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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Merci à Brigitte Bourgoin pour le sujet 
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\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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pdfauthor = {APMEP},
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pdftitle = {14 mai 2018 Concepteur en art et industrie céramique,Design de communication espace et volume, Design d'espace, Design de produits},
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\footnotesize{Groupement E : Concepteur en art et industrie céramique,\\Design de communication espace et volume,\\ Design d'espace, design de produits}}
\rfoot{\small{13 mai 2019}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
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\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur 14 mai 2018 Groupement E~\decofourright}}

\vspace{0,25cm}

Le sujet contient deux annexes à rendre avec la copie

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\large Exercice 1 \hfill 10 points}

\vspace{0,5cm}

\parbox{0.48\linewidth}{Un hôtelier souhaite installer une terrasse sur le
toit de son hôtel et, pour protéger et orner l'accès
à celle-ci, faire construire une pyramide de verre
sur une partie du toit.

Une représentation du bâtiment en perspective
parallèle est fournie ci-contre.

Cet hôtel est formé d'un pavé droit ABCDEFGH
avec AB = 14 m, AD = 7 m et AE = 10 m.

On souhaite installer sur le toit une pyramide dont
la base est le triangle GLM et la hauteur est GS,
où les points L et M sont les milieux respectifs de
[FG] et [GH] et $\text{GS} = \dfrac{1}{2}\,\text{CG}$
}%%% fin du \parbox
\hfill 
\parbox{0.48\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6.6,8.8)
\pspolygon(0.4,1.3)(2.3,0.3)(2.3,3.4)(0.4,4.4)%DAEH
\psline(2.3,0.3)(6.1,2.3)(6.1,5.4)(2.3,3.4)%ABFE
\psline(6.1,5.4)(5.15,5.9)%FL
\psline(2.3,5.4)(0.4,4.4)%MH
\psline[linestyle=dashed](5.15,5.9)(4.2,6.4)(2.3,5.4)%LGM
\pspolygon(5.15,5.9)(4.2,8.4)(2.3,5.4)%LSM
\psline[linestyle=dashed](6.1,2.3)(4.2,3.3)(4.2,8.4)%BCS
\psline[linestyle=dashed](4.2,3.3)(0.4,1.3)%CD
\uput[d](2.3,0.3){A} \uput[r](6.1,2.3){B} \uput[ul](4.2,3.3){C} 
\uput[l](0.4,1.3){D} \uput[u](2.3,3.4){E} \uput[ur](6.1,5.4){F} 
\uput[ul](4.2,6.4){G} \uput[l](0.4,4.4){H} \uput[ur](5.15,5.9){L} 
\uput[ul](2.3,5.4){M} \uput[ur](4.2,8.4){S} 
\end{pspicture}
}

\bigskip

\textbf{Partie A. Représentation du solide en perspective centrale}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On a commencé, sur l'annexe 1, une représentation en perspective centrale de l'hôtel.

L'image de chaque point de l'espace par cette perspective centrale est notée en minuscule.

Par exemple, a est l'image du point A. La droite horizontale représente la ligne d'horizon. On note $\omega$ le point de fuite principal.

Placer le point $\omega$ sur l'annexe 1.
\item Compléter sur l'annexe 1 la représentation de l'hôtel en perspective centrale.

Les traits de construction doivent être apparents.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B. Une contrainte angulaire}

\medskip

Afin que la pyramide satisfasse à certaines normes esthétiques, la mesure de l'angle 
$\widehat{\text{LSM}}$ doit dépasser $60$\degres.

On considère les points I, J et K, respectivement situés sur [CD], [CS] et [CG] tels que

CI = CJ = CK $= 1$~m. On munit ainsi l'espace d'un repère orthonormal $\left(\text{C}~;~ \vect{\text{CI}},~\vect{\text{CJ}},~\vect{\text{CK}}\right)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Par lecture graphique, donner les coordonnées des points F, G et H dans ce repère.
		\item On rappelle que L et M sont les milieux respectifs des segments [FG] et [GH].
		
