\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier} 
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{graphicx} 
\newcommand{\euro}{\eurologo}
%\usepackage{pgf,tikz}
%\usetikzlibrary{arrows}
\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-circ,pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{hyperref}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{fancyhdr}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {BTS groupement A2},
pdftitle = {Métropole  - 12 mai 2016},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH} 
\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\usepackage[np]{numprint}
\usepackage[french]{babel}
\DecimalMathComma
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Groupement A}}
\rfoot{\small{12 mai 2016}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{Brevet de technicien supérieur session 2018 - groupement A}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Spécialités :}
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item Électrotechnique
\item Systèmes phoniques
\item Techniques physiques pour l'industrie et le laboratoire
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\bigskip

\textbf{Exercice 1 \hfill 12 points}

\medskip

Un système est modélisé par un circuit composé d'une résistance et d'un condensateur en série.

On note $R$ la valeur de la résistance, en ohm, et $C$ la capacité du condensateur, en farad.

\smallskip

$e(t)$ est la tension aux bornes du circuit, exprimée en volt, à l'instant $t$ (en seconde).

$s(t)$ est la tension aux bornes du condensateur, exprimée en volt, à l'instant $t$ (en seconde).

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 4}
\begin{pspicture}(8,4.5)
\psline(0,0)(8,0)
\psline{->}(0.1,0)(0.1,4)\uput[l](0.1,2){$e(t)$}
\psline{->}(7.9,0)(7.9,4)\uput[r](7.9,2){$s(t)$}
\cnode(0,4){0pt}{A}\cnode(8,4){0pt}{B}
\resistor(A)(B){$R$}
\cnode(6.5,0){0pt}{C}\cnode(6.5,4){0pt}{D}
\capacitor(C)(D){$C$}
\end{pspicture}
\end{center}

À l'instant $t = 0$ le condensateur est déchargé et on a : $s(0) = 0$.

L'application des lois de la physique conduit, pour tout $t \geqslant  0$, à la relation : $RC s'(t) + s(t) = e(t)$ qui s'écrit encore : $\tau s'(t) + s(t)  = e(t)$, avec $\tau = RC$.

\smallskip

Dans tout l'exercice, on suppose que : $\tau = 2$ secondes.

\medskip

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Dans cette partie le circuit est alimenté par une tension constante : $e(t) = e_0 = 6$~V.

On considère l'équation différentielle (E) : $2x'(t) + x(t) = 6$, où l'inconnue $x$ est une fonction dérivable de la variable $t$, \:$t$ réel positif.

\textbf{Des formules concernant les solutions des équations différentielles sont données ci-dessous.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer une solution particulière constante $x_0$ de l'équation différentielle (El.
\item Résoudre I'équation différentielle sans second membre $\left(\text{E}_0\right)$ :\: $2x'(t) + x(t) = 0$.
\item En déduire les solutions de l'équation différentielle (E).
\item Justifier que la fonction $s$ vérifie, pour tout $t \geqslant 0$ :\: $s(t) = 6\left(1 - \text{e}^{- \frac{t}{2}}\right)$.
\item La représentation graphique de la fonction est donnée sur le \textbf{document réponse}.

Pour ce circuit on considère que la tension finale aux bornes du condensateur est de 6~V.
	\begin{enumerate}
		\item Que représente cette valeur 6 pour la fonction $s$ ? On n'attend pas de justification.
		\item Quel pourcentage de la tension finale a-t-on aux bornes du condensateur lorsque $t = 2$ ?
		
Arrondir ce pourcentage à l'unité.
	\end{enumerate}
\item On considère que le condensateur est chargé lorsque la tension à ses bornes atteint 95\,\% de la
tension finale. On dit alors que le condensateur est passé en régime permanent.
	\begin{enumerate}
		\item Estimer graphiquement au bout de combien de temps le condensateur est chargé. Faire apparaitre
sur le graphique fourni en annexe les traits nécessaires à la lecture graphique.
		\item Déterminer par la méthode de votre choix, que vous préciserez, une valeur approchée au centième de la durée nécessaire pour atteindre le régime permanent.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On rappelle que la fonction échelon unité  est définie sur $\R$ par: $\left\{\begin{array}{l c r}
\mathcal{U}(t)&=& 0 \quad\text{si }\: t < 0\\
\mathcal{U}(t)&=&1\quad\text{si }\: t \geqslant 0
\end{array}\right.$.

