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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Groupement C1}}
\rfoot{\small{13 mai 2019}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur 13 mai 2019 Groupement C1~\decofourright  }}

\vspace{0,25cm}

{\large Les deux exercices sont indépendants.}   
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

\textbf{Partie A : modélisation}

\medskip

On s'intéresse à la chute d'un parachutiste, avant l'ouverture du parachute.

On admet que la vitesse $V$ du parachutiste pendant la chute peut être modélisée par une fonction solution de l'équation différentielle:

\[m y' (t) + k y(t) = mg\]

où $m$ est la masse totale du parachutiste et de son parachute, $k$ est un coefficient dépendant de la résistance de l'air, $g$ est le coefficient de l'accélération de la pesanteur et $t$ représente le temps.

$V$ est exprimée en m.s$^{-1}$, $m$ est exprimée en kilogramme et $t$ est exprimé en seconde.

Dans la suite du problème, on considère que $m = 80$ kg, $k = 25$ unités S. I. et $g = 10$ m.s$^{-2}$.

Au début de la chute, $t = 0$ s et $V(0) = 0$ m s$^{-1}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que la fonction $V$ est solution de l'équation différentielle 

\[(E) :\quad  y' + \np{0,3125}y = 10.\]

\item  Résoudre l'équation différentielle:

\[\left(E_0\right) :\quad  y' + \np{0,3125}y = 0.\]

\item Déterminer une fonction constante solution de $(E)$.
\item En déduire les solutions générales de $(E)$.
\item Déterminer une expression de la vitesse $V(t)$ du parachutiste à l'instant $t$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : étude de la chute}

\medskip

On admet que la vitesse du parachutiste est modélisée par la fonction $V$ de la variable $t$ définie sur $[0~;~+ \infty[$ par :

\[V(t) = 32 \left(1- \text{e}^{- \np{0,3125}t}\right).\]

On donne ci-dessous la représentation graphique $\Gamma$ de cette fonction $V$ dans un repère orthogonal.

\begin{center}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.3cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-2)(16,38)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=5]{->}(0,0)(0,0)(16,38)
\multido{\n=0+2}{9}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,38)}
\multido{\n=0+5}{8}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(16,\n)}
\uput[r](0,37){$V(t)$}
\uput[u](15.6,0){$t$}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{16}{32 1 2.71828 0.3125 neg x mul exp sub mul}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Estimer une valeur arrondie de l'instant $t_0$ à partir duquel la vitesse dépasse 20 m.s$^{-1}$.
		\item Retrouver par le calcul la valeur exacte de $t_0$.
	\end{enumerate}	
\end{enumerate}	

\smallskip

Un logiciel de calcul formel donne le résultat suivant que l'on admet et qui pourra être exploité dans les questions suivantes.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|>{\centering \arraybackslash}X|}\hline
1 	&$f(x) = 32(1 - \text{exp}(- \np{0,3125} \times x)$\\ \hline
	&$x \to  32 \left(1- \text{e}^{- \np{0,3125}t}\right)$\rule[-3mm]{0mm}{9mm}\\ \hline
2	& Limite$(f(x), +\infty)$\\ \hline
	&32\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}[start=2]
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Donner l'expression $V'(t)$ de la dérivée de la vitesse.
		\item Étudier le sens de variations de $V$ sur $[0~;~+ \infty[$.
	\end{enumerate}
\item Le parachutiste peut-il atteindre une vitesse de 130 km.h$^{-1}$ ?
\item Calculer la vitesse moyenne du parachutiste lors des deux premières secondes de chute. On pourra arrondir à l'unité.

On rappelle que la valeur moyenne d'une fonction $f$ sur un intervalle $[a~;~b]$ est 
$\dfrac{1}{b - a}\displaystyle\int_a^b  f(t)\text{d}t$.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

\parbox{0.65\linewidth}{Une fonderie fabrique en grande quantité des poutrelles métalliques de type IPE 120. On donne ci-contre le schéma de coupe d'une poutrelle
de ce type.

Les dimensions, en millimètre, d'une poutrelle de ce type sont:

\setlength\parindent{10mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] hauteur de l'âme : 120 mm
\item[$\bullet~~$] largeur de la semelle : 64 mm
\item[$\bullet~~$] épaisseur de l'âme : 4,4 mm
\item[$\bullet~~$] épaisseur de la semelle : 6,3 mm
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\textbf{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.}}\hfill
\parbox{0.33\linewidth}{\psset{unit=1cm,arrowsize=3pt 3}
\begin{pspicture}(5,8.5)
%\psgrid
\def\coin{\psframe[linewidth=0pt,fillstyle=solid,fillcolor=gray](0.3,0.3)\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=white](0,0){0.3}{0}{90}}
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=gray](1,1)(4.4,1)(4.4,1.3)(1,1.3)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=gray](1,7.4)(4.4,7.4)(4.4,7.7)(1,7.7)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=gray,linewidth=0pt](2.6,1.3)(2.8,1.3)(2.8,7.4)(2.6,7.4)
\rput(2.3,7.1){\coin}
\rput{90}(3.1,7.1){\coin}
\rput{-90}(2.3,1.6){\coin}
\rput{180}(3.1,1.6){\coin}
\psline[linewidth=1pt,linecolor=white](2.3,7.4)(2.3,7.1)(2.6,7.1)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=white](2.8,7.1)(3.1,7.1)(3.1,7.4)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=white](2.3,1.3)(2.3,1.6)(2.6,1.6)
\psline[linewidth=1pt,linecolor=white](2.8,1.6)(3.1,1.6)(3.1,1.3)
\psline{<->}(0.6,1)(0.6,7.7)\rput{90}(0.3,6.9){hauteur de l'âme}
\psline{<->}(1,8.1)(4.4,8.1)\uput[u](3.1,8.1){largeur de la semelle}
\rput(3.8,5){âme}\psline{->}(3.6,4.8)(2.8,4)
\rput(3.8,2){semelle}\psline{->}(3.6,1.8)(3.2,1.3)
\psline{->}(1.5,1.6)(1.5,1.3)\psline{->}(1.5,0.7)(1.5,1)
\rput(1.5,0.4){épaisseur de la semelle}
\end{pspicture}}