Montrer que les coordonnées de L sont (0~;~3,5~;~10).\\
 Donner de même les coordonnées de M.
	\end{enumerate}
\item On admet que le point S a pour coordonnées (0~;~0~;~15).
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{SL}}$ et 
		$\vect{\text{SM}}$.
		\item Montrer que $\vect{\text{SL}} \cdot \vect{\text{SM}} = 25$.
		\item Calculer les valeurs exactes des distances SL et SM.
		\item En déduire la valeur approchée, arrondie au degré, de la mesure de l'angle $\widehat{\text{LSM}}$. La contrainte esthétique est-elle vérifiée?
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C. Étude d'aires et de volume}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le constructeur de la pyramide en verre doit déterminer la surface de verre nécessaire à la réalisation de cet ouvrage.
	\begin{enumerate}
		\item Donner, sans justification, la nature des triangles GMS et GLS.
		\item On rappelle la formule suivante : 
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|}\hline
\begin{pspicture}(5.5,2.8)
\pspolygon(0.6,0.4)(4.7,0.4)(1.7,1.8)%BCA
\uput[l](0.6,0.4){B} \uput[r](4.7,0.4){C} \uput[u](1.7,1.8){A} 
\uput[d](2.65,0.4){$a$}\uput[ur](3.2,1.1){$b$}\uput[ul](1.15,1.1){$c$}
\end{pspicture}\\
\hspace{0.4cm}L'aire $\mathcal{A}$ du triangle ABC est donnée par : $\mathcal{A} = \dfrac{1}{2\rule[-5pt]{0pt}{0pt}} bc \sin \widehat{\text{A}}$\phantom{espac}\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\medskip

Calculer l'aire des triangles LSM, GLS et GMS. Arrondir l'aire de LSM au dixième de m$^2$.
		\item  En arrondissant au m$^2$ supérieur, quelle est la surface de verre nécessaire à la
réalisation de cette pyramide de verre ?
	\end{enumerate}
\item Cette question est un questionnaire à choix multiples. Une seule réponse est exacte.
Recopier sur la copie le numéro de la question et la réponse qui vous parait exacte. On ne
demande aucune justification. La réponse juste apporte un point. Une réponse fausse ou
une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de points.
On rappelle que le volume d'une pyramide est donné par $\dfrac{1}{3} \times B \times h$, où $B$ est l'aire de la base et $h$ la hauteur.
	
Le volume, arrondi au m$^3$, de l'hôtel muni de la pyramide de verre est:
	
	\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
980m$^3$& 995m$^3$&\np{1000} m$^3$&\np{1025}m$^3$\rule[-3mm]{0mm}{9mm}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{EXERCICE 2 \hfill 10 points}

\medskip

Une enseigne de prêt-à-porter souhaite, à l'occasion des jeux olympiques de Paris en 2024, créer une gamme de vêtements identifiable grâce à un logo inspiré de la tour Eiffel.

L'objet de cet exercice est de modéliser ce logo en utilisant trois courbes de Bézier : $C_1$,\: $C_2$ et $C_3$.

\smallskip

Dans tout l'exercice, le plan est muni d'un repère orthonormé \Oij. Une représentation du plan est fournie en annexe 2 sur laquelle la courbe $C_1$ est déjà tracée.

\bigskip

\textbf{Partie A. Étude de la courbe }\boldmath$C_1$\unboldmath

\medskip

La courbe $C_1$ est la courbe de Bézier définie par les trois points de contrôle O, P$_1$(2~;~1) et P$_2$(1~;~5).

\medskip

\begin{enumerate}
\item En quels points de la courbe $C_1$ peut-on connaître sans calcul les tangentes ?
\item Sur la figure donnée en annexe 2, placer les points P$_1$ et P$_2$ et tracer les tangentes à la courbe $C_1$ déterminées dans la question précédente.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B. Étude et tracé de la courbe } \boldmath$C_2$\unboldmath

\medskip

La courbe $C_2$ est la courbe de Bézier définie par les trois points de contrôle P$_2$, P$_1$ et P$_3$(6~;~0).

La courbe $C_2$ est l'ensemble des points $M_2(t)$ du plan tels que, pour tout $t$ de l'intervalle [0~;~1], les coordonnées $x_2$ et $y_2$ de $M_2(t)$ sont données par :

\[x_2(t) = f_2(t)\quad  \text{et}\quad y_2(t) = g_2(t),\]

où $f_2$ et $g_2$ sont deux fonctions dont les variations sont données par le tableau suivant. (Il est inutile de déterminer les expressions de $f_2(t)$ et $g_2(t)$.)