Dans cette partie, la tension aux bornes du circuit vérifie, pour tout réel $t$ :

\[e(t) = 6\mathcal{U}(t)- 6 \mathcal{U}(t - 2).\]

On admet que les fonctions $e$ et $s$ sont des fonctions causales admettant des transformées de Laplace
notées respectivement $E$ et $S$.

\smallskip

\textbf{Des formules utiles au calcul des transformées de Laplace sont données ci-dessous.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Représenter la fonction $e$ dans le repère donné sur le \textbf{document réponse}.
		\item Déterminer $E(p)$.
	\end{enumerate}
\item On rappelle que pour $t$ différent de 0 et 2 : $2s'(t) + s(t) = e(t)$ et que $s(0) = 0$.
	\begin{enumerate}
		\item Écrire l'égalité obtenue en appliquant la transformation de Laplace aux deux membres de
l'égalité :

\[2s'(t) + s(t) = e(t).\]

		\item En déduire que : $s(p) = \dfrac{6}{p(2p + 1)} - \dfrac{6}{p(2p + 1)}\text{e}^{-2p}$.
	\end{enumerate}
\item On recherche dans cette question l'original de $A(p) = \dfrac{6}{p(2p+1)}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que : $\dfrac{6}{p(2p + 1)} = \dfrac{6}{p} - \dfrac{12}{2p+1}$.
		\item Comme $\dfrac{12}{2p+1} = \dfrac{6}{p + \frac{1}{2}}$, on peut écrire : $A(p) = \dfrac{6}{p} - \dfrac{6}{p + \frac{1}{2}}$.
		
En déduire l'original $a(t)$ de $A(p)$.
	\end{enumerate}
\item En remarquant que $S(p) = A(p) - A(p)\text{e}^{-2p}$, déduire des questions précédentes une expression de
$s(t)$.
\item On s'intéresse dans cette question à la fonction $s$ sur l'intervalle $[2~;~+ \infty[$.

On admet que pour $t \geqslant 2$ :\: $s(t) = 6(\text{e} - 1)\text{e}^{- \frac{1}{2}t}$.
	\begin{enumerate}
		\item Étudier les variations de la fonction $s$ sur l'intervalle $[2~;~+ \infty[$.
		\item Déterminer la limite de la fonction $s$ quand $t$ tend vers $+ \infty$. Justifier.
	\end{enumerate}
\item Sur le \textbf{document réponse}  on a tracé la représentation graphique de la fonction $s$ sur l'intervalle [0~;~2].
	\begin{enumerate}
		\item Compléter la représentation graphique de $s$.
		\item Interpréter, dans le contexte de l'exercice, la représentation graphique de la fonction $s$ sur
l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ obtenue.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{EXERCICE 2 \hfill 8 points}

\medskip

Une entreprise utilise deux machines A et B pour produire des composants électroniques.

\smallskip

\textbf{Les parties A, B et C peuvent être traitées indépendamment.}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Un composant est accepté s'il admet une résistance électrique comprise entre 195 et 205 ohms.

On admet que la variable aléatoire $R$ qui, à un composant prélevé au hasard dans la production de la machine A, associe la valeur exprimée en ohm de sa résistance, suit une loi normale de paramètres $\mu = 200$ et $\sigma$.

On prélève au hasard un composant dans la production.

\medskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{On suppose, dans cette question uniquement, que : } \boldmath$\sigma = 3,5$.\unboldmath

Quelle est la probabilité que le composant prélevé soit accepté? Arrondir à $0,01$ près.
\item  Avec un meilleur réglage de la machine qui ne modifie pas $\mu$, mais qui agit sur $\sigma $, on souhaite pouvoir accepter 95\,\% des composants produits.
	\begin{enumerate}
		\item Quel est la probabilité que : $R \in  [\mu - 2\sigma~;~\mu + 2\sigma]$ ? Arrondir à $0,01$ près.
		\item On rappelle qu'un composant est accepté s'il admet une résistance électrique comprise entre $195$ et $205$ ohms.

Quelle valeur peut-on donner à $\sigma$, en réglant la machine, pour que 95\,\% des composants produits soient acceptés ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

La machine B fabrique 40\,\% des composants produits par l'entreprise. Le reste est produit par la machine A.

On admet que la machine B produit 8\,\% de composants défectueux et que la machine A produit 5\,\% de composants défectueux.