\bigskip

\textbf{Partie A : dimensions externes}

\medskip

Lors d'un contrôle de qualité on constate que :

\setlength\parindent{10mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] la hauteur de l'âme est conforme pour 98\,\% des poutrelles;
\item[$\bullet~~$] lorsque la hauteur de l'âme est conforme, la largeur de la semelle est également conforme dans 99\,\% des cas.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On choisit une poutrelle au hasard dans la production et on considère les évènements suivants :

$H$ : \og la hauteur de l'âme est conforme \fg

$L$ : \og la largeur de la semelle est conforme \fg.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter la situation à l'aide d'un arbre pondéré.
\item On dit que les dimensions externes d'une poutrelle sont conformes lorsque la hauteur de l'âme et la largeur de la semelle sont conformes. On note $E$ cet évènement.

Justifier que $p(E) = \np{0,9702}$.
\item Sachant que la largeur de la semelle est conforme pour 98,5\,\% des poutrelles, l'affirmation suivante est-elle exacte ? La réponse devra être justifiée par un calcul. ,

\og 26\,\% des poutrelles dont la hauteur d'âme est non conforme présentent également un défaut de largeur de la semelle. \fg

\item  On prélève au hasard $20$ poutrelles. La production est suffisamment importante pour assimiler ce prélèvement à des tirages avec remise. On note $N$ la variable aléatoire qui, à chaque lot de $20$ poutrelles prélevées au hasard, associe le nombre de poutrelles dont les dimensions externes sont conformes.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer en justifiant la loi de probabilité de la variable aléatoire $N$ et préciser ses paramètres.
		\item Calculer la probabilité qu'un lot de $20$ poutrelles contienne au moins une poutrelle dont les dimensions externes sont non conformes. Arrondir le résulta! à $10^{-3}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Partie B : épaisseur de l'âme}

\medskip

La variable aléatoire $X$ qui, à chaque poutrelle, associe l'épaisseur de son âme (en millimètre) suit la loi normale d'espérance $m = 4,4$ et d'écart type $\sigma =  0,02$.

L'épaisseur de l'âme est conforme si l'écart entre la valeur réelle et la valeur théorique (4,4 mm) est inférieur ou égal à 1\,\% de la valeur théorique.

Calculer la probabilité qu'une poutrelle, prélevée au hasard dans la production, ait une épaisseur d'âme conforme. Arrondir le résultat $10^{-3}$.

\bigskip

\textbf{Partie C : contrôle de conformité}

\medskip

À la fonderie, une scie automatique débite de longues poutrelles en tronçons de longueur $2$~m.

$L$ est la variable aléatoire, qui à chaque poutrelle débitée par la scie, associe sa longueur (en mètre).

Si la scie est correctement réglée, la variable aléatoire $L$ suit la loi normale d'espérance $\mu = $ et d'écart type $\sigma = 0,001$.

Pour vérifier si la scie est correctement réglée, un technicien de maintenance a prélevé un échantillon de $100$ poutrelles et a obtenu une longueur moyenne de $\overline{\ell} = \np{1,9997}$ m pour cet échantillon.

$\overline{L}$ est la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de $100$ poutrelles, associe la longueur moyenne des poutrelles de cet échantillon. Lorsque la scie est correctement réglée, $\overline{L}$ suit la loi normale d'espérance $\mu$ et d'écart type $\sigma_0 = \dfrac{\sigma}{10}$.

Le technicien construit un test bilatéral au seuil de 5\,\% pour tester l'hypothèse Ho : \og la longueur moyenne en mètre des poutrelles débitées par la scie est $m = 2$ \fg.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner l'hypothèse alternative $H_1$.
\item Déterminer l'intervalle $I = [2 - h~;~2 + h]$, tel que, sous l'hypothèse $H_0$, \:$P\left(\overline{L} \in I\right) = 0,95$.

Arrondir les bornes de l'intervalle à $10^{-4}$.
\item Énoncer la règle de décision de ce test.
\item Au seuil de décision 5\,\%, le technicien peut-il estimer que la scie est bien réglée ?
\end{enumerate}
\end{document}