\documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{graphicx} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \usepackage{graphicx} \newcommand{\euro}{\eurologo} %\usepackage{pgf,tikz} %\usetikzlibrary{arrows} \usepackage{pst-plot,pst-text,pst-tree,pst-circ,pstricks-add} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{fancyhdr} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {BTS groupement A2}, pdftitle = {Métropole - 12 mai 2016}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \renewcommand{\leq}{\leqslant} \renewcommand{\geq}{\geqslant} \usepackage[np]{numprint} \usepackage[french]{babel} \DecimalMathComma \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Brevet de technicien supérieur} \lfoot{\small{Groupement A}} \rfoot{\small{12 mai 2016}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}{\Large\textbf{Brevet de technicien supérieur session 2018 - groupement A}} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{Spécialités :} \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item Électrotechnique \item Systèmes phoniques \item Techniques physiques pour l'industrie et le laboratoire \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \bigskip \textbf{Exercice 1 \hfill 12 points} \medskip Un système est modélisé par un circuit composé d'une résistance et d'un condensateur en série. On note $R$ la valeur de la résistance, en ohm, et $C$ la capacité du condensateur, en farad. \smallskip $e(t)$ est la tension aux bornes du circuit, exprimée en volt, à l'instant $t$ (en seconde). $s(t)$ est la tension aux bornes du condensateur, exprimée en volt, à l'instant $t$ (en seconde). \begin{center} \psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 4} \begin{pspicture}(8,4.5) \psline(0,0)(8,0) \psline{->}(0.1,0)(0.1,4)\uput[l](0.1,2){$e(t)$} \psline{->}(7.9,0)(7.9,4)\uput[r](7.9,2){$s(t)$} \cnode(0,4){0pt}{A}\cnode(8,4){0pt}{B} \resistor(A)(B){$R$} \cnode(6.5,0){0pt}{C}\cnode(6.5,4){0pt}{D} \capacitor(C)(D){$C$} \end{pspicture} \end{center} À l'instant $t = 0$ le condensateur est déchargé et on a : $s(0) = 0$. L'application des lois de la physique conduit, pour tout $t \geqslant 0$, à la relation : $RC s'(t) + s(t) = e(t)$ qui s'écrit encore : $\tau s'(t) + s(t) = e(t)$, avec $\tau = RC$. \smallskip Dans tout l'exercice, on suppose que : $\tau = 2$ secondes. \medskip Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment. \bigskip \textbf{Partie A} \medskip Dans cette partie le circuit est alimenté par une tension constante : $e(t) = e_0 = 6$~V. On considère l'équation différentielle (E) : $2x'(t) + x(t) = 6$, où l'inconnue $x$ est une fonction dérivable de la variable $t$, \:$t$ réel positif. \textbf{Des formules concernant les solutions des équations différentielles sont données ci-dessous.} \medskip \begin{enumerate} \item Déterminer une solution particulière constante $x_0$ de l'équation différentielle (El. \item Résoudre I'équation différentielle sans second membre $\left(\text{E}_0\right)$ :\: $2x'(t) + x(t) = 0$. \item En déduire les solutions de l'équation différentielle (E). \item Justifier que la fonction $s$ vérifie, pour tout $t \geqslant 0$ :\: $s(t) = 6\left(1 - \text{e}^{- \frac{t}{2}}\right)$. \item La représentation graphique de la fonction est donnée sur le \textbf{document réponse}. Pour ce circuit on considère que la tension finale aux bornes du condensateur est de 6~V. \begin{enumerate} \item Que représente cette valeur 6 pour la fonction $s$ ? On n'attend pas de justification. \item Quel pourcentage de la tension finale a-t-on aux bornes du condensateur lorsque $t = 2$ ? Arrondir ce pourcentage à l'unité. \end{enumerate} \item On considère que le condensateur est chargé lorsque la tension à ses bornes atteint 95\,\% de la tension finale. On dit alors que le condensateur est passé en régime permanent. \begin{enumerate} \item Estimer graphiquement au bout de combien de temps le condensateur est chargé. Faire apparaitre sur le graphique fourni en annexe les traits nécessaires à la lecture graphique. \item Déterminer par la méthode de votre choix, que vous préciserez, une valeur approchée au centième de la durée nécessaire pour atteindre le régime permanent. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On rappelle que la fonction échelon unité est définie sur $\R$ par: $\left\{\begin{array}{l c r} \mathcal{U}(t)&=& 0 \quad\text{si }\: t < 0\\ \mathcal{U}(t)&=&1\quad\text{si }\: t \geqslant 0 \end{array}\right.$. Dans cette partie, la tension aux bornes du circuit vérifie, pour tout réel $t$ : \[e(t) = 6\mathcal{U}(t)- 6 \mathcal{U}(t - 2).\] On admet que les fonctions $e$ et $s$ sont des fonctions causales admettant des transformées de Laplace notées respectivement $E$ et $S$. \smallskip \textbf{Des formules utiles au calcul des transformées de Laplace sont données ci-dessous.} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Représenter la fonction $e$ dans le repère donné sur le \textbf{document réponse}. \item Déterminer $E(p)$. \end{enumerate} \item On rappelle que pour $t$ différent de 0 et 2 : $2s'(t) + s(t) = e(t)$ et que $s(0) = 0$. \begin{enumerate} \item Écrire l'égalité obtenue en appliquant la transformation de Laplace aux deux membres de l'égalité : \[2s'(t) + s(t) = e(t).\] \item En déduire que : $s(p) = \dfrac{6}{p(2p + 1)} - \dfrac{6}{p(2p + 1)}\text{e}^{-2p}$. \end{enumerate} \item On recherche dans cette question l'original de $A(p) = \dfrac{6}{p(2p+1)}$. \begin{enumerate} \item Montrer que : $\dfrac{6}{p(2p + 1)} = \dfrac{6}{p} - \dfrac{12}{2p+1}$. \item Comme $\dfrac{12}{2p+1} = \dfrac{6}{p + \frac{1}{2}}$, on peut écrire : $A(p) = \dfrac{6}{p} - \dfrac{6}{p + \frac{1}{2}}$. En déduire l'original $a(t)$ de $A(p)$. \end{enumerate} \item En remarquant que $S(p) = A(p) - A(p)\text{e}^{-2p}$, déduire des questions précédentes une expression de $s(t)$. \item On s'intéresse dans cette question à la fonction $s$ sur l'intervalle $[2~;~+ \infty[$. On admet que pour $t \geqslant 2$ :\: $s(t) = 6(\text{e} - 1)\text{e}^{- \frac{1}{2}t}$. \begin{enumerate} \item Étudier les variations de la fonction $s$ sur l'intervalle $[2~;~+ \infty[$. \item Déterminer la limite de la fonction $s$ quand $t$ tend vers $+ \infty$. Justifier. \end{enumerate} \item Sur le \textbf{document réponse} on a tracé la représentation graphique de la fonction $s$ sur l'intervalle [0~;~2]. \begin{enumerate} \item Compléter la représentation graphique de $s$. \item Interpréter, dans le contexte de l'exercice, la représentation graphique de la fonction $s$ sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$ obtenue. \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0.5cm} \textbf{EXERCICE 2 \hfill 8 points} \medskip Une entreprise utilise deux machines A et B pour produire des composants électroniques. \smallskip \textbf{Les parties A, B et C peuvent être traitées indépendamment.} \bigskip \textbf{Partie A} \medskip Un composant est accepté s'il admet une résistance électrique comprise entre 195 et 205 ohms. On admet que la variable aléatoire $R$ qui, à un composant prélevé au hasard dans la production de la machine A, associe la valeur exprimée en ohm de sa résistance, suit une loi normale de paramètres $\mu = 200$ et $\sigma$. On prélève au hasard un composant dans la production. \medskip \begin{enumerate} \item \textbf{On suppose, dans cette question uniquement, que : } \boldmath$\sigma = 3,5$.\unboldmath Quelle est la probabilité que le composant prélevé soit accepté? Arrondir à $0,01$ près. \item Avec un meilleur réglage de la machine qui ne modifie pas $\mu$, mais qui agit sur $\sigma $, on souhaite pouvoir accepter 95\,\% des composants produits. \begin{enumerate} \item Quel est la probabilité que : $R \in [\mu - 2\sigma~;~\mu + 2\sigma]$ ? Arrondir à $0,01$ près. \item On rappelle qu'un composant est accepté s'il admet une résistance électrique comprise entre $195$ et $205$ ohms. Quelle valeur peut-on donner à $\sigma$, en réglant la machine, pour que 95\,\% des composants produits soient acceptés ? \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip La machine B fabrique 40\,\% des composants produits par l'entreprise. Le reste est produit par la machine A. On admet que la machine B produit 8\,\% de composants défectueux et que la machine A produit 5\,\% de composants défectueux. On prélève au hasard une pièce dans la production. \medskip \begin{enumerate} \item Représenter la situation par un arbre pondéré. \item \textbf{Pour chaque affirmation, une seule des propositions est exacte. Porter sur la copie, sans justification, le numéro de l'affirmation suivi de la valeur choisie.