On prélève au hasard une pièce dans la production.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter la situation par un arbre pondéré.
\item \textbf{Pour chaque affirmation, une seule des propositions est exacte. Porter sur la copie, sans
justification, le numéro de l'affirmation suivi de la valeur choisie.}

\smallskip

\textbf{Une bonne réponse rapporte \boldmath$0,5$\unboldmath{} point, une réponse incorrecte ou l'absence de réponse n'enlève pas de point.}

\smallskip

\textbf{Affirmation 1 :} Sachant que la pièce prélevée est produite par la machine B, la probabilité qu'elle ne soit pas défectueuse est:

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} 0,368&\textbf{b.~~} 0,92 &\textbf{c.~~} 0,08 &\textbf{d.~~} 0,032
\end{tabularx}
\medskip

\textbf{Affirmation 2 :} La probabilité que la pièce prélevée soit produite par la machine A et qu'elle soit défectueuse est:

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} 0,05 &\textbf{b.~~}0,92 &\textbf{c.~~} 0,03 &\textbf{d.~~} 0,95
\end{tabularx}
\medskip

\textbf{Affirmation 3 :} La probabilité que la pièce prélevée soit défectueuse est:

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} 0,938 &\textbf{b.~~}0,13 &\textbf{c.~~} 0,062 &\textbf{d.~~} 0,065
\end{tabularx}
\medskip

\textbf{Affirmation 4 :} Sachant que la pièce prélevée est défectueuse, la probabilité qu'elle ait été produite par la machine B est à $10^{-4}$ près:

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} \np{0,5161} &\textbf{b.~~} \np{0,0320} &\textbf{c.~~} \np{0,0800} &\textbf{d.~~} 0,483
\end{tabularx}
\medskip
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Dans cette partie, on considère qu'il y a 6\,\% de composants défectueux dans la production globale.

L'entreprise vend des boites contenant $150$ composants. La production de l'entreprise étant très
importante, on peut assimiler la constitution d'une boite à une succession de $150$ tirages avec remise.

\smallskip

On note $X$ la variable aléatoire qui à chaque boite associe le nombre de composants défectueux que contient la boite.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$ ? Donner ses paramètres.
\item  Un client mécontent se présente : il a trouvé $18$ composants défectueux dans une boite.

Un commercial de l'entreprise lui répond que moins de 2\,\% des boites commercialisées comportent plus de $15$ composants défectueux.

\smallskip

\emph{Dans cette question, les résultats seront arrondis à $0,001$ près.}

\smallskip

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la probabilité qu'il y ait exactement $18$~composants défectueux dans une boite.
		\item Déterminer la probabilité qu'il y ait au moins $16$~composants défectueux dans une boite.
		\item Le commercial a-t-il raison ?
	\end{enumerate}
\item  Estimer le nombre moyen de composants défectueux dans une boite.
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{Formules pouvant être utilisées dans l'exercice 1}

\vspace{1cm}

\renewcommand\arraystretch{1.8}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X|}\hline
\multicolumn{1}{|c|}{Équation différentielle sans second membre}& \multicolumn{1}{|c|}{Solutions sur $\R$}\\ \hline
$ax'+ bx= 0$, avec $a$ constante réelle non nulle et $b$ constante réelle&$t \longmapsto k \text{e}^{- \frac{b}{a} t}$, avec $k$ constante réelle.\\ \hline
\end{tabularx}

\vspace{1cm}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X|}\hline
\multicolumn{2}{|c|}{\textbf{Transformation de Laplace}}\\ \hline
\textbf{Fonction}& \textbf{Transformée de Laplace}\\ \hline
$t \longmapsto \mathcal{U}(t)$	&$p \longmapsto \dfrac{1}{p}$\\ \hline
$t \longmapsto \mathcal{U}(t - a)$&$p \longmapsto \dfrac{1}{p}\text{e}^{- ap}$\\ \hline
$t  \longmapsto \text{e}^{- at}\mathcal{U}(t)$, avec $a$ constante réelle&$p \longmapsto \dfrac{1}{p + a}$\\ \hline
\multicolumn{2}{|c|}{\textbf{Propriétés}}\\ \hline
\textbf{Fonction}& \textbf{Transformée de Laplace}\\ \hline
$t \longmapsto f(t)\mathcal{U}(t)$&$p \longmapsto F(p)$\\ \hline
$t \longmapsto f(t - a)\mathcal{U}(t - a)$, avec $a$ constante réelle&$p \longmapsto F(p)\text{e}^{- ap}$\\ \hline
$t \longmapsto f(t) \text{e}^{- at}\mathcal{U}(t)$, avec $a$ constante réelle&$p \longmapsto F(p + a)$\\ \hline
$t \longmapsto f’(t)\mathcal{U}(t)$&$p \longmapsto pF(p) - f\left(0^{+} \right)$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{document}