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(12,5.5)
\psframe(12,5.5)
\psline(0,2)(12,2)\psline(0,2.5)(12,2.5)
\psline(0,4.5)(12,4.5)\psline(0,5)(12,5)
\psline(2,0)(2,5.5)
\uput[u](1,4.9){$t$} \uput[u](2.1,4.9){0} \uput[u](7,4.9){0,5} \uput[u](11.8,4.9){1}
\uput[u](1,4.4){$f_2'(t)$} \uput[u](2.1,4.4){2} \uput[u](7,4.4){+} \uput[u](11.8,4.4){8}
\rput(1,3.5){$f_2(t)$}\uput[u](2.1,2.4){1}\uput[d](11.8,4.5){6}
\uput[u](1,1.9){$g'_2(t)$} \rput(2.3,2.2){$-8$}
\rput(7,2.2){$-$} \rput(11.7,2.2){$-2$}
\rput(1,1){$g_2(t)$} \uput[d](2.2,2){5} \uput[u](11.8,0){$0$}
\rput(7,3.5){2,75}
\rput(7,1){1,75}
\psline{->}(2.3,2.7)(6.7,3.3)\psline{->}(7.5,3.5)(11.7,4.2)
\psline{->}(2.4,1.8)(6.7,1)  \psline{->}(7.4,0.9)(11.7,0.2)
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Par simple lecture du tableau ci-dessus, recopier sur la copie et compléter les phrases suivantes.
\begin{enumerate}
\item \og La tangente à la courbe $C_2$ au point de coordonnées (\ldots~;~\ldots), obtenu pour $t = 0$, a pour vecteur directeur le vecteur $\vect{u}$ de coordonnées \ldots  \fg.
\item  \og La tangente à la courbe $C_2$ au point de coordonnées (\ldots~;~\ldots), obtenu pour $t = 1$, a pour vecteur directeur le vecteur $\vect{v}$ de coordonnées \ldots \fg.
\end{enumerate}
\item  Les courbes $C_1$ et $C_2$ ont-elles la même tangente au point P$_2$ ? Justifier.
\item  Sur la figure donnée en annexe 2, faire apparaître les tangentes à la courbe $C_2$ aux points obtenus pour $t = 0$ et $t = 1$, placer le point A de $C_2$ obtenu pour $t = 0,5$, puis tracer la courbe $C_2$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C. Étude et tracé de la courbe }\boldmath $C_3$\unboldmath

\medskip

La courbe $C_3$ est la courbe de Bézier définie par les trois points de contrôle P$_4$(1~;~0), P$_1$ et P$_5$(5~;~0).

On admet que cette courbe est l'ensemble des points $M_3(t)$ tels que, pour tout $t$ de l'intervalle [0~;~1] :

\[\vect{\text{O}M_3}(t) = (1 - t)^2 \vect{\text{OP}_4} + 2t(1 - t) \vect{\text{OP}_1} + t^2 \vect{\text{OP}_5}.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que les coordonnées $x_3$ et $y_3$ des points $M_3(t)$ de la courbe $C_3$ ont pour expression : 

\[x_3 = f_3(t) = 2t^2 + 2t + 1\quad \text{et}\quad  y_3 = g_3(t) = - 2 t^2 + 2 t.\]

\item  Étudier les variations des fonctions $f_3$ et $g_3$ définies pour $t$ dans l'intervalle [0~;~1] par:

\[f_3(t) = 2 t^2 + 2 t + 1\quad  \text{et}\quad  g_3(t) = - 2 t^2 + 2 t.\]

Rassembler les résultats dans un tableau unique.
\item  Sur la figure donnée en annexe 2, placer le point B de $C_3$ obtenu pour $t = 0,5$, faire apparaître les tangentes à la courbe $C_3$ aux points obtenus pour $t = 0$, $t = 0,5$ et $t = 1$, puis tracer la courbe $C_3$.
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{ANNEXE 1 À RENDRE AVEC LA COPIE}

\vspace{3cm}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(14.5,9.5)
\uput[u](1.5,9){Ligne d'horizon}
\psline(0,9)(14.5,9)
\psframe(1.5,2.5)(5.7,5.5)%abfe
\psline(5.7,2.5)(7.2,3.8)%bc
\uput[dl](1.5,5.5){e} \uput[dl](5.7,5.5){f}
\uput[dr](7.2,3.8){c}
\uput[dl](1.5,2.5){a} \uput[d](5.7,2.5){b}
\end{pspicture}


\newpage
\textbf{ANNEXE 2 À RENDRE AVEC LA COPIE}

\vspace{2cm}

\psset{unit=2cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(6,5)
\psgrid[subgriddiv=2,gridlabels=0pt,gridcolor=orange](0,0)(6,5)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,0)(6,5)
%\parametricplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=2000]{0}{1}{4 t mul t dup mul 3 mul sub 2 t mul t dup mul 3 mul add}
\psBezier2[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=2000](0,0)(2,1)(1,5)%%% courbe C_1
%%% corrigé
%\psBezier2[linewidth=1.25pt,linecolor=red,plotpoints=2000](1,5)(2,1)(6,0)%%% courbe C_2
%\psBezier2[linewidth=1.25pt,linecolor=red,plotpoints=2000](1,0)(2,1)(5,0)%%% courbe C_3
\uput[ul](0.6,0.4){\blue $C_1$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}