importante.
		\item  Une fréquence du fondamental (harmonique de rang 1) élevée sera plus facilement éliminée par un traitement ultérieur. Quel est le type de redressement qui facilitera ce traitement ?

Justifier.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{DOCUMENT REPONSE à  rendre avec la copie}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 - A- 2. a. - Figure 1 -- Courbe représentative de }\boldmath $i$\unboldmath

\medskip

\psset{xunit=7cm,yunit=0.5cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.1,-0.5)(1.6,11)
\multido{\n=0.0+0.1}{16}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,11)}
\multido{\n=0+2}{6}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(1.6,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.1,Dy=2]{->}(0,0)(0,0)(1.6,11)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1.6}{1 2.71828 5 x mul neg exp sub 10 mul}
\end{pspicture}

\vspace{2.5cm}

\textbf{Exercice 2 - B-1. -- Figure 2 -- Courbes représentatives des fonctions $e$ et $s$.}

\medskip

\psset{xunit=0.4cm,yunit=0.4cm}
\begin{pspicture}(-6,-2)(21,23)
\multido{\n=-6+2}{14}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,23)}
\multido{\n=0+2}{12}{\psline[linewidth=0.2pt](-6,\n)(21,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(-6,0)(21,23)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{10}{20 20 2.71828 x exp div sub}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{10}{21}{440509 2.71828 x exp div}
\uput[r](11,10){\red $\mathcal{C}_s$}
\end{pspicture}
\end{center}
\newpage 
\begin{center}
\textbf{Exercice 3 - A-3. - Tableau 1}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3.5cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$n$									&0	&1&2&3&4&5&6&7&8\\ \hline
Valeur de $a_n$ arrondie à $10^{-1}$&	&	&$-69,0$&	&	&0	&	&	&$-3,3$\\ \hline
Valeur de $b_n$ arrondie à $10^{-1}$&	&	&0	&0	&0	&0	&0	&0	&0\\ \hline
Voleur de $A_n$ arrondie à $10^{-1}$&	&162,5&	&0	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}

\bigskip

\textbf{Exercice 3 - B--2}

\medskip

\textbf{Tableau 2}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{5cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$n$									& 0	&1		&2		&3		&4\\ \hline
Valeur de $a'_n$ arrondie à l'unité	&207&$-138$	&$-28$	&$-12$	&$-7$\\ \hline
Valeur de $A'_n$ arrondie à l'unité	&207&138 	&28 	&12 	&7 \\ \hline
\end{tabularx}

\bigskip

\textbf{Figure 3 - Spectre de la tension }\boldmath $u_2$ \unboldmath


\medskip

\psset{yunit=0.04cm,xunit=0.03cm}
\begin{pspicture}(-20,-15)(420,220)
\multido{\n=0+50}{5}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(420,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=50,Dy=50]{->}(0,0)(0,0)(420,220)
\psline[linewidth=3pt](0,0)(0,210)
\psline[linewidth=3pt](300,0)(300,15)
\psline[linewidth=3pt](400,0)(400,10)
\uput[u](410,0){Hz}\uput[l](0,210){$V$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}