} \smallskip \textbf{Une bonne réponse rapporte \boldmath$0,5$\unboldmath{} point, une réponse incorrecte ou l'absence de réponse n'enlève pas de point.} \smallskip \textbf{Affirmation 1 :} Sachant que la pièce prélevée est produite par la machine B, la probabilité qu'elle ne soit pas défectueuse est: \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} 0,368&\textbf{b.~~} 0,92 &\textbf{c.~~} 0,08 &\textbf{d.~~} 0,032 \end{tabularx} \medskip \textbf{Affirmation 2 :} La probabilité que la pièce prélevée soit produite par la machine A et qu'elle soit défectueuse est: \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} 0,05 &\textbf{b.~~}0,92 &\textbf{c.~~} 0,03 &\textbf{d.~~} 0,95 \end{tabularx} \medskip \textbf{Affirmation 3 :} La probabilité que la pièce prélevée soit défectueuse est: \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} 0,938 &\textbf{b.~~}0,13 &\textbf{c.~~} 0,062 &\textbf{d.~~} 0,065 \end{tabularx} \medskip \textbf{Affirmation 4 :} Sachant que la pièce prélevée est défectueuse, la probabilité qu'elle ait été produite par la machine B est à $10^{-4}$ près: \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} \textbf{a.~~} \np{0,5161} &\textbf{b.~~} \np{0,0320} &\textbf{c.~~} \np{0,0800} &\textbf{d.~~} 0,483 \end{tabularx} \medskip \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip Dans cette partie, on considère qu'il y a 6\,\% de composants défectueux dans la production globale. L'entreprise vend des boites contenant $150$ composants. La production de l'entreprise étant très importante, on peut assimiler la constitution d'une boite à une succession de $150$ tirages avec remise. \smallskip On note $X$ la variable aléatoire qui à chaque boite associe le nombre de composants défectueux que contient la boite. \medskip \begin{enumerate} \item Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $X$ ? Donner ses paramètres. \item Un client mécontent se présente : il a trouvé $18$ composants défectueux dans une boite. Un commercial de l'entreprise lui répond que moins de 2\,\% des boites commercialisées comportent plus de $15$ composants défectueux. \smallskip \emph{Dans cette question, les résultats seront arrondis à $0,001$ près.} \smallskip \begin{enumerate} \item Déterminer la probabilité qu'il y ait exactement $18$~composants défectueux dans une boite. \item Déterminer la probabilité qu'il y ait au moins $16$~composants défectueux dans une boite. \item Le commercial a-t-il raison ? \end{enumerate} \item Estimer le nombre moyen de composants défectueux dans une boite. \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{Formules pouvant être utilisées dans l'exercice 1} \vspace{1cm} \renewcommand\arraystretch{1.8} \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X|}\hline \multicolumn{1}{|c|}{Équation différentielle sans second membre}& \multicolumn{1}{|c|}{Solutions sur $\R$}\\ \hline $ax'+ bx= 0$, avec $a$ constante réelle non nulle et $b$ constante réelle&$t \longmapsto k \text{e}^{- \frac{b}{a} t}$, avec $k$ constante réelle.\\ \hline \end{tabularx} \vspace{1cm} \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X|}\hline \multicolumn{2}{|c|}{\textbf{Transformation de Laplace}}\\ \hline \textbf{Fonction}& \textbf{Transformée de Laplace}\\ \hline $t \longmapsto \mathcal{U}(t)$ &$p \longmapsto \dfrac{1}{p}$\\ \hline $t \longmapsto \mathcal{U}(t - a)$&$p \longmapsto \dfrac{1}{p}\text{e}^{- ap}$\\ \hline $t \longmapsto \text{e}^{- at}\mathcal{U}(t)$, avec $a$ constante réelle&$p \longmapsto \dfrac{1}{p + a}$\\ \hline \multicolumn{2}{|c|}{\textbf{Propriétés}}\\ \hline \textbf{Fonction}& \textbf{Transformée de Laplace}\\ \hline $t \longmapsto f(t)\mathcal{U}(t)$&$p \longmapsto F(p)$\\ \hline $t \longmapsto f(t - a)\mathcal{U}(t - a)$, avec $a$ constante réelle&$p \longmapsto F(p)\text{e}^{- ap}$\\ \hline $t \longmapsto f(t) \text{e}^{- at}\mathcal{U}(t)$, avec $a$ constante réelle&$p \longmapsto F(p + a)$\\ \hline $t \longmapsto f’(t)\mathcal{U}(t)$&$p \longmapsto pF(p) - f\left(0^{+} \right)$\\ \hline \end{tabularx} \end{center} \end{document}